书图片-奥特曼的照片

.
2014高三暑期保送复习
《排列组合与概率》专题

第一讲 排列组合与二项式定理
【基础梳理】
1．排列
(1)排列的概 念：从
n
个不同元素中，任取
m
(
m
≤
n
)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫
做从
n
个不同元素 中取出
m
个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从
n
个不同元 素中，任取
m
(
m
≤
n
)个元素的所有排列的个数叫做从< br>n
个不同元素中取出
m
个元素
的排列数，用符号A
n
表示．
(3)排列数公式
A
n
＝
(4)全排列数公式
A
n
＝

(叫做
n
的阶乘)．
2．组合
(1)组合的定义：一般地，从< br>n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
)个元素并 成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的
一个组合．
(2)组合数的定义：从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤< br>n
)个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素
的组合数．用符号C
n
表示．
(3)组合数公式
C
n
＝ (< br>n
，
m
∈N，且
m
≤
n
)．特别地C
n
＝1.
(4)组合数的性质：①C
n
＝C
n
；②C< br>n
＋1
＝C
n
＋C
n
.
3．二项式定理
（1）(
a
＋
b
)＝C
n
a
＋C
n
a
(
a
＋
b
)的
其中的系数C
n
(
r
＝0,1，…，
n
)叫 ．
式中的C
n
a
rn
－
rrn
－
rr< br>b
叫二项展开式的通项，用
T
r
＋1
表示，即通项
T
r
＋1
＝C
r
b
.
n
a
rn
n
0
n
1
n
－1
m
m
n< br>m
m
*0
mn
－
mmmm
－1
n
－
rrn
*
b
＋…＋C
r
b
＋…＋C
nn
a
n
b
(
n
∈N)这个公式所表示的定理叫二项式定 理，右边的多项式叫
（2）．二项展开式形式上的特点
①项数为

.
②各项的次数都等于二项式的幂指数
n
，即
a
与
b
的指数的和为

.
③字母
a
按降幂排列，从第一项开始，次数 由
n
逐项减1直到零；字母
b
按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项
增直到
n
.
(4)二项式的系数从C
n
，C
n
，一直到C
n
，C
n
.
(3)．二项式系数的性质
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 即
.
01
n
－1
n

.
②增减性与最大值： < br>二项式系数C
n
，当
k
＜
k
n
＋1
2
时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；
当
n
是偶数时，中间一项 取得最大值；
当
n
是奇数时，中间两项 取得最大值．
③各二 项式系数和：C
n
＋C
n
＋C
n
＋…＋C
n
＋…＋C
n
＝2；
C
n
＋C
n
＋C
n
＋…＝C
n
＋C
n
＋C
n
＋…＝ .

【基础自测】
1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编 号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的
3名运动员所在的跑道编号必须是三个 连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有
( )．
A．360种
C．720种
B．4 320种
D．2 160种
024135
012
rnn
2．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有( )．
A．200个 B．190个
C．185个 D．180个
3．(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必 须排在前两位，节目乙不能排在
第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共 有( )．
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
4.如图，将1, 2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共
有 ( )．
1

3

2


A．6种
C．24种
B．12种
D．48种
2

1

3

3
2
1
5．某工程队有6 项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成
后才能进 行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作
答)．
6.(2011·福建)(1＋2x)
5
的展开式中，x
2
的系数等于( )．
A．80 B．40 C．20 D．10
7.若(1＋2)
5
＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝( )．
A．45 B．55 C．70 D．80
8.(人教A版教材习题改编)若 (x－1)
4
＝a
0
＋a
1
x＋a
2
x< br>2
＋a
3
x
3
＋a
4
x
4
，则a
0
＋a
2
＋a
4
的值为( )．
.

.
A．9 B．8 C．7 D．6
9．(2011·重庆)(1＋3x)
n
(其中n∈N且n≥6)的展开式中 x
5
与x
6
的系数相等，则n＝( )．
A．6 B．7 C．8 D．9

【例题分析】
考向一 排列问题
【例1】►六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；
(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；
(6)甲、乙、丙三人顺序已定．






【巩固练习1】 用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1 )0不在个位；(2)1与2
相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在 个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列．



考向二 组合问题
【例2】►某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

【巩固练习2】 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)
甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？




考向三 排列、组合的综合应用
.

