经典纪录片-抚宁一中

下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方法。
一、特殊优先，一般在后
对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题 ，有时“元素
优先”，有时“位置优先”。
例1 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？
解法一：(元 素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有A42种，0在十位有A21·A31
种；第二类，不含0 ，有A21·A32种。
故共有(A42+A21A31)+A32A21=30。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有A 42种；第二类，0不在个位，先从
两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有A2 1A31A31种。
故共有A42+A21A31A31=30。
练习1 （89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000
的偶数共有 个（用数字作答）。
答案：36
二、排组混合，先选后排
对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。
例2 (95年全国)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则恰有一个空盒
的放法有几种？
解：由题意，必有一个盒内有2个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒子
是排 列。因此，有C42A43=144种放法。
练习2 由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不
重复的有多少个？
答案：有C43C32A55=1440（个）
三、元素相邻，整体处理
对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其
它元素进行排列， 同时对相邻元素进行自排。
例3 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？
解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应
全排 列。由乘法原理共有A66·A33种。
练习3 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？
答案：A44·24=384
四、元素间隔，分位插入
对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。
例4 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？
解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原理共有
A55A43种。
注意：①必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元
素 ；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。
练习4 4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？
答案：2A44·A44
例5 马 路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时
关掉相邻的两盏或三盏 ，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？
解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3

1

个暗的即可，有C53种。
练习5 从1、2、…、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？
答案：C83。
五、元素定序，先排后除或选位不排或先定后插
对于某些元素的顺序固定的排列问题 ，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位
置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元 素进行排列。也可先放好定序的元素，
再一一插入其它元素。
例6 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？
解法一：先5人全排有A 55种，由于全排中有甲、乙的全排种数A22，而这里只有1
种是符合要求的，故要除以定序元素的全 排A22种，所以有A55A22=60种。
解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲 、乙)有C52种，再排列其它3人有
A33，由乘法原理得共有C52A33=60种。
解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4
种方法，最后插入第 三人有5种方法。由乘法原理得共有3×4×5=60种。
练习6 要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共
有几种插入方法？
答案：A1111A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11种
六、“小团体”排列，先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“ 小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一
个元素再与其它元素排列。
例7 四名男 歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手
之间有两名男歌手，则出场方案 有几种？
解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种，把这个 “女
男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有A33种，由乘法原理，共有A42A22A33
种。
练习7 6人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种？
答案：A22·A44
七、不同元素进盒，先分堆再排列
对于不同的元素放入几个 不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，
必须先分堆再排入。
例8 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？
解：先把5位老师分3堆，有 两类：3、1、1分布有C53种和1、2、2分布有C51C42C22A22
种，再排列到3个班里 有A33种，故共有(C53+C51C42C22A22)·A33。
注意：不同的老师不可分 批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒
内的元素必须一次进入”。
练习8 有6名同学，求下列情况下的分配方法数：
①分给数学组3人，物理组2人，化学组1人；
②分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；
③分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人；
④平均分成三组进行排球训练。
答案：①C63C32C11；②C62C42C22；③C63 C32C11·A33；④C62C42C22A33。
八、相同元素进盒，用档板分隔
例9 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？
解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不

2

同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入 4
块“档板”分成5格(构成5个盒子)有C94种方法。
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。
练习9 从全校10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法？
答案：C119
九、两类元素的排列，用组合选位法
例10 10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？
解：由题意知， 有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。
故有C73种跨法。
注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。
练习10 3面红旗2面黄旗，全部升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号？
答案：C52
例11 沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？
解：每一种最短走法，都要走 三段“|”线和四段“—”线，这是两类元素不分顺序的排列问
题。故有C74或C73种走法。
例12 从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？
解：这个 问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒
子)，是球与档板两类 元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故4块“档板”
与10个球一样也要参与排成一列 而占位置，故有C144种选法。
练习11 (a+b+c+d)10的展开式有几项？
提示：因为每一项都是由a,b,c,d中的一个或多个相乘而得到的10次式，所以可以看成是10个球与3块档板这两类元素不分顺序的排列，故共有C133项。
注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。
十、个数不少于盒子编号数，先填满再分隔
例13 15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不
同的放法？
解：先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,可
用2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有C112种。
十一、多类元素组合，分类取出。
例14 车间有11名工人，其中4名车工，5名钳工，AB二 人能兼做车钳工。今需调4
名车工和4名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？
解： 不同的调法按车工分为如下三类：第一类调4车工4钳工；第二类调3车工4钳工，
从AB中调1人作车 工；第二类调2车工4钳工，把AB二人作为车工。故共有
C44C74+C43C21C64+C42 C22C54=185种不同调法。
注：本题也可按钳工分类。若按A、B分类，会使问题变得复杂


