人教版英语电子课本-白色污染的危害

排列组合问题中的关键词及其教学
1


数学语言是多 姿多彩而又严谨规范的，常常会存在不可或缺的关
键词语，即“词眼”，“增之一字意已变，减之一字意 也变”，在排列
组合的学习过程中，这样的“词眼”就很多，应引起我们特别的关注。
如：“恰 好”、“至多”、“至少”、“都„”、“都不„”、“不都„”、“既
不„也不„”等等。那么在排列 组合的学习中如何正确理解、运用这
些“词眼”？
首先，回顾解排列组合问题的一般思考方法：
1、 要明确题目有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，
是排列问题；反之，是组合问题。
2、 要弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的，前
者用乘法原理，后者用加法原理。
当然，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这
就要准确分清，哪一步用乘法原理，哪一步用加法原理。
3、 对于较复杂的问题，一般有两个方向的列式途径，一个
是“正面凑”，即直接法，一个是“反过来剔” 即间接法，前者是指：
按照要求，依次选出符合要求的方案；后者是指：先按照全局性的要
求， 选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去。这两种途径的优
劣因题而异，一般地，“正面凑”很繁琐 时，“反面剔”往往简单，就
是通常所说的“正难则反”。

1
本文作者：阮夏丽
1

掌握了一般 的思考方法，是正确解题的第一步，正确地把握关键
“词眼”，是正确解题的第二步，下面通过实例说明 。
例1：将标号为1,2,„,10 的10个小球放入标号为1,2,„,10的
10个盒 子内,每个盒子内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在
盒子的标号不一致的放法共有多少种?
解: 本题的词眼是：恰好，即不多不少，有且只有3个球的标号
与盒子的标号不一致 ，可知，有7球的标号与盒子的标号相同，这样，
可在10个盒子中任取7个,使这7个盒子的标号与放 入球的标号一致,
7
有C
10
=120种放法,然后，剩下的3个盒子的标号 与放入球的标号不
一致，有2种放法,由分步计数原理知：共有
120×2=240
种放法。
本题可能的失误之处是对“恰好有3个球的标号与其所在盒子的
7
标号不一致”的意义不理解或理解错误，而得到C
10
×P
3
3
=7 20种放法
的错误答案。
例2：从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作。若这三人中至少有1名女生，则选派方案共有多少种？
解：本题的词眼是：至少，即大于或 等于，亦即“≥”。遇到“至
多”、“至少”问题，有两种常见的处理方法。
1、将所有情况列出，最后用加法原理；
2、从反面考虑。
法一、（直接法）“至少有1名女生”即选派的女生可以1名、可

2

以2名、也可以3名，由分类计数原理得：选派方案共有：
1
123 3
（C
2
4
C
3
+C
4
C
3+C
3
）P
3
=186 (种)
法二、（间接法）“至少有1名女生”的反面是“一个女生也没有”，
得：选派方案共有：
3
3
(C
3
7
-C
4
)P
3
=18 6(种)
本题的可能失误之处：
一是认为“至少有1名女生”是多于1名女生，从而得到选 派方
23
案共有：（C
1
4
C
3
+C
3< br>3
）P
3
=78 (种)的错误答案。
二是认为“至少有1名女生”的反面是 “至多一名女生” 从而
32
13
得到选派方 案共有：(C
3
7
-C
4
- C
4
C
3
)P
3
=96 (种)的错误答案。
注 意：1、对于“至多n个”或“至少n个”的否定，可以由补集的
意义，通过画数轴的方法，分析出正确 答案，如图所示：
n-1 n n+1

对于“至多n个”的否定，显然是 ：“至少n+1个”，对于“至少
n个”的否定显然是：“至多n-1个”。
2、上述两例中 ，对词眼的分析：恰好，即不多不少，有且只
有；至少，即大于或等于，亦即“≥”。实际上就是对一个 词语作必
要的“同义反复”，同义反复”就是指从多角度解剖这个词语，让学
生有个“品味”这 个词语的过程，它同举例子同样重要。是我们在课
堂教学中值得运用的方法之一。
3、在解排列组合问题时，由于问题的复杂性，往往借助相应

3

直观图形帮助分析，即数形结合法，也是一种常用的方法。如：
有11个划船 运动员，其中右舷手4人，左舷手5人，还有甲、
乙二人左、右都能划，现要选8人组成一个划船队参加 竞赛（左、右
各4人），有多少种安排方法？
解：如图