.
【例3】►(1) 7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？
(2)计算
x
＋
y
＋
z
＝6的正整数解有多少组；
(3)计算
x
＋
y
＋
z
＝6的非负整数解有多少组 ．



【巩固练习3】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
(1)分成1本、2本、3本三组；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
(3)分成每组都是2本的三组；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．




【巩固练习4】► 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品， 若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一
等品的不同取法有多少种？



【巩固练习5】 在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一 个由1人独唱4人伴舞的
节目，共有几种选法？




考向四 二项展开式中的特定项或特定项的系数

3
3


n
的展开式中，第6项为常数项．
x－
【例4】►已知在

3


x
(1)求n；
(2)求含x
2
的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．


【训练6】 (2011·山东)若

x－

x

2
a

6
展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
.

.



考向五 二项式定理中的赋值
【例7】►二项式(2x－3y)
9
的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．






【训练7】 已知(1－2x)7
＝a
0
＋a
1
x＋a
2
x
2
＋…＋a
7
x
7
.
求：(1)a
1
＋a
2
＋…＋a
7
；(2)a
1
＋a
3
＋a
5
＋a
7
；(3)a
0
＋a
2
＋a
4＋a
6
；(4)|a
0
|＋|a
1
|＋|a
2
|＋…＋|a
7
|.





考向六 二项式的和与积
【例8】►(1＋2x)
3
(1－x)
4
展开式中x项的系数为________．

2
x－

7
的展开式中，x
4
的系数是________(用数字作答)． 【训练8】 (2011·广东)x


x




【巩固作业】
一、选择题
1错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招 生统一考试山东数学（理）试题）用0,1,,9十个数字,可以组成
有重复数字的三位数的个数为 （ ）
A．243 B．252 C．261 D．279
2错误！未指定书签。 ．（201 3年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）满足
a,b

1,0,1, 2

,且关于
.

.
x的方程
ax
2
2xb0
有实数解的有序数对
(a,b)
的个数为 （ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
错误！未指定书签。 3．（2013年普通高等 学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）使得
1

3x

< br>nN


的展开式中含有常数项的最小的n为

xx

A．
4
B．
5
C．
6
D．
7

n
（ ）
错误！未指定书签。 4．（2013年高考四川卷（理））从
1,3,5,7,9
这 五个数中,每次取出两个不同的数分别为
a,b
,
共可得到
lgalgb< br>的不同值的个数是
A．
9
B．
10
C．
18
D．
20

（ ）
6


1


x

,x0,
5错误！未指定书签。 ．（2013年高考陕西卷（理））设函数
f(x)


, 则当
x
>0时,
f[f(x)]
表
x

x0.

x,
达式的展开式中常数项为
A．-20 B．20
（ ）
C．-15
2
D．15
6错误！未指定书签。．（2013年高考江西卷（理））(x-
A．80

二、填空题
B．-80 C．40
2
5
)展开式中的常数项为
3
x
D．-40
（ ）
7错误！未指定书签。（2013年上 海市春季高考数学试卷(）．36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为
36=2
2
3
2
,
所以36的所有正约数之和为
(133
2
) (22323
2
)(2
2
2
2
322
3
2
)(122
2
（)133
2
)91
参照上述方法,可求得
2000的所有正约数之和为______________ __________
8错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））二项式
(x y)
的展开式中,含
xy
的项的系数是_________.(用
数字作答 )

9错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(）从4名男同学和6 名女同学中随机选取3人参加某社
团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果 用数值表示).
10错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试 题）将
A,B,C,D,E,F
六个字母排
成一排,且
A,B
均在< br>C
的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)
11错误！未指定书 签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）从
3
名骨科.
4
名脑外科和
5
名
内科医生中选派
5
人组成一个抗震救灾医疗 小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是
___________(用数字作答)
1

12错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（ 理）试题）

x

的二项展开式中的
x

.
6
523

.
常数项为______.

