置之不理的置是什么意思-怎么说话好听

谈各种排列组合问题

1 引言
近几十年，排列组合在 计算机、规划论、运筹学、概率论等新兴学科都有广泛的应用，在这些
学科的刺激下，使排列组合得到迅 速的发展．
但由于排列组合内容的抽象性、解题的灵活多样性，在学习排列组合时要善于总结类型，巧 妙
地利用组合思想．
2 背景介绍

2.1 理论背景
排列组合 的理论主要集中在高中和大学两个阶段．在高中课本中首先介绍分类计数原则和分步
计数原则，然后给出 排列组合的概念及计数公式，通过例题及练习题让大家理解概念的基础上利用
排列组合的思想及计数公式 解决简单的排列组合问题．在大学阶段排列组合是《组合数学》的主要
组成部分，先给出解决排列组合的 常用计数原则，如相等原则、加法原则、乘法原则等．然后给出
排列组合的定义并对各种排列组合问题分 类进行讨论．在高中的基础上有了很大的提高．
2.2 历史背景
排列组合具有悠久的历史 ，最早可追溯到公元前2200年左右的“洛书”．在我国排列组合越来
越受到人们的重视，从上世纪8 0年代在许多高校开设了《组合数学》，为了培养排列组合的思想，
排列组合已安排到数学教育的各个阶 段，并成为高考的难点与重点，它在其它前沿学科都有着广泛
应用，使排列组合成为发展最为迅速的数学 分支，充满了生机与活力．
3 计数原则

3.1 加法原则

定义1 加法原则也称分类计数原则，完成一件事情有
n
类方法，第
i类方法中有
n
i
种方法，则
完成这件事情共有
Nn
1
n
2
n
n


n
i1
n
i
种方法，加法原则主要针对的是可以利用分类解决
的问题，各种方法之间相互独立 ，其中任何一种方法都可以独立的完成这件事情．利用加法原则正
确解决问题的关键是善于并正确的分类 ．
例1 从1到200的自然数中，各位上都不含有数字5的自然数有多少个？
解 设满足条件的自然数有
N
个，分为三类：
第一类：一位数中不含有数字5的有
n
1
8
个；

1

第二类：两位数中十位含有5的有10个数，个位含有5的有9个数，但5 5只能除去一次，两
位数中不含有5的有
n
2
90109172< br>个；
第三类：三位数中十位含5的有10个数，个位中含5的有10个数，但155只能除去一 次，三
位数中不含有5的有
n
3
1011010182
个 ；
由分类计数原则
N87282162
个．
3.2 乘法原则
定义2 乘法原则也称分步计数原则，完成一件事情要依次经过
n
个步骤，第
i
个步骤有
n
i
种方
法，完成这件事情共有
Nn
1
n
2
n
n


n
i1
n
i
种方法．如果完成一件事情的各个步骤都完成，这
件事情才能完成，那么计算完成 这件事情的方法数就要用乘法原则，正确分步是解决该类问题的关
键．
例2 有
7
个人参加六项比赛，每人参加一项．（1）有多少种参赛方法？（2）7人要争夺六项
比赛的冠 军，冠军的获得者有多少可能？
解 （1）设有
N
种参赛方法，分为七步：
第
i
步：安排第
i
个人，则有6种选择，由分步计数原则
N
6
种参赛方法；
（2）设冠军获得者有
N
种可能，分为六步：
第
i
步：安排第
i
个冠军，则有7种选择，由分步计数原则
N7
种．
此类问题分步的关键在于，当问题模糊不清的时候，“哪一项可以多对一”，按 照“多”进行分
步．
例3 某班联欢会上，已安排好了七个节目，开演前又增加了三个节目 ，把这三个节目插入到
原节目当中，有多少种不同的插入方法？
解 插入法，设有
N
种方法，分为三步：
第一步：插入第一个节目，因已安排好7个节目 有8个空，所以
n
1
8
种；
第二步：插入第二个节目，现有8个 节目有9个空，所以
n
2
9
种；
第三步：插入第三个节目，现有 9个节目有10个空，所以
n
3
10
种；
由分步计数原则，则< br>Nn
1
n
2
n
3
8910720种．
6
7
4 排列

4.1
n
元集的
m
排列

2

4.1.1
n
元集的
m
线排列
定义3

3

(P55)

