有个性的名字-大蒜的腌制方法

高二数学训练（十八）
排
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件 隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在
求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘 原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积
累排列组合问题得以快速准确求解。
一．直接法、
1． 特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足 下列条件的四位数各
有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
解（1）
2．特殊位置法
解（2）
二．间接法当直
解上例中（2）可用间接法：
例2 有五张卡片，它的正反面分 别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意
三张并排放在一起组成三位数，共可组成多 少个不同的三维书？

三．插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少
中插入方法？

四．捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有
种
2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其 中有
一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有
3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座
位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 ( )
A.234 B.346 C.350 D.363

五．闸板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用闸办法
例5 .（1）名额分配
某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额
分配方案共 种 。
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（2）相同元素的排列、固定顺序:
将“PROBABILITY ”11个字母排成一列，排列数有______种，若保持P, R, O次序，则排列
数有_____ _种。3个苹果，4根香蕉，5个梨，要分给12个小朋友，每人一个，有___27720___
种方 法。
练习1．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数< br>不少编号数，问有多少种不同的方法？
练习2．不定方程X
1
+X
2
+X
3
+„+X
50
=100中不同的正整数解有
练习3 .六本相同的书发给甲、乙、丙三人，要求全部分完，不管三人是否均分到书．问有多
少种不同的分法？
练习4.马路上有编号为1，2，3，„，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把
其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多
少种不同 的关灯方法？

练习5.（1） 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？
（2） 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？
（3）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有二个空盒的放法有多少种？
（4）四个相同的小球放入四个不同的盒中，有多少种不同的放法？
解：（1） （2） （3）
六．平均分堆问题
例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
练习：1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）分为三份，每份2本；
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本
2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名 数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的
种数。
七． 染色问题
例7.将3种作物种植 在一排的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一
作物 ，不同的种植方法共 种（以数字作答）
练习1某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图1），现要栽种4种 颜色的花，
每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种．（120）

5
B

1
6
4
D

A
C
3
2
E


图1 图2
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2．如图2，用不同的 5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一
种颜色可以反复使用也可以不 用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）
3．如图3：四个区域坐定4个单位的人，有四种不 同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同
种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同 ，不相邻区域颜色相同与否不受
A
限制，那么不同的着色方法是 种（84）

E
4
B

3
1
D

C
2

图3 图4
5．将一四棱锥(图4)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色< br>可供使用，则不同的染色方法共 种（420）
八．递推法
例8. 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种
不同的走法？

九.几何问题
1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使 它们和点A在同一平面上，不
同的取法有 种
2.四面体的棱中点和顶点共10个点
（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？
(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？

十． 先选后排法
例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任
务，不同的选派方法有（ ）
A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种
十一．用转换法解排列组合问题
例10．某人连续射击8次有四次命中，其 中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，
不同的结果有多少种．
练习： 某停车场有连成一排的9个停车位,现有5辆不同型号的车需要停放,按下列要求各有
多少种停法?
(1)5辆车停放的位置连在一起;
(2)有且仅有两车连在一起;
(3)为方便车辆进出,要求任何3辆车不能在一起.


例11． 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．
解
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例12 从1，2，3，„，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．
解
例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，< br>路程最短的走法有多少种．
解
例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少
种不同的走法．
解
10
例15 求（a+b+c）的展开式的项数． 解
例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获
胜，形成一 种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
解
十二．转化命题法
例17 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？

十三．比例法
例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育 六节课，如果数学必须排在体
育之前，那么该天的课程表有多少种排法？
十四．除序法
例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？
（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？
解
十五．错位排列
例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的
分配方法有 种
公式 1）
a
n
(n1)(a
n1
a
n2
)
n=4时a
4
=3(a
3
+a
2
)=9种 即三个人有两种错排，两个人有
一种错排． 2）
a
n
=n!(1-
111
n
1

+- +„+

1

1!
2!3!n!
例21.设有编号为1， 2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五
个球放入5个盒子内
(1)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
（2）每个盒子内投放一球，并且至少有两 个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放
方法？
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