计算机网络管理技术-年歌

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教学设计方案
排列组合问题常见解法 排列组合问题是高考考察的重点，每年必考内容，常是一个选择题或一个填空题，分值为5分，难度为中等难 度，在
分布列计算中也常用到排列组合的计算，先将排列组合问题解法介绍如下，供同学们参考。
一、元素分析法
在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。
例1 （06全国）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5
月1日和2日。不同的安排方法共有 种（用数字作答）
解：因甲、乙二人都不安排在5 月1日和2日，所以先安排甲、乙，在5月3日至5月7日5天中选2天安排
甲、乙有
A
5
2
种方法，再安排其余5人，有
A
5
5
种方法，故共有
A
5
5
A
5
2
=2400种
二、位置分析法
在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。
例2 题同例1
解：因5月1日和2日不能安排甲、乙，所以先安排5月1日、2日，在除甲、乙外5人中选 2人安排到5月
1日、2日，有
A
5
2
种方法，再安排其余5天，有
A
5
5
种方法，故共有
A
5
2
A
5
5
=2400种
三、间接法
又叫排除法，在解有限定条件的排列问题时 ，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合条件的排列数。
例3 题同例1
725< br>解：安排7人在5月1日至5月7日值班，有
A
7
种方法，其中甲、乙二人都安 排在5月1日和2日有
A
2
A
5

种，甲、乙仅一人安排在5 月1日和2日有
C
2
C
5
A
2
A
5
种。不同的安排方法共有
A
7
-
A
2
A
5
-
C
2
C
5
A
2
A
5
=240 0种
四、树图法
又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。适 合限定条件在3个以上，排列组
合问题。
例4 已知集合M={a，b，c} ，N={1， 0,-1},在从集合M到集合N的所有映射f中，满足f(a)+f(b)=f(c)的映
射有多少个 ？
解：满足条件的映


所以满足条件的映射有7个。
五、逐一插入法
若干元素必须按照特定的顺序排列的 问题，先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其
间或两端。
例5 （06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在
工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数
是 。（用数字作答）
解：（逐一插入法）先将工程甲、乙、丙、丁按指定的顺 序排成一排，有1种方法，将丙丁看成一项工程，再
在甲、乙、丙（丁）之间和两端的4个空档安排其余 2项工程1项工程，有
A
4
种方法，再在这4项工程之间和两端
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的5个空档安排其余1项工程，有
A
5
种方法，所以共有
A
4
A
5
=20种方法。
六、消序法
若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将所有元素全排列，再将特殊元素在 其位置上换位情况消去（通
常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。
例6（06江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同
的方法（用数字作答）
解：先将9个球排成一排有
A
9
9< br>种不同的方法，其中，2个红球有
A
2
2
排法， 3个黄球有
A
3
3
排法， 4个白球有
A
4
排法， 因同色球不加以区分， 所以2个红球、3个黄球、4个白球都各有1中排法，消去它们的顺序得将这9
4
个球排成一列有
A
9
2
2
9
4
4
AAA
3
3
=1260种
七、优序法
若干元素必须按照特定的 顺序排列的问题，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元
素按指定顺序排上 去，再将普通元素在其余位置上全排列。
例7（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工 程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在
工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后 立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数
是 。（用数字作答）
解：先将丙丁看作1项工程，再在5个位置中选3个位置，按指定顺序安排甲、乙、丙（丁）3项工程，有
C
5
3
种方法，再在其余2个安排其余2项工程，有
A
2
2
种方法，所以共有
A
2
2
C
5
=20种方法。
3
八、捆绑法
若某些元素必须相邻，先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再 与其他元素全排列，最后再考虑这几个
相邻元素的顺序。
例8 （05辽宁）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻， 3与4相邻，5
与6相邻， 7与8不相邻，这样的八位数共有 个。（用数字作答） < br>解：先将1与2、3与4、5与6各看成一个元素，将这3个元素排成一排，有
A
3种方法，再在这3个元素之
间和两端的4个空档中选3个安排7与8，有
A
4
种方法，再排1与2、3与4、5与6的顺序，各有2种方法，
所以共有
A
3
A
4
2
3
=257种方法，因每一种排法对应一个八位数，所以 这样的八位数共有257个。
3
3
2
2
九、插空法
若某 些元素不相邻，先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特
殊元素。
例9 有一排8个相同的座位，选3个座位坐人，要求每人两边都有空位，这3人有多少不同的安排方法？
解 ：因3个坐人的座位不相邻，用插空法，先将5个空位排成一排有1种方法，然后在5个空位的4空档选3
个空档安排坐人的3个座位，有
A
4
=24种不同的方法，这3人有24不同的安排 方法。
十、查字典法
对数的大小顺序排列问题常用此法。（1）先把每一个数字（符合条件 ）打头的排列数计算出来；（2）再找下一
位数字。
例10 在由1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的五位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）
A.56 B.57 C.58 D.60
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12解：首位为2第二位为3第三位为1比23145大的数只有1个；首位为2第二位为3第三位比1大的数有
A
2
A
2