左舷 右舷
4人 4人
5人
2人
4人
，
按右舷手为标准安排，分三类：
4
右舷手4人都入选，有C
4
4
C
7
种；

1
4
右舷手入选3人， 则甲、乙中选1人作右舷手有C
3
4
C
2
C
5
种；
2
4
右舷手入选2人，同理得，有C
2
4
C
2C
5
种；
由加法原理得，共有
3122
444
C
4
。
4
C
7
+ C
4
C
2
C
5
+ C
4
C
2C
5
=185（种）
本题也可以按左舷手为标准安排或按甲、乙二人是否入选为标 准
安排。
又如：解排列问题时，通常还可以通过画比较直观的方框图：
…
来帮助分析，一个方框相当于一个位置。
例3;求下列不同坐法的种数：
（1）6女2男坐成一排，2男不得相邻；
（2）4女4男坐成一排，男女均不得相邻。

4

解：本题的词眼是不相邻
（1）：法一（间接法）：
即在8人全排列中扣除2男相邻的情况。这里，“2男不得相
邻”的反面是“2男相邻”。得坐 法种数为
2
7
N
1
=P
8
8
-P
7
P
2
（种）
若将题目改为“5女3男坐成一排，3男都不得 相邻”，则用间
接法时要注意“3男都不得相邻”的反面是“3男不都相邻”，即在8
人全排列 中不但要扣除3男都相邻、还要扣除“两个相邻、另一个不
相邻的情况”，即：“都相邻”的反面并不是 “都不相邻”，而是“不
都相邻”。故可得坐法种数为
2
63252
N1
=P
8
8
-P
6
P
3
-C
3
P
5
P
6
P
2
=14400（种）.
而不是
63
P
8
-PP
863
=36000 （种）
法二（直接法）：
不相邻问题常用插空法。6女先坐，再在七个空位中排列2男。
得坐法种数为
2
N
2
=P
6
6
P
7
（种） < br>（2）：因为本题要求“男、女均不得相邻”就是男的不能相邻、女的
也不能相邻。由于男女人数 相等，故男女都坐好时，男坐奇数位、女
坐偶数位，或者对调。得坐法种数为
4
N=2P
4
P
4
=1152（种）
4
4
本题可能的失误之处是：认为坐法种数为N=P
4
P（种），即：
5
4

5

男的先坐好，女的插空，（或女的先坐好，男的插空。）它 的错误在于
只保证了女的不相邻，而男的就不一定不相邻。（或只保证了男的不
相邻，而女的就 不一定不相邻。）
注意：1、“都”的正确否定是“不都”，可用列表法帮助理解。
例：“甲、乙都是团员”的否定是“甲、乙不都是团员”，它有3
种情况。
即:
甲是团员，乙是团员
甲是团员，乙不是团员
甲不是团员，乙是团员
甲不是团员，乙不是团员
甲、乙都是团员
甲、乙不都是团员
甲、乙不都是团员
甲、乙不都是团员
2、掌握关键词的正确 “否定”，是成功运 用间接法的关键。
用列表法帮助分析是较好的方法，另外，熟悉一些常用的词语的否定
也是必需 的 。如：
“任一个”或“每一个”的否定是：“存在一个”；
“一定是”的否定是“一定不是”；
“都”的否定是“不都”；
“至少有一个”的否定是：“一个也没有”；
„„
例4：6本不同的书分给3个人。
（1）每人得2本，有几种分法？
（2）甲得一本、乙得2本、丙得3本，有几种分法？