《排列组合应用题的解法》
排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧 ，它要求我们要认真地审
题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的 解法。
一. 运用两个基本原理
二. 特殊元素（位置）优先
三. 捆绑法
四. 插入法

3

五. 排除法
六. 机会均等法
七. 转化法
八. 隔板法

《排列、组合、二项式定理•解题技巧》
排列组合问题是高考必考题，它联系实 际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实
践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式 、熟练运用，本文介绍十二类典型排列
组合题的解答策略．
1．相邻问题并组法
2．相离问题插空法
3．定序问题缩倍法
4．标号排位问题分步法
5．有序分配问题逐分法
6．多元问题分类法
7．交叉问题集合法
8．定位问题优先法
9．多排问题单排法
10．“至少”问题间接法
11．选排问题先取后排法
12．部分合条件问题排除法
解答排列组合问题，首先 必须认真审题，明确是属于排
列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问
题，其次要抓 住问题的本质特征，灵活运用基本原理和
公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技
巧 。下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质
进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，
达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1 、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排
尾，不同的排法有 ( ）

A．120种 B．96种 C．78
种 D．72种
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲
在末尾，剩下四人可自由排，有 种排法；2）若甲在
第二，三，四位上，则有 种排法，由分类计数原理，
排法共有 种，选C。
解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后
排（排列）的方法解答。
例 2、 4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个
盒中，恰有一空盒的方法有多少种？
分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）
选：从四个球中选2个有 种，从4个盒中选3个盒

4

有 种；2）排：把选出的2个球看作一个元素与其余2
球共3个元素，对选出的3盒作全排列有 种，故所求
放法有 种。
二、特殊元素与特殊位置优待法
对于有附加条件的排 列组合问题，一般采用：先考虑满
足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例3、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复
数字的三位数，其中偶数共有（ ）。
A． 24个 B。30个 C。40个 D。60个
[分析]由于该三位数为偶数 ，故末尾数字必为偶数，又
因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应
该优先安排， 按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）
0排末尾时，有 个，2）0不排在末尾时，则有 个，
由分数计数原理，共有偶数 =30个，选B。
例4、 马路上有8只路灯，为节约用 电又不影响正常
的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻
的两只或三只，也不能关 掉两端的灯，那么满足条件的
关灯方法共有多少种？
分析：表面上看关掉第1只灯的方法有 6种，关第二只，
第三只时需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，
每一种关灯的方法对应 着一种满足题设条件的亮灯与
关灯的排列，于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中
插入3只暗 灯”的问题。故关灯方法种数为 。
三、插空法、捆绑法
对于某几个元素不相邻的排列 问题，可先将其他元素排
好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中
插入即可。
例5、7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，
则有多少种不同的排法？
分析： 先将其余四人排好有 种排法，再在这人之间
及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则
有 种方法，这样共有 种不同排法。
对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑
在 一起看作一个元，与其余元素一同排列，然后在进行
局部排列。
例6、 7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有
多少种不同排法？
分析： 把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4
人共5个元作全排列，有 种排法，而甲乙、丙、之间
又有 种排法，故共有 种排法。
四、排除法
对 于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求
的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。
例如在例3中，也可用此法解答：五个数字组成三位数
5

的全排列有 个，排好后发现0不能排首位，而且数字
3，5也不能排末位，这两种排法要除去，故有 个偶数。
五、顺序固定问题用“除法”( 对等法 )
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把 这几个元
素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元
素的全排列数。
例7、 6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲--- 乙---
丙”顺序排的排队方法有多少种？
分析： 不考虑附加条件，排队方法有 种，而其中
甲、乙、丙的 种排法中只有一种符合条件。故符合条
件的排法有 种。


作者： 202.101.10.* 2006-3-12 15:31 回复此发言
2
排列组合的解题策略
六、构造模型 “挡板法”
对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一
个隔板模型来解决问题。
例8、 方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？
分析：建立隔板模型：将12个 完全相同的球排成一列，
在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把
球分成4堆，每 一种分法所得4堆球的各堆球的数目，
对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数
解的组数共有 。
例9、把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学
生阅览室，每 个阅览室分得的书的本数不小于其编号
数，试求不同分法的种数？
解：先让2、3号阅览室 依次分得1本书、2本书；再对
余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，
这相当 于在7本相同书之间的6个“空档”内插入2块
隔板共有 C62种插法，即有15种分法。
又如六个“优秀示范员”的名额分配给四个班级，有多
少种不同的分配方法？ 经过转化后都可用此法解。
七、分排问题“直排法”
把几个元素排成前后若干排的排列 问题，若没有其它的
特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。
例9、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4
个人，则不同的坐法有多少种？ 分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件，
故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有 种。
八、构造方程或不等式
例10：某赛季足球比赛的记分规则是：胜一场得3分；
6