1313
4
=4个；首位为2 第二大于3的数
A
2
A
3
=12个；首位为3的数有
A4
24个；首位为4第二位比3小的数有
A
2
A
3
=1 2
12
个；首位为4第二位为3第三位比5小的数有
A
2A
2
=4个；首位为4第二位为3第三位为5比43521小的数有1个。
所以大 于23145且小于43521的数共有1+4+12+24+12+4+1=58个。
十一、分组问题
（1）若各组元素个数均不相同，则逐组抽取。
（2） 若其中有若干组元素个数相同，则逐组选取，因元素个数相同，所以组间无差别，故除以元素个数相同组
数的全排列以消序。
例11（06江西）将7个人分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，则a为（ ）
A.105 B.105 C.210 D.210
解：先在7人选3人作为1组，有C
7
3
种方法，再从其余4人中选2人作为1组，有
C
4
2
种方法，再把余下2人
作为1组有
C
2
2
种方法，因后 2组人数相同，故应认为这2组无序，应除以
A
2
2
。
∴不同的分 组有
C
7
C
4
C
2
A
2
2
322
=105种
十二、隔板法
又叫隔墙法，插板法，n件相同物品（n个名额）分给m个人，名额分配，相同物品分配常用此法。
若每个人至少1件物品（1个名额），则n件物品（n名额）排成1排，中间有n-1 个空挡，在这个n-1空档
选m-1个空挡放入隔板，隔板1种插法对应1种分法，所以有
C< br>n1
种分法。
若允许有人分不到物品 ，则先把n 件物品和m-1块隔板排成一排 ，有n+m-1个位置，从这个位置中选m-1
个位置放隔板，有
C
nm1
种方法，再将n件物品放入余下的位置，只有1种方法，m-1块隔板将物品分成m块，从
左到右可看 成每个人分到的物品数，每1种隔板的放法对应一种分法，所以共有
C
nm1
种分法。
例12 9个 颜色大小相同的分别放入编号分别为1，2，3，4，5，6的6个盒中， 要求每个盒中至少放1个小
球，有多少种方法？
解：（法1）将9个小球排成一排，9个小 球之间有8个空挡，在这8个空挡选5个空挡放5个隔板，将9
个小球分成6份，每份至少1个球，将这 6份放到6个盒中，有
C
8
=56种方法。
（法2）先给 每个盒中放1个球，然后将余下的3个小球和5块隔板排成一排，排列位置有8个，先从8个
位置中选5 个放隔板，有
C
8
=56种方法，再余下位置放小球只有1种方法， 5块隔板将小球 分成6块，从左到右看
成6个盒所得球数，每一种隔板放法对应1种分法，故有
C
8< br>=56种方法。
十三、排列组合综合问题
排列组合综 合问题，应先取后排；较复杂的排列组合问题，如含“至多”、“至少”、多个限定条件问题，注意
分类 讨论。
例14 （06陕西）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)， 其中甲和乙不同去，甲
和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种 。
解 ：由题知，若选甲，则必不选乙，必选丙，须从除甲乙丙外5人中选2人，有
C
5
种方 法；若不选甲，则必不
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5
5
5
m1
m1
m1

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选丙，须从除甲丙外6人中选4人，有
C
6
4
种方法，再将选出的4人分到4个地区，有
A
4
4
方法，所以不同 的选派方
案共有(
C
5
3
+
C
6
4
)
A
4
4
=600种。
例14 现有8名青年，其中有5名能 胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作，现在要从中挑选5
名青年承担一项任务，其中3名 从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
解：（法1）我们可以分成3类：
①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有
C
4
2
C
3
2
；
1
②让两项工作都能 担任的青年从事德语翻译工作，有
C
4
3
C
3
；
③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有
C
4
3
C
3
2
；
1
∴由分类计数原理，总的方法一共有
C
4
2C
3
2
+
C
4
3
C
3
+C
4
3
C
3
2
=42
十四、一一映射转化法
例15 一个楼梯共有11级台阶，每步走1阶或2阶，7步走完，一共有多少种走法？
解：11级台阶，要求7步走完，每步走1阶或2阶 ，显然，必须有4步走2阶，3步走1阶。设每步 走1阶为
A每步走2阶为B，则原问题相当于在8个格子选个格子填A，其余填B，这是一个组合问题， 所以一共有
C
7
=35
种不同的走法。
3
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