6

（3）1人得1本、1人得2本、还有1人得3本，有几种分法？
（4）1人得4本，还有2本平均分给另2人，有几种分法？
解： 这是排列组合中的分 配问题，一般的解题思路是：若是
指定分配，则由人分别去“拿”；若不指定分配，则先进行分组，再< br>分配给人。
本题的词眼分、平均分
（1）甲、乙、丙三人各拿2本，（指定分配）所 以共有分法
2
2
C
6
C
2
4
C
2
=90(种)
2
（2）指定分配，共有分法C
1
6
C5
C
3
3
=60(种)
（3）不指定分配，6本书先分成3组 ，第1组1本，第2组2本，
2
第3组3本，有C
1
6
C
5
C
3
再将这三组书分给3人有P
3
3
种分组方法，
3
种
23
方法，所以，共有分法C
1
6
C
5
C
3
3
P
3
=360（种）
（4）不指定分配，6本 书先分成3组，第1组4本，第2组1本，
11
C
6
4
C
2
C
1
第3组1本，有种分组方法，因为第2、3组各1本，实际上
P
2
2
只有唯一的一种分法，（因为组与组之间无次序关系，为叙述方便，
才加上“第” 字），再将这三组书分给3人有P
3
3
种方法，所以，共有
11
C< br>6
4
C
2
C
1
3
分法P
3
=90（种）
2
P
2
注意：（4）中分组涉及到“平均分组”，若有m组是 平均的，则
分组最后要除以P
m
,相当于要消去由这m组所产生的“序”。一般地，< br>m
kkk
C
n
C
n
C
kk
n人 平均分成m组(n=mk,k

N)，共有分法种。
m
P
m
例5（1）8名大学生分配给9个单位，每个单位至多接受1名大

7

学生，问有多少分配方案？
（2）9名大学生分配到8个单位，每个单位至多接受1名大
学生，问有多少分配方案？
本题的词眼是分配、接受
解：（1）有P
8
9
=362880 （种）方案。
（2）有P
8
9
=362880 （种）方案。
（ 1）、（2）虽然是不同的问题，但是有相同的实质。都是把
一些元素分配给另一些元素来接受的问题。 因为涉及到两类元素：被
分配元素和接受单位，而我们所学的排列组合是对一类元素作排列或
进 行组合的，所以学生感到解决这类问题难度较大。事实上，任何排
列问题，都可以看作面对两类元素。如 ：
“把5个人作全排列”，
可以理解为
“在5个人旁，有序号为a
1< br>,a
2
.

,a
5
的5把椅子，每把椅子坐1
人，那么有多少种坐法”，
这样就出现了两类元素：一类是人，另一类是椅子。所以，对
于 各种各样的常见的分配问题，可以归结为：
①每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题。
分配方案数为P
m
n
。
这里n≥m ，其中的m 是“接受单位”的个数， 至于谁是“接受
单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要n≥m，个数为m的一类
少
元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为P
多
，这里的“多”

8

只需≥“少”。
所以，以上两题的解答相同，都是：有P
8

9
=362880 （种）方案。
②各“接受单位”的接受数目不限，并且全部元素要分配完的
问题。如：
有5名高三毕业生报考大学，有三所大学可供选择，每人只能填
一个志愿，有多少种报名方案？
解：记这5名学生分别为A、B、C、D、E。
先考虑A,他有3种选择；对于他的每一种选 择，B又有3种选择
与之搭配，以此类推，由乘法原理知，共有3×3×3×3×3=3
5 种方
案。
一般地，若“被分配元素“数为n,”接受单位”数为m,且接受
数 目不限，则分配方案数为m
n
.
例6（1）某甲既不能站在排头，也不站在排尾，有多少种站法？
（2）某甲不能站在排头，某乙不站在排尾，有多少种站法？
解：本题的词眼“既不

也不

”
本题是有关特 殊元素“在与不在”特殊位置的排列问题，优
先考虑特殊元素与特殊位置，用直接法或间接法均可。
（1）用直接法：得站法种数为N= P
1
4
P
5
5
=480(种)
5
用间接法：得站法种数为N= P
6
6
-2P
5
=480(种)
114
（2）用直接法：得站法种数为N=P
5
5
+P
4
P
4
P
4
=504(种)
4
5
用间接法：得站法种数为N= P
6
6
-2P
5
+ P
4
=504(种)
本题的可能失误之处是（2）中第二种解法，错误答案为N=