设集合
A
为
n
元集，
A

a
1
,a
2< br>a
n

，从
A
中取出
m
个不同的元素， 按次序
m
排列，称为
A
的
n
元集的
m
线排 列，其个数称为
m
的排列，记做作
p

n,m

或
p
n
．当
nm
时
A
的
排列又称为
A
的全排列，其个数
p

n,n

又称为全排数． 常用计数公式有
p

n,n

n!
，
p
n,m


n!
．

nm

!
例4 某小组学生照相，其中有8名男生7名女生． （1）将15个人排成一排，有多少种不同的
排法？（2）男生必须站在一起有多少种不同排法？（3） 其中有正副两名组长必须站在两端有多少
种不同的排法？（4）正组长必须站在中间有多少种排法？
解 （1）15个人排成一排，即是15个人的全排列，
p

15,15
15!
；
（2）捆绑法，男生必须站在一起，分两步：
第一步：对男生进行全排列
p

8,8

8!
；
第二步：把男生当做一个整体作为一个元素，与7名女生进行全排列
p

8,8
8!
．
由分步计数原则
N8!8!
种．
（3）特殊元素法，分两步：
第一步：先排正副组长
p

2,2

2!2
种；
第二步：剩下13名同学进行全排列
p

13,13

13!
；
由分步计数原则
N213!
种．
（4）特殊位置法，正组长必须 站中间，剩下的14名同学进行全排列
Np

14,14

14 !

例5 在一次文艺晚会中，舞蹈类节目有7个，歌曲类节目有4个，要求任意两个歌曲都 不相
邻的节目安排方式有多少种？
解 插入法，分两步：
第一步：先对所有舞蹈 类节目进行全排列
p

7,7

7!
种；
第二 步：将4个歌曲类节目插入舞蹈节目当中，即从8个位置中选出4个位置进行安排歌曲
p
8,4


8!
种；
4!
8!
种．
4!
3
由分步计数原则
N7!
例6 有0、1、2、3、4组成的五位数中，要求各位互异有多少种？

解 方法一，直接法．分两步：
第一步：安排首位，有4种选择．
第二步：剩下的四位数作全排 列，
p

4,4

4!
24
种；
由分步计数原则，
N42496
种；
方法二，间接法．所有的五位数 为
p

5,5

5!120
种，其中以0为首位
p

4,4

4!24
种．所
以
N120 2496
种．
4.1.2
n
元集的
m
循环排列
定义4
[4](P26)

n
元集的
m
循环排列 ，集合
A
为
n
元集，
A

a
1
,a
2
a
n

．从中选取
m
个互
异元， 排在一个圆周上，并且只考虑它们在圆周上相互之间的相对位置，这样的一个排列叫做循环
排列．一个循 环排列可以想象成
m
个孩子手拉手沿圆行进．
n
个元素的集合
A 

a
1
,a
2
a
n

的m
循环排列计数公式为
p

n,m

n!
< br>．
mm

nm

!
例7 五个人坐在一个圆桌 上吃饭，（1）问有多少种就坐方法？（2）若其中有两个人不愿意彼
此挨着，问有多少种不同的就坐方 法？
解 （1）由循环排列的计数公式
p

5,5

5!
4!24
种；
55
p

4,4

4!
6
种，这两个人不坐在一起的方法数为
44
（2）间接法、捆绑法． 当两个人挨着时，先对这两个人进行排列
p

2,2

2!2< br>种，把这两个
人当成一个元素与其他三个人进行循环排列
N24618
种 ．
例8 有10个人围着圆桌而坐，其中有5男5女，要求男女交替而坐有多少种不同的就坐方法？
解 插入法．分两步：
第一步：安排男士，有5人围桌而坐
p

5,5

5!
24
种；
55
第二步：5位男士形成5个空安排女士有
5!
种；
由分步计数原则
N4!5!241202880
种就坐方法．
注意 在循环排列当中，因为首尾相连，所以相当于将第一个元素与最后一个元素当作一个元
素进行线排列．
4.2
n
元集的
m
可重复排列
定义5
[9](P7)

A
为
n
元集，
A

a
1
,a
2
a
n

，从
A
中可重复的选取
m
个元素，作为一个原列，
则称为对
A< br>的一个可重复排列．

4

计数公式为
n
元 集的
m
可重复排列的个数为
n
．
例9 七位的电话号码，其中每 一位都是由0、1、2…9中的某个数构成，（1）有多少个电话号
码？（2）若增至八位，则增加多少 个电话号码？
解 （1）七位号码中，每一位有10种选择，则是10元集的7可重复排列
N
1
10
个电话号码；
（2）间接法，升至八位则是10元集的8可重复排 列
N
2
10
个电话号码，号码增加
8
7
mNN
2
N
1
10
8
10
7

