玉米面馒头-佟铁鑫

高中数学排列组合易错题分析
排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化 ，稍不注意，极易出错.本文
选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析，以飨读者.
1没有理解两个基本原理出错
排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理， 故理解“分
类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.
例1（1995年上海高考题） 从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取
5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取 法有 种.
误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算
机，所以只有2种取法.
错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或< br>是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有
不同的取法. < br>正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任
意选取2台，有
C
6
种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有
C
5
3种方法，
23
据乘法原理共有
C
6
C
5
种方 法.同理，完成第二类办法中有
C
6
3
C
5
2
种 方法.据加法
2
2332
原理完成全部的选取过程共有
C
6
C
5
C
6
C
5
350
种方法.
例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不
同的夺冠情况共有（ ）种.
3
4
（A）
A
4
（B）
4
（C）
3
（D）
C
4

3
3
误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.
错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.
正解：四项比赛的冠军依次 在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选
取方法，由乘法原理共有
33333< br>种.
说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得
4
.
1 6
3
4

这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可
能.
2判断不出是排列还是组合出错
在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有 没有顺序性，
有顺序的是排列，无顺序的是组合.
例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多
少种不同的排列方法？
误解：因为是8个小球的全排列，所以共有
A
8
8
种方法.
错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是
完全相同的，同色球之间互 换位置是同一种排法.
正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺
3
序，是组 合问题.这样共有：
C
8
56
排法.
3重复计算出错
在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避< br>免重复计数，产生错误。
例4（2002年北京文科高考题）5本不同的书全部分给4个学生， 每个学生
至少一本，不同的分法种数为（ ）
（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种
误解：先从5本书中取4本分给4个 人，有
A
5
种方法，剩下的1本书可以
4
给任意一个人有4种分法， 共有
4A
5
480
种不同的分法，选A.
4
错因分析 ：设5本书为a、b、c、d、e，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上
述分法可能如下的表1和表2：




甲
a

e

表1
2 6
乙
b

丙
c

丁
d


甲
e

a

乙
b

表2
丙
c

丁
d

表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c 、丁分得d，最后一本书e给甲的
情况；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一 本书a给甲
的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复
了一 次.
正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中
任意取出2本 捆绑成一本书，有
C
5
种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，
4
24
有
A
4
种方法.由乘法原理，共有
C
5
A
4
240
种方法，故选B.
2
例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每
人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种.
（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630
误解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，
2 23
这三个人再进行全排列.共有：
C
7
C
5
A
3
1260
，选B.
错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、 周二，第二
人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的
是周 一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.
正解：
C
7
C
5
A
3
2
223
630
种.
4遗漏计算出错
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出
错。
例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ）
（A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个
误解：如右图，最后一位只能是1 或3有两种取法，又因为
第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取法，剩下3个数排
22
中间两个位置有
A
3
种排法，共有
23A
3
 36
个.
0 1，3
错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000大的奇数还可能是五位
数.
3 6

3
36
个，再由前面分正解：任一 个五位的奇数都符合要求，共有
23A
3
析四位数个数和五位数个数之和共有72 个，选D.
5忽视题设条件出错
在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每 一个字和符号，
不然就可能多解或者漏解.
例7 (2003全国高考题)如图，一个
地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4
种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）
误解：先 着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种
12
颜色涂相对的两块区域， 有
C
3
2A
2
12
种，由乘法原理共有：
4 1248
种.
2
3
1
4
5
错因分 析：据报道，在高考中有很多考生填了48种.这主要是没有看清题设
“有4种颜色可供选择”，不一定 需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任
．．
务.
正解：当使用四种颜色时，由 前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三
种颜色时：从4种颜色中选取3种有
C
4
种方法，先着色第一区域，有3种方法，
剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4 区域，另一种颜色涂第3、
3
5区域，有2种着色方法，由乘法原理有
C
4< br>3224
种.综上共有：
3
482472
种.
例8 已知
ax
2
b0
是关于x的一元二次方程，其中a、b{1,2,3,4}
，
求解集不同的一元二次方程的个数.
2
误解 ：从集合
{1,2,3,4}
中任意取两个元素作为a、b，方程有
A
4个，当a、b
2
取同一个数时方程有1个，共有
A
4
113
个.
错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解集不同的„„”所以在上述解
．． ．．

a2

a4

a1

a2
和

和

法中要去掉同解情况，由于

同解、
b1
b2b4

b2

4 6
同解，故要减去2

个。
正解：由分析，共有
13211
个解集不同的一元二次方程.
6未考虑特殊情况出错
在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.
例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100
元人 民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）
(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种
误解：因为共有人民币10张，每张人民币 都有取和不取2种情况，减去全不
取的1种情况，共有
2
10
11023
种.
错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种情况，
实际上只有不取、取一张和取二张3种情况.
正解：除100元人民币以外每张均有 取和不取2种情况，100元人民币的取法
有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有
2 311535
种.
7题意的理解偏差出错
例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法
有（ ）种.
（A）
A
6
A
5
（B）
A
8
A
6
A
3
（C）
A
5
A
3
（D）
A
8
A
6

误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人 先排，有
A
5
5
种排法，5人排好后产生
6个空档，插入甲、乙、丙 三人有
A
6
种方法，这样共有
A
6
A
5
种排法，选A.
错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结
果 是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、
．．．．
乙、丙 三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.
正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻 的方法数，就得到
863
甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即
A
8
 A
6
A
3
，故选B.
9
35
863
33
84
3
35
5 6

8解题策略的选择不当出错
有些排列组合问题用直接法 或分类讨论比较困难，要采取适当的解决策略，
如间接法、插入法、捆绑法、概率法等，有助于问题的解 决.
例10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中
工厂甲必须 有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.
（A）16种 （B）18种 （C）37种 （D）48种
误解：甲工厂先派一个班去， 有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，
这样共有
34448
种方案.
错因分析：显然这里有重复计算.如：a班先派去了甲工厂，b班选择时也去
了甲工厂，这与< br>b
班先派去了甲工厂，a班选择时也去了甲工厂是同一种情况，
而在上述解法中当作了不 一样的情况，并且这种重复很难排除.
正解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣 除甲工厂无
人去的情况，即：
44433337
种方案.
排列 组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分
步用乘、分类用加、有序排列、 无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变
应万变，把排列组合学好.



6 6