9

5
P
6
6
-2P
5
=480(种)，这种解法混淆 了（1）和（2）的区别：
在（1）中，甲站排头和排尾是不可能同时出现的，所以，（1）
中不满足要求的排法有两类情况：甲站在排头和甲站在排尾，共有
65
2P
5
5
种，所以满足要求的排法种数为P
6
-2P
5
=480(种)。
而（2）中，甲站排头、乙站排尾可以同时出现，也可以不同时
出现，所以，（2）中不满足要 求的排法有三类情况：甲站在排头有
5
P
5
5
种排法，乙站在排尾也 有P
5
种排法，但甲站在排头、乙站在排尾
5
的排法有P
4
而这P
4
即被重复了
4
种，
4
种在两个P
5
中都被计算进去了，
4
一次，因此，不满足要求的排法数为2P
5
故所求的 排法数为P
6
5
- P
4
，
6
-
4
（2P
5
。
5
- P
4
）=504（种）
排列组合问题，对学生来说，之所以难 学，因为各题各样，没有
同一模式，而且，题中关键词语要正确理解，否则容易出错，如何避
免 这样那样的错误？掌握对关键词语的正确理解很重要，如何掌握？
笔者的体会是：
1、 排列组合中出现的关键词,是有自己的特点的。
第一， 除了“相邻”等个别词之外，主要是涉及逻辑的词.
第二， 在<中学生数学课里的语言掌握情况的测试>一文中指出,
在数学课里,涉及逻辑的字词,主要有三种:逻辑量词, 否定,和命题四
种形式. 在排列组合中主要是逻辑量词和否定。
第三， 涉及的逻辑量词也不仅是比较简单的”每一个”和”有一
个”，还有”至少n个”,”至多n个”,”恰好n个”这样比较复杂的量词.
第四， 逻辑连接词“且”和“或”也常常出现，（从测试看，对

10

这两个词学生理解掌握得比较好）。
第五， 常常出现否定词，
第六， 不但出现逻辑量词，逻辑连接词，而且还常常和否定词联
系在一起，如“既不。。。又不。。。”，“不都”、“都不”。这样，困难就
大大增加了。
因此，要适当突出逻辑量词的意义，逻辑连接词的意义，突出否
定的意义，还要突出逻辑量词、 逻辑连接词和否定词的配合的意义。
对此，可以专门介绍，也可以遇到某个词时候，穿插着补充。这个问
题要引起重视，在现行的中学课程里，没有专门介绍逻辑知识的，因
此，解释这些字词的任务只 能由数学课来担当。
2、在讲解逻辑量词，逻辑连接词和否定的意义时，可以借助举
例法、列 表法、画直观图等的方法，这样做，可以化解难点。
譬如
“A不排在 首位，B不排在末尾”
的意义，可以用列表的方法解释清楚。

A在 首位
A在 中间
A在 末尾
B在 首位 B在 中间 B在 末尾
A首 B尾
A中 B尾
A,B都在末尾
A,B都在 首位 A首 B中
A中 B首
A尾 B首
A,B都在中间
A尾 B中
显然，A不排在 首位，划去第一行；B不排在末尾，划去第三列。
余下的情况就 是 ：A中 B首，A,B都在中间，A尾 B首，A尾 B
中四种情形。

11

本文例2的注意1，介绍了画直观图法。
再譬如下面的例题，涉及的关系很复杂：
从A、B、C、D、E、F、G7个歌手中选4个表 演独唱，规定
每个歌手最多只能出场一次，而且第一个节目不能排A、B，第二个
节目不能排A 、B、C、D，问有几种排法？
如果用下面的图表示就十分清楚了。外面把第一个节目允许安
排的歌手用一个 “圈”表示，把第二个节目允许安排的歌手也 用个
“圈”表示出来，容易发现两个”圈”之间有包含 关系.具体解题时，
分三步，先安排第二个节目。




C、D、E、
F、G
E、F、G

3、数学里很重要的是找到和一个命题意义相同的其他表达方式.
喻平教授提出了“命题域”的 概念
2
,是揭示了数学特有的认识规律的.
简言之,将一个命题的等价命题看成一个集 合,这就是这个命题的命题
域.如果一个学生能够把某个命题的好多等价命题列出来,那么他解题
的时候,反应就快了.因此,我们要培养学生善于将一个命题的等价命
题尽可能地列出来.
笔者以为,一个命题的等价命题可能有两类.一类是素材没有发生

2
喻平,<数学学习心理CPFS结构理论>,广西教育出版社,2008年4月
12

变化,只是词语的位置,对象的数量,语句的正反发生了变化.如
“A,B都选入“和”A选入，同时B也选入”
是等价的 ，就是属于这一类。
“点A在直线l上”和“直线l过点A“，
也属于这一类。
“不存在一个平面，使 直线l
1
和l
2
都在这个平面内”和“对于任
意一个平面，要么l< br>1
不在这个平面内，要么l
2
不在这个平面内”
也属于这一类。

