青春无限-怅惘怎么读

排列组合的常见题型及其解法
李锋
排列、组合的概念具有广泛的实际意义， 解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的
顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置 进行限制，因此掌握一些基本的排列、
组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。
一. 特殊元素（位置）用优先法
把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采 取特殊元素（位
置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
解法 1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一
位置上，有
有：
种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有
＝480（种）
种站 法，故站法共
解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站
在左右两端，有
站法共有：
二. 相邻问题用捆绑法
对于要求某几个元素必 须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，
视为一个元素，与其他元素进行排 列，然后相邻元素内部再进行排列。
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有
有种，所以排法共有：（种）。 < br>种，然后女生内部再进行排列，
种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有（种）
种，故
三. 相离问题用插空法
元素相离（即不相邻）问题，可以先将 其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的
元素位置之间和两端的空中。
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？
解：先将其余4人排成一排，有
有种 ，所以排法共有：
种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，
（种）

四. 定序问题用除法
对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解 题方法是：先将n个元素进行全排列
有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能 取其中
的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序
一定，则有种排列方法。
例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中 个位数字小于十位数字的
六位数有多少个？
解：不考虑限制条件，组成的六位数有
的六位数有：
种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求
（个）
五. 分排问题用直排法
对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求
解。
例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？
解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同
的坐标共有 种。
六. 复杂问题用排除法
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想， 从问题的反面去考虑，先求出
无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要 注意做到不重不
漏。
例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
解：从10个点中任取4个点有种取法 ，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4
个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一 条棱上的3个点及该棱对棱的中
点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组 对边分别平行于四
面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以 不同
的取法共有：
七. 多元问题用分类法
（种）。

按题 目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总
数。
例7. 已知直线中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3
个 不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。
解：设倾斜角为，由为锐角，得，即a，b异号。
，，），（1）若c＝0，a，b各有3种 取法，排除2个重复（
故有：3×3－2＝7（条）。
（2）若，a有3种取法，b有3种取 法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线
均不相同，故这样的直线有：3×3×4＝36（条） 。
从而符合要求的直线共有：7＋36＝43（条）
八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。
例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多
少种？
解 ：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），
共 有：（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。由分
步计数原理得不同的分派方案共有 ：
九. 隔板模型法
常用于解决整数分解型排列、组合的问题。
（种）。因此共有36种方案。
例9. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方
案？
解 ：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入
9个空，每一 种插法，对应一种分配方案，故方案有：


（种）