第二讲 离散型随机变量及其分布列

【知识梳理】
1．离散型随机变量的分布列
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量 来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母
X
，
Y
等表示．
(2)离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
(3)分布列
设离散型随机变量
X
可能取得值为
x
1，
x
2
，…，
x
i
，…
x
n
，
X
取每一个值
x
i
(
i
＝1,2，…，
n
)的概率为
P
(
X
＝
x
i
)＝
p
i
，
则称表
X
P
x
1

p
1

x
2

p
2

…

…

x
i

p
i

…

…

x
n

p
n

为随机变量
X
的概率分布列，简称
X
的分布列．
(4)分布列的两个性质
①
p
i
≥0，
i
＝1, 2，…，
n
；②
p
1
＋
p
2
＋…＋
p
n
＝_1_.
2．两点分布
如果随机变量
X
的分布列为

X
P
1

0
p q

其中0<
p
<1，q
＝1－
p
，则称离散型随机变量
X
服从参数为
p的两点分布．
3．超几何分布列
C
M
C
N
－
M
在含有
M
件次品数的
N
件产品中，任取
n
件， 其中含有
X
件次品数，则事件{
X
＝
k
}发生的概率为：< br>P
(
X
＝
k
)＝
n
(
k
C
N
＝0,1,2，…，
m
)，其中
m
＝min{
M
，
n
}，且
n
≤
N
，
M
≤
N
，
n
、
M
、
N
∈N，则称分布列
*
kn
－
k
X
0
0

C
M
·C
N
－
M

n
C
N
n
－0
1

C
M
C
N
－
M
n

C
N
1
n
－1
…

…

m

C
M
C
N
－
M
n

C
N
mn
－
m
P
为超几何分布列．
【基础自测】
1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为( )．
A．出现正面的次数
B．出现正面或反面的次数
.

.
C．掷硬币的次数
D．出现正、反面次数之和
2．如果
X
是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )．
A．
X
取每个可能值的概率是非负实数
B．
X
取所有可能值的概率之和为1
C．
X
取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D．
X
在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
1< br>3．已知随机变量
X
的分布列为：
P
(
X
＝
k
)＝
k
，
k
＝1,2，…，则
P
(2<
X
≤4)等于（ ）
2
A.
3115
B. C. D.
1641616
4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1 ,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为
X
，则
X
的所有可能取值个数为( )．
A．25 B．10 C．7 D．6
5．设某运动员投篮投中的概率为
P
＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布 列是________．

考点一 由统计数据求离散型随机变量的分布列
【例1】►(2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数

分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学
(1)求这两名同学的植树总棵数
y
的分布列；
(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．



【练习1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；
一旦失 败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

则该公司一年后可获收益的分布列是________．
考点二 由古典概型求离散型随机变量的分布列
1
【例2】►袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2 个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，
7
甲先取，乙后取，然后甲再取 ，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出
的机会是等可能的， 用
X
表示取球终止时所需要的取球次数．
(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随 机变量
X
的分布列；(3)求甲取到白球的概率．

.
投资成功

192次

投资失败
8次

.
【练习2】 (2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行 一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种
不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为< br>A
饮料，另外4杯为
B
饮料，公司要求此员工一一品尝后，
从8杯饮料 中选出4杯
A
饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；
否则月工资定为2 100元．令
X
表示此人选对
A
饮料的杯数．假设此人对
A
和
B
两 种饮料没有鉴别能力．
(1)求
X
的分布列；(2)求此员工月工资的期望．





考点三 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列
【例3】►(2011·浙江)某毕业生参加人 才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到
2
甲公司面试的概率 为，得到乙、丙两公司面试的概率均为
p
，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记
X
为该毕
3
1
业生得到面试的公司个数．若
P
(
X
＝0)＝，则随机变量
X
的数学期望
E
(
X
)＝_ _______.
12