另一类是在不同的系统里的变换。如
“A在直线l上”和“A的坐标适合直线l的方程”
涉及的素材是完全不同的，前者是几何的说法，后者是代数的说法。
前一类的等价变换，因为 是同素材的，因此本质上说，是“同义
反复”。不要以为同义反复就是啰嗦，必要的同义反复可以从多角 度
理解一个命题的意义，因而是必要的。
3
“同义反复”大致上有三种：换位，换质，换量。我们在 讲解
题目的时候，要注意“换一个说 法”，即必要的同义反复。不但我们
教师讲解的时候要这样，而且要培养学生进行必要的同义反复。譬如
让学生对某个语句用别的方式说出来。譬如对排列组合中常见的语
句:
“从4名男生和3名女生中选出3人，若这三人中至少有1名女
生”，

3
陈永明，要重视在数学教学中运用必要的同义反复，《上海中学数学》，1990年2月
13

可以要求学生用尽量多的方式重新叙述。
4.通过用关键词语编题、对题目变式等，来体会关键词语的意义。
譬如：对关键词“不„不„”，可以编出下列题目：
（1）甲、乙、丙、丁四人参加400米 接力赛，甲不跑第一棒，
也不跑第四棒，有多少种不同的参赛方法？
（2）甲、乙、丙、丁四 人参加400米接力赛，甲不跑第一棒，
丙不跑第四棒，有多少种不同的参赛方法？
（3）甲 、乙所在的班级共有35名学生，现要选正、副班长各一
名，已知：甲不当正班长、乙不当副班长，那么 有多少种不同的选举
结果？
（4）用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字 组成没有
重复数字的四位数，并且这个四位数不能2整除，也不能被3整除，
那么有多少个符合 要求的四位数？
„„
5、一题多解，可从不同角度对题目进行解剖，拓宽解题思路。
同时也是解排列组合问题的主要的检验方法。
譬如：（1）把10辆不同的车排成两行，每行5辆，有多少种排
列方法？
（2）把10不同的车排成三行，第一行2辆，第二行3辆，
第三行5辆，有多少种排列方法？
解（1）：解法一 第一步，从10辆车中取5辆排在第一排 ，有
5
P
10
种排法。第二步，把剩下的5辆排在第二排，有P
5
5
种排法。由乘

14

5
法原理，排法共有P
10
P
5
5
=3628800（种）
解法二 第一步，把10辆车分成两组，每组5辆，分< br>55
C
10
C
5
组方法有
2
种。第二步，把 两组安排在前、后二行，有P
2
2
种排法。
P
2
第三步，把 第一行车作全排列，有P
5
5
种排法。第四步，把第二行车
作全排列，有P< br>5
5
55
C
10
C
5
种排法。由乘法原理， 排法共有
2
P
2
55
P
2
2
P
5
P
5
=3628800（种）
解法三 第一步，把10 辆车分给前、后两行各5辆，有
5
55
种分组方法。第二步，对每行的车作全排列，有 P
5
C
10
C
55
P
5
种排法。
5
55
由乘法原理，排法共有
C
10
P
5
C
55
P
5
=3628800（种）
解法四 对10辆车作全排列，共有排法 P
10
10
=3628800(种)
解（2）： 与（1）类似，有
23
解法一 有P
10
P
8
P
5
5
=3628800(种)
2
23
3
5
解法二 有C
10
C
8
C
5
5
P
2
P
3
P
5
=3628800(种)
解法三 有P
10
10
=3628800 (种)
注意：本题各种不同的解法思路，沟通了对于排列与组合种数计
算公式的联系。
在（1）与（2）的各种解法中，最简单的，也是道理最不
明显的方法为最后一种，即计算全排列种数P
10
但它却对（1）、（2）
10
，
都适用，为什么呢？以（2）为 例，可以这样来思考：
把10辆车排为：
** （第一行）

15

*** （第二行）
***** （第三行）
时的排法种数，与排为
** （第一行）
*** （第二行）
***** （第三行）
时的排法种数，与排为
** *** *****
（第一行） （第二行） （第三行）
后，再向左靠拢即为： ********** 时的排法种数是相同的，而最
后一种形式 的排法种数就是全排列P
10
10
。由此可知，关于分段排列问
题，有一个统 一的简捷解法，即：可以转化为求对所有元素作全排列
的种数。


16