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高二数学 排列组合专题
知识要点：
1．排列组合题的求解策略
（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列
组合题 的常用策略．
（2）分类与分步
有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类 的交集为空集，所有各类的并集是全集；
有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得 总的方法数，这是乘法原理．
（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．
（4）插空 ：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件
的元素，然后将有 限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．
（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“ 大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，
然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．
（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入43
个不同的盒子中的方法数应为
C
11
，这也就是方程
ab cd12
的正整数解的个数．
2．圆排列
（1）由
A{a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
}
的
n
个元素中，每次取出
r
个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排
列（或叫环状 排列）．
（2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一排列；（ iii）两个圆
排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．
（3）定理：在
A{a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
}
的
n
个元素中，每次取出
r
个不同的 元素进行圆排列，圆排
P
n
r
列数为．
r
3．可重排列
允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．
在
m
个不同的元素中，每次 取出
n
个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、
第
n
位是的选取元素的方法都是
m
种，所以从
m
个不同的元素中，每次 取出
n
个元素的可重复的排列
数为
m
．
4．不尽相异元素的全排列
如果
n
个元素中，有
p
1个元素相同，又有
p
2
个元素相同，…，又有
p
s
个元 素相同
（
p
1
p
2
p
s
n），这
n
个元素全部取的排列叫做不尽相异的
n
个元素的全排列，它的排 列数
n

是
n!

p
1
!p
2
!p
s
!
5．可重组合
（1）从
n
个 元素，每次取出
p
个元素，允许所取的元素重复出现
1,2,,p
次的组合 叫从
n
个元素
取出
p
个有重复的组合．
（2）定理：从< br>n
个元素每次取出
p
个元素有重复的组合数为：
H
n
训练题：
1、 从5双不同号码的鞋子中任取4只，求这4只鞋子至少有2只可配成一双的可能有多少种？


2、（06江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种
不同的方法（用数字作答）。



3、一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？



4、（2004年安春，理9）直角坐标系xOy平面上，平行直线x=n(n=0,1,2 ,…5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…
5)组成的图形中，矩形有（ ）。
A.25个 B.36个 C.100个 D.225个
5、把10个相同的球放入三个不同的盒子中，使得每个盒子中的球数不少于2，则不同的放法有
A、81种 B、15种 C、10种 D、4种 6、12辆警卫车护送三位高级领导人，这三位领导人分别坐在其中的三辆车中，要求在开行后12辆车一< br>字排开，车距相同，车的颜色相同，每辆车内的警卫的工作能力是一样的，三位领导人所坐的车不能相邻，且不能在首尾位置。则共（ ）种安排出行的办法
A、A
9
9
×A
3
10
B、A
9
9
×A
3
8
C、A
3
8
D、C
3
8
7、4410共有 个不同的正约数。



8、（04湖南）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）
个
（Ａ）56 （B）52 （C）48 （D）40
9、在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共27个点中，不共线的三点组pr
C
n(p1)

的个数是
A、2898 B、2877 C、2876 D、2872

10、有两个同心圆，在外圆上有相异的6个点，内圆上有相异的3个点，由 这9个点所确定的直线最少
可有
A、15条 B、21条 C、36条 D、3条

11、已知两个实数集A={a
1
，a
2
，…，a
60
}与B={b
1
，b
2
， …b
25
}，若从A到B的映射f使得B中每个元
素都有原象，且f（a
1< br>）≥f（a
2
）≥…≥f（a
60
），则这样的映射共有
A、C
60
B、C
24
59
C、C
25
60
D、C
25
59


12．（06全国卷I）设集合
I

1,2,3,4,5

。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A
中最大的数，则不同的选择方法共有
A．
50种
B．
49种
C．
48种
D．
47种

13．（06 山东卷）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直 角
坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36

14、有4种颜色给如图所示的六个区域涂色，要求有公共边的区域不同色，共有多少种涂法？

①
③
②
④
⑤

15、从1， 2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？




16、四人各写出一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送 出的贺卡，则四张贺卡的不同分配
方式有（ ）种。
A.6 B.9 C.11 D.32
⑥

17、20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？



18、有１０个三好学生名额，分配给高三年纪６个班，每班至少一个名额。有多少种不同的分配方案？




19、如图，从5×6方格中的顶点A到顶点B的最短线路
条？





20、中、日围棋队各出7名队员，按事先安排好的次序出场进行围棋 擂台赛，双方先由1号队员比赛，
负者被淘汰，胜者再与负方的2号队员比赛，……，直到有一方队员全 部被淘汰为止，另一方获胜，形
成一种比赛过程，现在中方只动用了5名队员，就击败了日方的所有队员 ，问这样的比赛过程有多少种？


有多少