【练习3】 某地有
A、
B
、
C
、
D
四人先后感染了甲型H
1
N
1
流感，其中只有
A
到过疫区．
B
肯定是受
A
感染的．对于
C
，
1
因为难以断定他是受
A
还是受
B
感染的，于是假定他受
A
和受
B
感染的概率都是.同样也 假定
D
受
A
、
B
和
C
感染
21
的概率都是.在这种假定之下，
B
、
C
、
D
中直接受
A
感染的人数
X
就是一个随机变量．写出
X
的分布 列(不要求写出
3
计算过程)，并求
X
的均值(即数学期望)．




【练习4】►(本题满分12分)在一个盒子中，放有标号分别为1, 2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后
抽得两张卡片的标号分别为
x
、< br>y
，记ξ＝|
x
－2|＋|
y
－
x
|.
(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
(2)求随机变量ξ的分布列．


3
【练习5】 某射手进行射击练习，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响．
5
.

.
(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；
(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；
(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．






【】


【巩固作业】w。w-w*k&s%5￥u
1、如果
X
是一个离散型随机变量，则假命题是( )
A.
X
取每一个可能值的概率都是非负数；B.
X
取所有可能值的概率之和为1；
C.
X
取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D.
X
在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
2①某寻呼台一小 时内收到的寻呼次数
X
；②在
(0,1)
区间内随机的取一个数
X< br>；③某超市一天中的顾客量
X
其
中的
X
是离散型随机变量的是（ ）
A．①； B．②； C．③； D．①③
3、设离散型随机变量

的概率分布如下，则
a
的值为（ ）
X

P
[来源:学+科+网]
1

2 3 4
1
a


6
1
11
1
A． B． C． D．
63
24
k
4、设随机变量
X
的分 布列为
P

Xk




k1,2, 3,,n,

，则

的值为（ ）
A．1； B．
1

6
1

3
1
1
1
； C．； D．
3
24
5．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是（ D ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
6、设随机变量
X
等可能取1 、2、3...
n
值，如果
p(X4)0.4
,则
n
值 为（ ）
A. 4 B. 6 C. 10 D. 无法确定
7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为
X
，那么
X4
表示的随机实验结果是（ ）
A. 一枚是3点，一枚是1点 B. 两枚都是2点
C. 两枚都是4点 D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
3
8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是 坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为( )
10
A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的
C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的
.

.
2

9.(2007年湖北卷第1题) 如果

3x
2

3

的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为
x

A.3 B.5 C.6 D.10
10. （2007年湖北卷第9题）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m,n)与向量b=(1,- 1)的夹角为θ，
则


0
，

的概率是 2
n





A.
5175
B. C. D.
122126
11.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位 老人拍照，要求排成一行，2位老人相邻但不排
在两端，不同的排法共有
A．1440种 B.960种
C．720种 D.480种
12.(2007年全国卷Ⅱ第10题) 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六 、星期日参加公益活动，每人一天，要
求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选 派方法共有
(A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种
13 、下列表中能成为随机变量
X
的分布列的是 （把全部正确的答案序号填上）

2 3
0 1
0 -5
X

1
X

5

X

-1

①
p

0.3 0.4 0.4
②
p

0.4 0.7 -0.1
③
p

0.3 0.6 0.1



2
k1


P

Xk


n
,k1,2,3,,n

1
④ ⑤
P

Xk

,k2,3,4,5,

21
k


2,3,,10
，则
X
的取值为 14、已知
Y 2X
为离散型随机变量，
Y
的取值为
1,
15、一袋中装有5只同 样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号
码数
X
可能取值为
1

16. (2007年重庆卷第4题)若

x
< br>展开式的二项式系数之和为
64
，则展开式的常数项为_____
x

18、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个 数是绿球个数的
一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－ 1分，试写出从该盒中
取出一球所得分数
X
的分布列．
分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．



19.(2007年重庆卷第6题) 从
5
张
100
元，
3
张
200
元，
2
张
300
元的奥运预赛 门票中任取
3
张，则所取
3
张中至少
有
2
张价格相 同的概率



20.(2007年辽宁卷) 一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是
黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少


.
n

.