个电话号码．
例10 三位数中
a
1
、a
2
、 a
3
其中
a
1
a
2
,a
3
a
2
称为凹数，求三位数中有多少个凹数？

解 特殊元素法．按
a
2
进行分成10类，
a
2
分别取0、1、2、…9时．
第一类：当
a
2
0
时，
a
1
a
2,a
3
a
2
．
a
1
,a
3
都有9种选择，
n
1
9981
种．
第二类：当
a< br>2
1
时，
a
1
a
2
,a
3a
2
．
a
1
,a
3
都有8种选择，
n
2
8864
种．
… … … … … … … … …
第十类：当
a
2
9
时，
a
1
a
2< br>,a
3
a
2
．
a
1
,a
3
都有0种选择，
n
10
0
种．
22
由分类计数原则< br>Nn
1
n
2
n
10
9802 85
个．
例11 三位数中，有多少个可以被3整除，又不含有数字9的？
解 特殊元素法，设这样的三位数有
N
个，分三步：
第一步：百位从1、2、3、4、5、6、7、8中选择，
n
1
8
种；
第二步：十位从0、1、2、3、4、5、6、7、8中选择，
n
2
9种；
第三步：个位，要想三位数被3整除，则三位数之和必为3的倍数，设已选好的百位 和十位之
和除以3余
d
．当
d0
时，个位从0、3、6中选择．当
d
1
时，个位从2、5、8中选择．当
d
2
时，个位从 1、4、7中选择．所以
n
3
3
种；
由分步计数原则
N893216
个．
4.3 多重集的排列
定义6 集合
A
由
n
1
个a
1
，
n
2
个a
2
，…，
n
k
个a
k
组成，称
A
为多重集，表示为
A

n
1
a
1
，n
2
a< br>2
，n
k
a
k

，其中
n
1< br>n
2
n
k
n
．

5

n
k
a
k

中的元素进行全排列，其中 定义7 多重集排列指对于多重集
A

n
1
a
1，n
2
a
2
，
n
1
n
2
n
k
n
．
常用的计数公式为
N

n< br>1
n
2
n
k

!
n!
< br>．
n
1
!n
2
!n
k
!n
1< br>!n
2
!n
k
!
例12 某人忘记了自己的银行卡密码， 但六位中有2个3，1个4，2个5，1个8，他将这6个
数排成一个六位数，问他最多尝试的次数为多 少次？
解 设最多尝试
N
次
A{23,14,25,18}< br>为多重集排列，
N
次．
例13

x
1
x
2
x
3

展开式中
x
1
x
3
的系数为多少？
3
2

2121

!

2!1!1!2!1!
6!
180
2!2!
解 x
1
x
3
的系数为
A

2x
1< br>,1x
3

多重集的全排列，
N
2
3!
3
．所以
x
1
2
x
3
的系数为3．
2!1!
对于多重集子集的排列，关键在于正确给出所有子集．
例14
A

2a,1b,3c

的4排列．
解 A

2a,1b,3c

的4排列，含有4个元素的所有子集为
1b,3c

，
A
4


1a,3 c

．
A
1


2a,2c
，
A
2


2a,1b,1c

，A
3


1a,1b,2c

，
A5



设
A
i
的全排列为
n
i
，
n
1

4!4!4!4!4!
6
，
n
2
12，
n
3
4
，
n
4
12
，n
5
4
．
2!2!2!1!1!3!1!1!2!1!3!
由分类计数原则，
Nn
1
n
2
n
3
n< br>4
n
5
612412438
．
5 组合
5.1
n
元集的
m
组合
定义8 集合
A< br>
a
1
,a
2
a
n

为一个n
元集，从
n
个元素中不重复的任意选取
m
个元素做成
一个集合，称为集合
A
的
n
元集的
m
组合．
计数公式为
C
n

m
n!

其中0mn< br>
．
m!

nm

!
例15 圆上有12个点，（1）可以组成多少条直线？（2）可以组成多少个三角形？
解 （1）圆上12个点中任意三个点都不共线，因为任意两个点都可以确定一条线．
所以有
NC
12


2
12!
66
条直线；
2!