平一场得1分；负一场得0分。一球队打完15场积3 3
分，若不考虑顺序，该队胜、负、平情况共有（ ）
A.3种 B.4种 C.5
种 D.6种
解析：设该队胜x场，平y场，则负(15-x-y)场，由题
意得3x+y=33
y=33-3x 0, x 11且x+y 15
因此，有以下三种情况：
x=11,y=0或x=10,y=3或
x=9,y=6 故选A
例12、把一张20元面值的人民币换成1元、2元或5
元面值的人民币，有多少种不同的换法 ？
解：设对换成1元的人民币x张，2元的人民币y张，
5元的人民币z张，
则 x+2y+5z=20
当z = 0时，x+2y=20 , x可以取0、2、
4…20，有11种方法。
当z = 1时，x+2y=15 , x可以取1、3、
5…15，有8种方法。
当z = 2时，x+2y=10 , x可以取0、2、
4…10，有6种方法。
当z = 3时，x+2y=5 , x可以取1、3、
5有3种方法。
当z = 4时，x+2y=0 , x=0，y=0, 1
种方法。
故共有11+8+6+3+1=29种方法。
九、枚举法：
有些计数问题由于 条件过多，从排列或组合的角度思考
不太方便，可以尝试用枚举法，枚举时也要按照一定的
思路 进行，才能做到不重不漏。
例11：某寝室4名同学各写了一张新年贺卡，先集中起
来，然 后每人从中取走一张别人写的贺卡，问有多少种
不同的取法？
解：设4位同学分别为A、B、C、D，各人取别人贺卡的
不同取法可罗列成下表：
同学A 同学B 同学C 同学D
1 B A D C
2 B C D A
3 B D A C
4 C A D B
5 C D A B
6 C D B A
7 D A B C
8 D C A B
7

9 D C B A
故共有9种不同的取法。
排列组合是高中 数学的重点和难点之一，也是进一步学
习概率的基础。这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，
而 且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这
些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断 积
累经验，总结解题规律，掌握若干技巧，最终达到能够
灵活运用。

问 题一、街道旁有编号1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共十只路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中的三只灯相灭，但不能同时熄灭相邻两只，在两端的两只路灯不熄灭的情况下，问不同的熄灯方法有多少种?
①通过复习提问总结解决排列组合问题的基本思路和方法。
②设置问题情 景，激发学生的学习欲望。通过引导，学生得出多种解法，从而优化思维，发现规律为
构造数学模型一做 好铺垫。
2、创设情景
练习（1）：四个相同苹果分给三个人，没人至少一个，有多少种分 配方案?(提问，多解)，电脑演示。
（2）：把六个名额分给三个班级，没班至少一个名额，有多少 种分法?(提问多解)，电脑演示，介绍
插板法。
巩固创设情景。
体现化归思想， 并将问题发散，从不同角度展示出问题的共性，给学生自主发现、探索的空间，引入
“插板”这一解决问 题的策略。
3、提出猜想
你能编一道与本题意思相近的习题或将本题推广吗?
学生是学习的主体，是课堂教学的探索者、发现者和创造者，让他们的智慧火花充分闪亮。

8

4、探得索出分结析论
模型一：把n个相同的小球放入m个不同的盒子中，要求每盒至少有一个球，问有多少种不同的方法?
归纳出共性，推广到一般，抽象出数学模型，使学生的思维得到提升。
5、问题解决进一步推广
练习：(分组讨论)
（1）求方程x+y+z=16的正整数解的组数。
（2）15个苹果分给三个人，每人至少两个，有多少种分法?
（3）把二十个相同的小球放 入编号为1、2、3、4、的四个盒子中，要求每个盒子中的小球数目不少
于编号数，求不同的放法种数 。
弄清问题本质，将问题转化为模型，并能应用模型解决问题。
6、新情境设计
（1）第二小题条件改为每人至少三个，有多少种分法?
（2）学生总结规律。
（3）如果条件改为每人分得苹果个数不限，有多少种分法种数?
（4）你能将本题推广吗?
（5）改变条件提出新问题，让学生有一个再发现，再创造的过程。
（6）培养学生自主探索创新意识。
7、探索分析

