张蔷图片-新丰二中

排列组合
分类计数原理：完成一件事，有n种不同的方法，在1类办法中有m
1
种不同的办法，在第2类办法中有m
2
种
不同的方法······在第n种 办法中有m
n
种不同的方法。那么完成这件事共有N= m
1 +
m
2+······
m
n
种不同的方法
分步计数原理 ：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m
1
种不同的方法，做第2步有m
2< br>种不同的打方
法·····做第n步有m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m
1
×m
2
×······×m
n
种不同的方法
1．排列的概念：从
n
个不同元素中，任取
m
（
mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排
．．．．．
成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列
．．．．

2． 排列数的定义：从
n
个不同元素中，任取
m
（
mn
）个元 素的所有排列的个数叫做从
n
个元素中取出
m
元
素的排列数，用符号
A
n
表示
m
m

3．排列数公式：
A< br>n
n(n1)(n2)L(nm1)
（
m,nN,mn
）
4 阶乘：
n!
表示正整数1到
n
的连乘积，叫做
n< br>的阶乘规定
0!1
．
5．排列数的另一个计算公式：
A
n
=
m
n!

(nm)!
6 组合概念：从
n
个不同元素中取出
m
< br>mn

个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m个元素的一个组
合
7．组合数的概念：从
n
个不同元素中取出
m

mn

个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数．用符号
C
n
表示．
．．．
m
n!
A
n
m
n(n1)(n2)
L< br>(nm1)
m
(n,mN

,且mn)
8．组合数 公式：
C
m

或
C
n

m!(nm) !
A
m
m!
m
n
mnm0
9.组合数的性质1：
C
n
C
n
．规定：
C
n
1
；
10.组合数的性质2：
C
n1
＝
C
n
+
C
n
mmm1
C
n
0
+C
n
1
+…+C
n
n
=2
n
排列组合问题的解题策略
一、相临问题——捆绑法
一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决
例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

二、不相临问题——选空插入法
若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决
例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

三、复杂问题——总体排除法
在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法 ”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成
元素的限制。
例3.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.

四、特殊元素——优先考虑法
对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法有多少种．


例5．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力 队员要安排在第一、三、五位置，
其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多 少种.


五、多元问题——分类讨论法
对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
例6．某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目
单中，那么不同插法 的种数为（ ）
A．42 B．30 C．20 D．12
六、混合问题——先选后排法
对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．
例7． 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）

例8．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上 ，其中黄瓜必须种
植，不同的种植方法共有（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
七．相同元素分配——档板分隔法
例9．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生 阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试
求不同分法的种数。
解：先让2、3 号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，
这相当 于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有 种插法，即有15种分法。
八．特殊元素（位置）的“优先安排法”：
对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。
例10、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。
A． 24个 B.30个 C.40个 D.60个
九．总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从 总体中把不合要求的除去。如例10中，也可用此法解答:五个数
字组成三位数的全排列有A53个，排 好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要排除，
故有A53--3A42+ C21A31=30个偶数。
六．顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先 把这几个元素与其他元素一同进行全排列，
然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
例11、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？
分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合 条件
的排法有A66 ÷A33 =120种。(或A63种)
例12、4个男生和3个女生 ，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排
法。
解：先在7个位置中任取4个给男生，有A74 种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有A74 种排
法。(也可以是A77 ÷A33种)

练习题：

1．由1，2，3，4，5，6，7七个 数字组成的无重复数字的七位数中，2，4，6从左到右按4在前，2居中，6在
后的次序出现且2，4 ，6不相邻，这样的七位数共有（ B ）
1
43
A
4
A
5
AAACAA
2
A．个 B．个 C．个 D．个
4
4
3
5
44
3
5
4
4
3
3
2.12名同学合影，站成前 排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不
变，则不同调整方 法的总数是( C )
A．
C
8
2
A
3
2
B．
C
8
2
A
6
6
C．
C
8
2
A
6
2
D．
C
8
2
A
5
2

3.4名同学没人从甲、乙、丙3门课程中选修一门，则恰有2人选修课程甲的不同方法共有 （ ）
A.12种 B.24种 C.30种 D.36种
4、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生 ，则不同的选法共有
( )
A140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种
5、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，再每人从中拿一张别人送出的贺卡，则不同的分配方式有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
6、4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）
A. 12 种 B. 24 种 C 36 种 D. 48 种
7、某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每 班安排2名，则不同的安
排方案种数为（ ）
A
A
6
C
4
B
22
1
22
222
A
6
C
4
C
A
6
A
4
D
2A
6
2
8、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新 节目插入原节目
单中，那么不同的插法的种数为（ ）
（A）42 （B）30 （C）20 （D）12
，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种19.如图，一环形花坛分成
A
种花，且 相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ B ）
A．96 B．84 C．60 D．48
A
B
D
C
10、如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得
使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
种.（以数字作答）
11.某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所 示的6个点A、
B、C、A
1、
B
1
、C
1
上各装 一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡
都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）.216