金牛座日期-纷纷万事直道而行

排列组合问题的解题方法
一、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎 “元素”与“位置”的关
系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于 有限制条件
的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑.
例1、在由数字0、 1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除
的数共有( )个．
解1：（元素优先法）根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：①
1313
含0不含5，共有
C
2
A
4
=48(个)；②含5不含0，共有C
3
A
4
=72(个)；③含0也含5，共有
112
4
＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有4
C
2
C
2
A
4
＝48(个)；④不合0也不含5，共有
A
4
8+72+48+ 24=192(个).
解2：（位置优先法）根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一 步：排
112
个位，有
C
4
种方法；第二步；排首位，有
C
4
种方法；第三步：排中间两位，有
A
4
种方法．所
112
以符合条件的四位数共有
C
4
=192(个)．
C
4< br>A
4
二、相邻问题“捆绑法”：对于元素相邻的排列问题，可先将相邻元素“捆绑”起来 看
作一个元素（整体），先与其它元素排列，然后相邻元素之间再进行排列.
例2、6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？
解：将甲、乙二人“捆绑”起 来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有
A
5
种，甲、
5
25< br>乙二人的排列有
A
2
种，共有·
A
2
A
5< br>=240种.
2
三、不相邻问题“插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件 先排其它元素，
再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可.
例3、用1，2 ，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与
4相邻、5与6相邻、7 与8不相邻的八位数共有 个.
解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三 个“大元素”排列，最后7与8“插空”，
2232
共有
A
2
2A
2
A
2
A
3
A
4
576
种.
四、有序问题“无序法”：对于元素顺序一定的排列问题，可先考虑没有顺序元素的排
列 ，然后除以有顺序的几个元素的全排列即可.
例4、3男3女排成一排，若3名男生身高不相等，则按 从高到低的一种顺序站的站法
有多少种？
3
解：6个人的全排列有
A
6
种，3名男生不考虑身高的顺序的站法有
A
3
种，而由高到低
6
3
又可从左到右，或从右到左（这是两种不同的站法），故共有不同站法2
A
6
÷=240种.
A
63
五、分排问题“直排法”：n个元素分成m（m＜ n）排，即为n个元素的全排列.
例5、将6个人排成前后两排，每排3人，有多少种排法.
33
解：6个人中选3个人排在前排有
C
3
种，剩下3人排在后排有
A
3
种，故共有
6
A
3

C6
A
3
A
3
=
A
6
=720种.
六、分组与分配问题的解法
例6、6本不同的书，按以下要求各有多少种分法？⑴平均分成三 组；⑵分成1本，2
本、3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；⑷分给甲、乙、丙三人，一人拿1本， 一人拿
2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.

解：⑴此为平均分组 问题，共有
C
6
C
4
C
2
15
分法；⑵ 此为非平均分组问题，共有
3！
222
3
336
CCC
12
1
6
2
5
3
60
分法；⑶先分组，再排序，共有
3
3
123
CCC
3！
2
6
2
4
2
2
3！90
种分法；⑷先分组，再排序，
C
6
C
5
C
3
A
3
360
分法；⑸共有
C
6
C
5
C
3
60
分法.
【注】此例中 的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有裨
益，其中：⑴均匀分组问题；⑵ 非均匀分组问题；⑶均匀不定向分配问题；⑷非均匀不定向
分配问题；⑸非均匀定向分配问题.
七、综合问题的解法：对排列组合的综合问题，由于限制条件较多而使问题较为复杂.
解此类问题时， 应注意解题的基本策略与方法，抓住问题的本质，采用恰当方法求解.
1、分类分步法：解排列组合的 综合问题，应遵循“按元素的性质进行分类，按事情的
发展过程进行分步”的原则，做到分类标准明确， 分步层次清楚，不重不漏.
例7、6个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有多少种？ 解：按元素甲分类：①甲在排尾，此时乙无任何限制条件地和其余4个元素排在一起，
11
有
A
5
种排法；②甲不在排尾，而甲又不在排头，则甲有种排法，乙不在排尾也有A
4
A
4
种
5
51
排法，其它4人有
A
4
种排法，共有＋
A
5
A
44
3
AA< br>1
4
4
=504
4
种.
2、排除法：对含有否定词 的问题，也可从总体中把不符合条件的排法除去，此时应注
意不能多除，也不能少除.
例如： 在例8中，6个人的全排列有
A
6
种，甲在排头的排法有
A
5
种，乙在排尾的排
65
46554
法有
A
5
种，甲在排头 且乙在排尾的排法有种，故共有－－＋
A
4
A
6
A
5
A
5
A
4
=504种.
5
3、集合思想
例8 、用0、1、2、3、4、5、6七个数字组成没有重复数字的五位数，若数字3不在百
位，数字5不在 个位，共有多少个这样的五位数？
解：设M={从七个数中任取五个数的排法}，A={0在首位的排 法}，B={3在百位上的
排法}，C={5在个位上的排法}，如图，则满足条件的五位数共有： < br>card（M）－card（A）－card（B）－card（C）＋card（A∩B）＋card（ B∩C）
432
＋card（C∩A）－card（A∩B∩C）=
A
53
A
3
A