9

用电脑演示每人至少分得一个苹果、二个苹果和三个苹果的情形，并由学生总结规律。体现从特殊到一般的思维方法，模拟发现，激励探索，激活思路。
8、得出结论
模型二、把n个相同的小球放入m个不同盒子(n≥m≥1)，每个盒子容量不限，有多少种不同方法?
比较差异，将模型一进一步推广，使学生在“好奇”中产生“内驱力”，进而产生不断探索的愿望。
9、问题
（1）中日围棋擂台赛规定各国各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台 赛，双方先由1
号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛…，直到有一方队员全被淘汰为止 ，另一方获得胜
利，形成一个比赛过程，试求中方获胜的所有可能出现的比赛过程的种数?
（ 2）从7个学校选出12人组成足球联队，要求每校至少有一个人参加，问各校名额分配共有多少种
不同 情况?
一、特殊优先，一般在后
对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操 作时，针对实际问题，有时“元素
优先”，有时“位置优先”。
例1 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？
解法一：(元 素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有A42种，0在十位有A21·A31
种；第二类，不含0 ，有A21·A32种。
故共有(A42+A21A31)+A32A21=30。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有A 42种；第二类，0不在个位，先从
两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有A2 1A31A31种。
故共有A42+A21A31A31=30。
练习1 （89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000
的偶数共有 个（用数字作答）。
答案：36
二、排组混合，先选后排
对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。
例2 (95年全国)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则恰有一个空盒
的放法有几种？
解：由题意，必有一个盒内有2个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒
子是排 列。因此，有C42A43=144种放法。
练习2 由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不
重复的有多少个？

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答案：有C43C32A55=1440（个）
三、元素相邻，整体处理
对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成 整体并看作一个元素再与
其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。
例3 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？
解：先把3个女生捆绑为一个整体 再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应
全排列。由乘法原理共有A66·A33种。
练习3 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？
答案：A44·24=384
四、元素间隔，分位插入
对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。
例4 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？
解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原理共有
A55A43种。
注意：①必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的
元素 ；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。
练习4 4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？
答案：2A44·A44
例5 马 路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时
关掉相邻的两盏或三盏 ，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？
解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端 不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3
个暗的即可，有C53种。
练习5 从1、2、…、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？
答案：C83。
五、元素定序，先排后除或选位不排或先定后插
对于某些元素的顺序固定的排列问题 ，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总
位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元 素进行排列。也可先放好定序的
元素，再一一插入其它元素。
例6 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？
解法一：先5人全排有A 55种，由于全排中有甲、乙的全排种数A22，而这里只有1
种是符合要求的，故要除以定序元素的全 排A22种，所以有A55A22=60种。
解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲 、乙)有C52种，再排列其它3人有
A33，由乘法原理得共有C52A33=60种。
解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4
种方法，最后插入第 三人有5种方法。由乘法原理得共有3×4×5=60种。
练习6 要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共
有几种插入方法？
答案：A1111A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11种
六、“小团体”排列，先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“ 小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为
一个元素再与其它元素排列。
例7 四名男 歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手
之间有两名男歌手，则出场方案 有几种？
解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种，把这个“女

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男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有A33种，由乘法原理 ，共有A42A22A33
种。
练习7 6人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种？
答案：A22·A44
七、不同元素进盒，先分堆再排列
对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个 元素时，不可分批进
入，必须先分堆再排入。
例8 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？
解：先把5位老师分3堆，有 两类：3、1、1分布有C53种和1、2、2分布有C51C42C22A22
种，再排列到3个班里 有A33种，故共有(C53+C51C42C22A22)·A33。
注意：不同的老师不可分 批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒
内的元素必须一次进入”。
练习8 有6名同学，求下列情况下的分配方法数：
①分给数学组3人，物理组2人，化学组1人；
②分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；
③分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人；
④平均分成三组进行排球训练。
答案：①C63C32C11；②C62C42C22；③C63 C32C11·A33；④C62C42C22A33。
八、相同元素进盒，用档板分隔
例9 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？
解：这里只 是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个
不同的盒内，每盒至少1球， 可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入
4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有 C94种方法。
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。
练习9 从全校10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法？
答案：C119
九、两类元素的排列，用组合选位法
例10 10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？
解：由题意知， 有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。
故有C73种跨法。
注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。
练习10 3面红旗2面黄旗，全部升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号？
答案：C52
例11 沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？
解：每一种最短走法，都要走 三段“|”线和四段“—”线，这是两类元素不分顺序的排列
问题。故有C74或C73种走法。
例12 从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？
解：这个 问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒
子)，是球与档板两类 元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故4块“档板”
与10个球一样也要参与排成一列 而占位置，故有C144种选法。
练习11 (a+b+c+d)10的展开式有几项？
提示：因为每一项都是由a,b,c,d中的一个或多个相乘而得到的10次式，所以可以看成是10个球与3块档板这两类元素不分顺序的排列，故共有C133项。
注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。

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十、个数不少于盒子编号数，先填满再分隔
例13 15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不
同的放法？
解：先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,可
用2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有C112种。
十一、多类元素组合，分类取出。
例14 车间有11名工人，其中4名车工，5名钳工，AB二 人能兼做车钳工。今需调4
名车工和4名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？
解： 不同的调法按车工分为如下三类：第一类调4车工4钳工；第二类调3车工4钳
工，从AB中调1人作车 工；第二类调2车工4钳工，把AB二人作为车工。故共有
C44C74+C43C21C64+C42 C22C54=185种不同调法。
注：本题也可按钳工分类。若按A、B分类，会使问题变得复杂

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