21、一个类似于细胞分裂的物体，一 次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂
n
次终止的概率是< br>1
(
n
=1,2,3,…)．记
X
为原物体在分裂终止后所生 成的子块数目，求
P(X10)
.
2
n



22．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A， B，C，D四个不同的岗位
服务，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列．















高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案

一、选择题：
1、D 2、D 3、C 4、B 5、D 6、C 7、D 8、C 9、B 10、C 11、B 12、B
二、填空题：
13、 ③④ 14、
13579
,1,,2,,3,,4,,5
15、
3,4,5


22222

16、 20
三、解答题：
17、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．
所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．
18、解：设黄球的个数为
n
，由题意知
绿球个数为
2n
，红球个数为
4n
，盒中的总数为
7n
．
[来源:学+科+网]
4n4n12n2

，
P(X0)，
P(X1)
．
7n77n77n7
所以从该盒中随机取出一球所得分数
X
的分布列为
∴
P(X1)
.

.
X

P

1 0 －1
4

7
1

7
2

7
3
19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C
10=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2
张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即
2
212133
C
5
+C
1
5
C
3
C
7
C
2
C
8
C
5
C
3
90
（种）.
所以，所求概率为
903
.

1204
6532

22

2
.

1211
11
2
20解P（A）=
2
C
6
2
C
3
2
C
12

21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目
X
的分布列为

[来源:学*科*网Z*X*X*K]
X

P

2 4 8 16 ．．．
1

．．．
16
1117
∴
P(X10)P(X2)P(X4)P(X8)

．
2488
1

8
1

2
1

4
2
n

1

n
2
．．．
．．．
A
3
1
3
22. [解析] (1)记甲、乙两人 同时参加A岗位服务为事件E
A
，那么P(E
A
)＝
24
＝ .
C
5
A
4
40
1
即甲、乙两人同时参加A岗位 服务的概率是.
40
A
4
1
4
(2)记甲、乙两人同时参 加同一岗位服务为事件E，那么P(E)＝
24
＝.
C
5
A
4
10
9
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)＝1－P(E)＝.
10
3
C
2
1
5
A
3
(3)随机 变量X可能取的值为1,2，事件“X＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P(X＝2)＝
24< br>＝.所以
C
5
A
4
4
3
P(X＝1)＝1－ P(X＝2)＝，X的分布列为：
4
X
P


第三讲 随机变量的数字特征
【基础梳理】
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个 事件
A
和
B
，在已知事件
A
发生的条件下，事件
B
发生的概率叫做条件概率，用符号
P
(
B
|
A
)来 表
.
1
3

4
2
1

4

.
示，其公式为
P
(
B
|
A
)＝
在古典概型中，若用
n
(
A
)表示事件
A
中基本事 件的个数，则
P
(
B
|
A
)＝
(2)条件概率具有的性质：
①0≤
P
(
B
|
A
)≤1；
② 如果< br>B
和
C
是两互斥事件，则
P
(
B
∪
C
|
A
)＝
P
(
B
|
A
)＋P
(
C
|
A
)．
2．相互独立事件
(1) 对于事件
A
、
B
，若
A
的发生与
B
的发生 互不影响，则称
(2)若
A
与
B
相互独立，则
P
(
B
|
A
)＝

，
P
(
AB
)＝


(3)若
A
与
B
相互独立，则
A
与B
，
A
与
B
，
A
与
B
也都相 互独立．
(4)若
P
(
AB
)＝
P
(
A
)
P
(
B
)，则


3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
独立重复试验是指在 相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有
种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是 的．
(2)二项分布
在
n
次独立重复试验中，设事件
A
发生的 次数为
k
，在每次试验中事件
A
发生的概率为
p
，那么在< br>n
次独立重复试
验中，事件
A
恰好发生
k
次的概率为
P
(
X
＝
k
)＝ ， 此时称随机变量
X
服从二项分布，记作
X
～
B
(
n
，
p
)，并称
p
为成功概率．
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量
X
的分布列为
X x
1
x
2