A
1608
个.
7654
4、图示（表）法：对于某些综合问题，如暂无思路求解，可考虑回归课本，用树图、
框图或图表法求解.
例9、同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人拿一张别人写的贺年卡， 则四
张贺年卡的不同分配方法有多少种？
解：（树图法）如图，

共有9种不同的选法.
例10、3男3女排成一排，下列情形各有多少种排法.⑴男女相间.⑵甲乙之间恰隔二人.
3
解：⑴男女相间的站法有两类：男女男女男女，女男女男女男，共有2
A
3
·=72种；
A
33
⑵甲乙之间恰隔二人有三类：甲××乙××，×甲××乙×，× ×甲××乙，因甲乙可
4
交换位置，故共有3×
A
2
×
A< br>4
=144种.
2
例11、9人组成的蓝球队中，有7人会打卫，3人会打锋 ，现选5人，按3卫2锋组队
出场，有多少种不同的组队方法？
解：9个人中7人会卫3人会 锋，故有1人既会卫也会锋，则只会卫的有6人，只会锋
的有2人，见下表：
人数 6人只会卫 2人只会锋 1人既卫又锋 结果


32

3 2
A
6
A
2

不

同
2
32

2 2 1（锋）
C
A

3
A
2
6
选

法
3
1
2
3 1 1（卫）
A
6
C
2
A
2



2
32
2
3
1
2
故共有
A
3
＋＋< br>C
6
A
3
A
2
A
6
C
2< br>A
2
=900种方法.
6
A
2
5、至多、至少问题间接法：对于含有 “至多”、“至少”的组合问题，分类讨论十分
麻烦，若用间接法处理，可使问题简化.
例1 2、①某校要从6个班级中选出10人组成一个篮球队，要求每班至少选1人参加，
则这10个名额的不 同分配方法有多少种？
②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少含甲型与乙型电视机 各一
台的不同选法有 种？
解：①（隔板法）因为名额之间无区别，所以可把它 们视作排成一排的10相同的球，
要把这10个球分开成6段（每段至少有一个球），这样，第一种分隔 方法都对应一种名额的
分配方法，这10个球之间（不含两端）共有9个空位，现要在这9个空位中放进 5块隔板，
共有
C
5
=126种放法，故共有126种分配方法.
9
3
②（排除法）在被取出的3台中，不含甲型或不含乙型的取法分别为
C
3
4
与
C
5
种，故符
33
合题意的取法有
C
3
9
－
C
4
－
C
5
=70种.
6、角色转换法：对元素可重复的排列组合问题，若将元素与位置互换，则可化为相异
元素的问 题求解.
例13、有2个A，3个B，4个C共9个字母排成一排，有多少种排法？
解：将 字母作为元素，则这是九个元素排在九个位置上的“不尽相异元素的全排列”
问题.若将九个位置作为元 素，则问题转化为“相异元素不许重复的组合问题”，即共有
CCC
2
9
3
7
4
1260
种不同的排法.
4

7、分组与分配问题的解法
例14、6本不同的书，按以下要求各有多少种分 法？⑴平均分成三组；⑵分成1本，2
本、3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；⑷分给甲、乙、丙三 人，一人拿1本，一人拿
2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.

解 ：⑴此为平均分组问题，共有
C
6
C
4
C
2
15
分法；⑵此为非平均分组问题，共有
3！
1
6
2
5
3
60
分法；⑶先分组，再排序，共有
3
222
CCC
C
6
C
4
C
2
3！90
种分法；⑷先分组，再排
3！
222
23
3
123
序，
C
1
分法；⑸共有
360
C
6
C
5
C
3
 60
分法.
3
6
C
5
C
3
A
【 注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有裨
益，其中：⑴均匀分 组问题；⑵非均匀分组问题；⑶均匀不定向分配问题；⑷非均匀不定向
分配问题；⑸非均匀定向分配问题 .
8、方程思想
例15、球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记 1分。欲将此
十球中的4球击入袋中，且总分不低于5分，则击球方法有 种？
解：设击入黄球x个，红球y个，则有
xy4
，且
2xy5
（x，y
N
），解得

