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解排列组合问题中常用的数学思想方法
（分类讨论与等价转化）

一、分类讨论思想
排列组合问题往往情境复杂 ，层次多，视角广，这需要我们在分析问题时，选择恰当的
切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小 问题，分而治之，各种击破。
例
1
、
已知集合
A
和集合< br>B
各含有
12
个元素，
AB
含有
4
个元素 ，求同时满足下列条件
的集合
C
的个数：
①
CAB
且
C
中含有
3
个元素；②
CA

。
解 析：如图，因为
A
，
B
各含有
12
个元素，
AB


4
含有
4
个元素，所以
A B
中的元素有
1212420

8
8
个，其中 ：属于
A
的有
12
个，属于
A
而不属于
B
的有
8

个；属于
B
的有
12
个，属于
B
而不属于
A
的也有
8
个。
要使
CA

，则
C
中的元素至少含在
A
中，集合
C

1221
的个数是：㈠只含
A
中
1
个元素的有
C
12
C
8
；㈡含
A
中
2
个元素的有
C12
C
8
；㈢含
A
中
3
个
30122 130
元素的有
C
12
C
8
。故所求的集合
C的个数共有
C
12
C
8
C
12
C
8
C
12
C
8
1084
个。

二、等价转化思想
很多排列组合问题的解决，如果能跳出题目没有限定的“圈子”， 根据题目的特征构思
设计出一个等价转化的途径，可使问题的解决呈现出“柳暗花明”的格局。
1、具体与抽象的转化
例
2
、
某人射击
7
枪，击 中
5
枪，问击中和末击中的不同顺序情况有多少种？
解析：没击中用“
1< br>”表示，击中的用“
0
”表示，可将问题转化为下列问题：数列
a
1< br>，
a
2
，
a
3
，
a
4
，< br>a
5
，
a
6
，
a
7
有两项为
0
，
5
项是
1
，不同的数列个数有多少个？①两个
0不
1
相邻的情况有
C
6
种；②两个
0
相邻的情 况有
C
6
种。所以，击中和末击中的不同顺序情况有
1
C
6
2
C
6
21
种。
2
2、不同数学概念之间的转化
例
3
、
连结正方体
8
个顶点的直线中，为异面直线的有多少对？
解析：正面求解或反面求解（利用补集），虽 可行，但容易遗漏或重复。因为每一个三
棱锥对应着三对异面直线，所以可转化为计算正方体
8
个顶点能构成多少个三棱锥？从正方
体
8
个顶点中任取
4
个 ，有
C
8
种，其中
4
点共面的有
12
种（
6
个表面和
6
个对角面）。不共
4
4
面的
4
点可构一个三棱锥，共有
C
8
12
个三棱锥。因而共有
3C8

12174
对异面直线。
4



1