…
x
i

p
i

…

…

x
n

p
n

P p
1
p
2

…

(1)均值

称E(X)＝x
1
p
1
＋x
2
p
2
＋…＋x
i
p
i
＋ …＋x
n
p
n
为随机变量X的均值

或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ．

(2)方差

称[x
i
－E(X)]
2
p
i
为随机变量X的方差，它刻画 了随机变

D(X)＝

＝
i1
n

量X与其均值E(X)的平均 ，其算术平方根DX为随

机变量X的标准差．


三种分布
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；
(2)X～B(n，p)，则
E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；
.

.
(3)若X服从超几何分布，
M
则E(X)＝n.
N
期望和方差性质
(1)
E
(
C
)＝
C
(
C
为常数)
(2)
E
(
aX
＋
b
)＝
aE
(
X
)＋
b
(
a
、
b
为常数)
(3)
E
(
X
1
＋
X
2
)＝
EX
1
＋
EX
2

(4 )
D
(
aX
＋
b
)＝
a
·
D(
X
)
【基础自测】
1．(2010·山东)样本中共有五个个体， 其值分别为
a,
0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．
A.
66
B. C.2 D．2
55
2
2．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ

7

8

0.1

9

0.3

10
P x y

已知ξ的期望
E
(ξ)＝8.9，则
y
的值为________．
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9
3．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：
ξ

7

0.3

8

0.35

9

0.2

10
0.15
P
该随机变量ξ的均值是________．
1
4．小王通过英语听力测试的概率是， 他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )．
3
4242
A. B. C. D.
992727
1

5．如果
X
～
B

15，

，则使
P< br>(
X
＝
k
)取最大值的
k
值为( )．
4

A．3 B．4 C．5 D．3或4
6．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件
A
，“第二次 出现正面”为事件
B
，则
P
(
B
|
A
)等 于( )．
1111
A. B. C. D.
2468
考点一 离散型随机变量的均值和方差
【例1】►
A
、
B
两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，
A
队队员是
A
1
、
A
2
、
A
3
，
B
队 队员是
B
1
、
B
2
、
B
3
，按以
往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
对阵队员
A
队队员胜的概率

2

3
A
队队员负的概率
1

3
A
1
和
B
1

.

.
A
2
和
B
2

A
3
和
B
3

2

5
2

5
3

5
3

5
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设
A
队，
B
队最后 所得总分分别为
X
，
Y

(1)求
X
，
Y
的分布列；(2)求
E
(
X
)，
E
(
Y< br>)．




【练习1】 (2011·四川)本着健康、 低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是
每车每次租车时间不超过两 小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、
11
乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上
42
11
且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
24
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租 车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望
E
(ξ)．





考点二 均值与方差性质的应用
1
2
【例 2】►设随机变量
X
具有分布
P
(
X
＝
k
)＝，
k
＝1,2,3,4,5，求
E
(
X
＋2)，
D
(2
X
－1)，
D
5




【练习2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上
n
号的有< br>n
个(
n
＝1,2,3,4)．现从袋中任取
一球，
X
表示所取球的标号．
(1)求
X
的分布列、期望和方差；
(2)若η＝
aX
＋
b
，
E
(η)＝1，
D
(η)＝1 1，试求
a
，
b
的值．



.
X
－1.

.


考点三 均值与方差的实际应用
【例3】►(2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数
X
依次为1,2，…，8，其中
X
≥5为标准
A
，
X
≥3为标准
B
.已知甲厂执行标准
A
生产该产品，产品的零售价为 6元件；乙厂执行标准
B
生产该产品，产品的零
售价为4元件，假定甲、乙两厂的产品 都符合相应的执行标准．(1)已知甲
厂产品的等级系数
X
1
的概率分布列如 下所示：
且
X
1
的数学期望
E
(
X
1< br>)＝6，求
a
，
b
的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数
X
2
，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相
应的等级系数组成一个样本， 数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将 频率视为概率，求等级系数
X
2
的数学期望．
(3)在(1)、(2)的条 件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
产品的等级系数的数学期望
注：(1)产品的“性价比”＝；
产品的零售价
(2)“性价比”大的产品更具可购买性．