x1

x2
x3

x4
3
或

或

或

，对应每组解的击球方法数分别为
C
1
1x4
，∴

4
C
6
，

y3

y2

y1

y0
C
4
C
6
，
C< br>4
C
6
，
C
4
C
6
，∴不同的击球 方法数为
C
4
C
6
＋
C
4
C
6< br>＋
C
4
C
6
＋
C
4
C
6< br>=195种.
对排列组合的综合问题，常用方法是“先选之，再排之”.在分清分类与分步的标 准与
方式的基础上，遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类，二是按事情发生的过程进行分
步.在具体应用中，要注意“类”与“类”间的独立性与并列性和“步”与“步”间的连续
性.这要求我 们要有周密的逻辑思维能力、准确的计数能力和灵活正确运用基础知识的能力.
例16、7个人到7个 地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D
地，共有多少种旅游方案？
解 ：（排除法）7个人去7个地方共有
A
7
7
种可能.①若甲、乙、丙、丁都去 各自不能去
的地方旅游，其余的人去剩下的地方有
A
3
3
6
种；②若甲、乙、丙、丁中有3人去各自不能
1
3
去的地方旅游，有
C3
4
种，4人中剩下的一人有
C
3
种，其余的人去剩下的地方有
A
3
种，共
223
12
3
有
C
3
4
C
3
A
3
=72种；③若甲、乙、丙、丁中有2人去各自 不能去的地方旅游，有
C
4
种，余
下的5人去5个不同的地方有
A< br>5
5
种，但其中又包括了有条件的4人中的两人（不妨设为甲
13
乙） 同时去各自不能去的地方有
A
3
3
种和这两人中有一人去各自不能去的地方有
2A
3
A
3
种，
313
故共有
C
2
（
A
5
5
－
A
3
－
2A
3
A
3
）=468种；④若甲、乙、丙、丁中有1人去各自不能去的
4·
地方旅游，有
C
1
4
种，而余下的6个人的旅游方案仍与③的 想法一致，共有

C
4
[
A
6
< br>A
3

C
3
(
A
4

A< br>3
)
C
3
(
A
5

A
3
2
A
3
A
3
)]1704
种.
故满 足条件的不同旅游方案共有
A
7
7
－（6＋72＋468＋1704）=27 90种.
例17、三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，则同校的任何两名学生都不能相邻的排法有 种.
解：由题意可分两类：①先在6个位置上排第一个学校的三名学生，两两不相邻（如图），
3名学生每两名隔一个空位有2种排法，剩下

的三个空位中再选2个排第二个学校 的2名同学，最后一名同学自动确定位子，此时有
2
2
②第一个学校的3名同学中有两 名中间隔两个位子的有两种排法（如
2
A
3
3
C
3
A
2
72
种排法；
1
63
2
43
15313
图），

剩下的3个位子中，挨着的两个不能同时选，所以从另外两个中选，最后一名同学自动确定< br>1
2
位子，此时有
2
A
3
3
C
2< br>A
2
48
种排法.故满足题设条件的排法共有120种排法.
试题集粹：
1、从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数组成一元二次方程
ax
2
bxc0
，
其中有实根的方程共有 个.
2、将6名运动员分成4组，由5名教练员分成4组分别辅导，不同的分配方法有 种.
3、身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的
人个子矮，则所 有不同排法共有 种.
4、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加 比赛.3名主力队员要安排在第
一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，则不同的 出场安排有 种.
5、用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相 邻两个数字的奇偶
性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答) .
6、某小组12位同学毕业前夕要留影，要求排成前5后7两排，组长站在前排正中间，
两位女生甲、乙站前排且不相邻，则共有排法种数有 种.
7、5个人有相应 的5个指纹档案，每个指纹档案上都记录有相应人的指纹痕迹，并有检
测指示灯和检测时的手指按扭.5 个人中某人把手指按在键扭上，若是他的档案，则指示灯
出现绿色，否则出现红色.现在这5人把手指按 在5个指纹档案的按扭上去检测，规定一个
人只能在一个档案上去检测，且两个人不能在同一档案上去检 测，此时指示灯全部出现红色
的情况共有 种.
8、如图，某城市开发旅游 资源，现开发出A、B、C、D、E、F六个旅游景点.该城市某
旅行社根据游览景点次序不同而制定团 体旅游方案，因为A景点离火车
站最近，根据团体来的时间，决定最先或最后旅游.对于同一交通线路< br>上的B、C，可按先远后近或先近后远的方式方式游览，其余不作要求.
则可制定不同的旅游方案 种.
参考答案：⑴18；⑵15600；⑶90；⑷252；⑸40；⑹2903040；⑺44；⑻96.