122

!
6

（2）圆上的任意三点都不共线，因为任意三点都可以确定一个三角形．
所以有
NC
12

3
12!
220
个三角形．
3!

123

!
例16 （均分问题）有 8本不同的书，（1）分给甲乙丙丁四个人，每人两本，有多少种不同的
分法？（2）分成4份，每份两 本，有多少种不同的分法？
解 （1）分四步完成：
2
第一步：先给甲分两本，有
n
1
C
8
28
种；
2
第二步：给乙 分两本，有
n
2
C
6
15
种；
2
第 三步：给丙分两本，有
n
3
C
4
6
种；
第四步：给丁分两本，有
n
4
C
2
1
种； < br>由分步计数原则，
Nn
1
n
2
n
3
 n
4
2815612520
种．
（2）设共有
N
种分法，由（1）可按如下两步进行：
第一步：将8本书分成4份；
第二步：将4份书分给甲乙丙丁四个人，
P

4,4

4!24
种；
22
C
8
2
C
6
2
C
4
C
2
105
种． 由分步计数原则，
N4!CCCC
，
N
4!
2
82
6
2
4
2
2
2
注意 在解决均分问题时一定要注意所分给的对象是否跟顺序有关．
例17 某条马路上有10盏灯，为了 节约用电又不影响照明，决定同时熄灭三盏灯，但两端的
不能熄灭，熄灭的两盏灯不能相邻，问有多少种 熄灭方式？
解 插入法，10盏灯熄灭3盏灯则剩下7盏灯，因不能熄灭两端，则有6个空隙，让熄 灭的三
3
盏灯去插空，
NC
6
20
种．
注意 在利用插入法解决问题时，一定要注意插入的对象是否与顺序有关，若与顺序有关，则
先排序后插入．
例18 （1）四个相同小球放入编号为1、2、3、4的 四个盒子中，恰有一个空盒，有多少种不
同方法?（2）四个不同小球放入编号为1、2、3、4的 四个盒子中，恰有一个空盒，有多少种不同
方法？
解 （1）捆绑法，分三步完成：
第一步：从四个盒子中，选一个空盒子，
n
1
C
4
4
种；

7
1

1
第二步：确定放两个小球的盒子，
n
2
C
3
3
种；
2
第三步：剩下 两个球分别放入两个盒子中，
n
3
C
2
1
种；
由分步计数原则，
Nn
1
n
2
n
3
43 112
种．
（2）捆绑法，分三步完成：
第一步：从四个盒子中，选一个空盒子 ，有
n
1
C
4
4
种；
第二步：确定两个小球 捆绑在一起，
n
2
C
4
6
种；
第三步：把 捆绑在一起的两个球作为一个元素与剩下的两个小球放入三个盒子中，三个元素的
集合全排列．
n
3
P

3,3

3!6
种；
由 分步计数原则，
Nn
1
n
2
n
3
466 144
种．
5.2
n
元集的
m
可重复组合
定义9 设
A

a
1
,a
2
an

为一个
n
元集，从
A
中可重复的选取
m< br>个元素组成一个多重集，
称为集合
A
的
m
可重复组合．
计数公式为
C
mn1
．
例19 某饼干厂生产5种饼干，若 每盒装有20块各种饼干，与装盒顺序无关，并且认为每种
饼干都是无限多的，那么你能买到多少种不同 盒装的饼干？
2020
解 集合
A

a
1
, a
2
a
5

为5元集的20可重复组合，
NC
2051
C
24
10626
种．
m
1
2
例20

x
1
x
2
x
3

展开式有多少不同项？
8
88
解 集 合
A

x
1
,x
2
,x
3
< br>为3元集的8可重复组合，
NC
831
C
10
45
，有45个不同项．
例21
14x4x
2
3x
3
展开式中
x
的系数是多少？
解
14x4x
2< br>3x
3
12

6
5


< br>
12x

6
10
2
3x
8
3
6


36



12x

6

12x

3x15

12x

9x

5522
所以
NC
12
21 8C
10
225344324028584

通过上文的论述，我们加 深了对各种排列组合问题的理解．按照元素对各种排列组合问题进行
分块研究，并根据解题方法总结了常 见类型，并给出一般性的解题方法．随着新兴学科的发展，排
列组合得到近一步的丰富和完善，应用更加 广泛，有着广阔的发展空间．

8

9