【练习3】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利1 0%，可能损
111
失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙 项目，一年后可能获利20%，也可能损
244
失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β (α＋β＝1)．
(1)如果把10万元投资甲项目，用
X
表示投资收益(收益＝回 收资金－投资资金)，求
X
的概率分布及
E
(
X
)；
(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．



考点四 条件概率
【例4】►(2011·辽宁)从1,2 ,3,4,5中任取2个不同的数，事件
A
＝“取到的2个数之和为偶数”，事件
B< br>＝“取到
的2个数均为偶数”，则
P
(
B
|
A
)等于( )．
1121
A. B. C. D.
8452


.
X
1

P
5

0.4

6

7

8
0.1
a b

.

【练习4】 (2011· 湖南高考)如图，
EFGH
是以
O
为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一 颗豆子随机地扔到该
圆内，用
A
表示事件“豆子落在正方形
EFGH
内”，
B
表示事件“豆子落在扇形
OHE
(阴影部分)内”，则
( 1)
P
(
A
)＝________；(2)
P
(
B
|
A
)＝________.


考点五 独立事件的概率
【例5】►(2011·全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0 .5，购买乙种保险但不购买甲种保险
的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；
(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．



【练习5】 (2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员
A
、B
、
C
进行围棋比赛，甲对
A
、乙对
B
，丙对
C
各一盘．已
知甲胜
A
、乙胜
B
、丙胜
C
的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望
E
(ξ)．



考点六 独立重复试验与二项分布
【例6】►一名学生每天 骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互
1
独 立的，并且概率都是.
3
(1)设
X
为这名学生在途中遇到红灯的次数，求
X
的分布列；
(2)设
Y
为这名学生在首次停车前经过的路口数，求
Y
的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．





.

.
【练习6】 某地区为下岗人员免费提供财会和计 算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择
参加一项培训、参加两项培训或不参加 培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每
个人对培训项目的选择是 相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记
X
为3人中参加过培训的人数，求
X
的 分布列．










【巩固作业】
1．已知
X
的分布列为
X
P
设
Y
＝2
X
＋3，则
E
(
Y
)的 值为( )．
－1

1

2
0

1

3
1
1

6
7
A. B．4 C．－1 D．1
3
2．设随机变量
X
～
B
(
n
，
p
)，且
E
(
X
)＝1.6，
D
(
X
)＝1.28，则( )．
A．
n
＝8，
p
＝0.2 B．
n
＝4，
p
＝0.4
C．
n
＝5，
p
＝0.32 D．
n
＝7，
p
＝0.45
3．(2011·广东)甲、乙两队进 行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得
冠军．若两队胜每局的 概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )．
3231
A. B. C. D.
4352
4．(2011·湖北高考)如图，用
K
、
A
1
、
A
2
三类不同的元件连接成一个系统，当
K
正常工作且
A
1
、
A
2
至少有一个正常
工作时，系统正常工作，已知
K
、
A
1
、
A
2
正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )．

A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
2
5.本小题满分12分)甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机 投弹一次命中目标的概率为，乙机投弹一
3
.

.
1
次命中目标的概率为，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响．
2
(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；
(2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．



6. (2011·北京)(本小题共13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙 组记录中有一个数据模
糊，无法确认，在图中以
X
表示．

(1)如果
X
＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X
＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数
Y
的 分布列和数学期望．
1
2222
(注：方差
s
＝[(
x< br>1
－
x
)＋(
x
2
－
x
)＋…＋(
x
n
－
x
)]，其中
x
为
x
1< br>，
x
2
，…，
x
n
的平均数)
n
7. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．




2
8.某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按 以往比赛经验，甲胜乙的概率为.
3
(1)求比赛三局甲获胜的概率；
(2)求甲获胜的概率．






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