闪闪烁烁的意思-韩庚的资料

高考数学复习易做易错题选
排列组合易错题正误解析
排列组合问 题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，
极易出错.本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正
误解析，以飨读者.
1没有理解两个基本原理出错
排列组合问题基于两个基本计数 原理，即加法原理和乘法
原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问
题的前提.
例1（1995年上海高考题）从6台原装计算机和5台组装
计算机中任意选取5台,其中至少 有原装与组装计算机各
两台,则不同的取法有 种.
误解：因为可以取2台原装与3台 组装计算机或是3台原
装与2台组装计算机，所以只有2种取法.
错因分析：误解的原因在于 没有意识到“选取2台原装与
3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成
任务的两 “类”办法，每类办法中都还有不同的取法.
正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步
在原装计算机中任意选取2台，有
C
6
种方法；第二步是在
组装计算 机任意选取3台，有

3
C
5
2
种方法，据乘法原理共有

2332
C
6
C
5
CC
65
种方法.同理， 完成第二类办法中有种方法.据加
法原理完成全部的选取过程共有
C
6
C< br>5
C
6
C
5
2332
350
种方法.
例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三
人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.
（A）
3
A
4
（B）
4
3

4
（C）
3
（D）
3
C
4

误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.
错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用
公式.
正解：四项比赛的 冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每
项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有
333 33
种.
说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，
由乘法原理得
4
3
.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一
人夺得后，其他人就不再有4种 夺冠可能.
2判断不出是排列还是组合出错
在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看 元素的组
成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.
例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排
成一排，共有多少种不同的排列方法？
误解：因为是8个小球的全排列，所以共有
A
8
种方法.
错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，

8
4

5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同
一种排法.
正解：8个小球 排好后对应着8个位置，题中的排法相当
于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.
这样共有：
C
8
3
56
排法.
3重复计算出错
在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，
这些问题要 注意避免重复计数，产生错误。
例4（2002年北京文科高考题）5本不同的书全部分给4
个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）
96种
误解：先从 5本书中取4本分给4个人，有
4
A
5
种方法，剩
4
4A
5
480
下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有
不同的分法，选A .
种
错因分析：设5本书为
a
、
b
、
c
、
d
、
e
，四个人为甲、乙、
丙、丁.按照上述分法可能如下的表1 和表2：



表1 表2

e
a
甲
a
b
乙
c
丙
d
丁
e
甲
b
乙
c
丙
d
丁

表1是甲首先分得
a
、乙分得
b
、丙分得
c
、丁分得
d
，最
后一本书< br>e
给甲的情况；表2是甲首先分得
e
、乙分得
b
、
丙 分得
c
、丁分得
d
，最后一本书
a
给甲的情况.这两种情况
是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重
复了一次.
正解：首先把5 本书转化成4本书，然后分给4个人.第一
步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有
4< br>2
C
5
种方法；
第二步：再把4本书分给4个学生，有
A4
种方法.由乘法原
理，共有
2
4
C
5
A
4
240
种方法，故选B.
例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天
安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）
种.
（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630
误解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下
的3天给第三个人，这 三个人再进行全排列.共有：
223
C
7
C
5
A
3
1260
，选B.
错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个
人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周 一、周二，所

以在全排列的过程中就重复计算了.
22 3
C
7
C
5
A
3
630
2
正解 ：种.
4遗漏计算出错
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗
漏某些情况，而出错。
例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000
大的奇数共有（ ）
（A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72
个
误解：如右图，最后一位只能是1或3有两种取法，
又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取
法，剩下3个数排中间两个位置有A
3
种排法，共有
2
23A
3
36
个.
2
错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000大的
奇数还可能是五位数.
正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有
3
23A
3
36< br>个，
再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个，
选D.
5忽视题设条件出错

在解决排列组合问题时一定要注意 题目中的每一句话甚
至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.
例7 (2003全国高考题)如图，一个
地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4
种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.
（以数字作答）
误解：先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四
个区域 ，即有一种颜色涂相对的两块区域，有
C
3
2A
2
由乘法原理共 有：
41248
种.
错因分析：据报导，在高考中有很多考生填了48种.这主
要是没有看清题设“有4种颜色可供选择”，不一定需要4
种颜色全部使用，用3种也可以完成 任务.
正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色
方法；当仅使用三种颜色时： 从4种颜色中选取3种有
3
C
4
12
12
种，
种 方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂
四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一 种颜色
涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有
种.综上共有：
4824 72
种.
例8 已知
ax

2
3
C
4< br>3224
b0
是关于
x
的一元二次方程，其中
a< br>、

b{1,2,3,4}
，求解集不同的一元二次方程的个数.
2
误解：从 集合
{1,2,3,4}
中任意取两个元素作为
a
、
b
，方 程有
A
4
个，当
a
、
b
取同一个数时方程有1个， 共有
A
4
113
个.
2
错因分析：误解中没有注意到 题设中：“求解集不同
的„„”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于

a1
a2
和

b2

b4
同解、
a2

a4
和

b1

b2
同解，故要减去2个。
正解：由分析，共有
13211
个解集不同的一元二次方程.
6未考虑特殊情况出错
在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出
错.
例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50
元人民币各一张，100元人 民币2张，从中至少取一张，
共可组成不同的币值种数是（ ）
(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种
误解：因为共有人民币10张，每张人民币 都有取和不取2
种情况，减去全不取的1种情况，共有
2
10
11023
种.
错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被
计算成 4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3
种情况.

正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，
100元人民币的取法有3种情况，再减去全 不取的1种情
况，所以共有
2
9
311535
种.
7题意的理解偏差出错
例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、
丙三人不能相邻的排法有（ ）种.
3533 84
863
AAAAAA
AAA
655386
863（A） （B） （C） （D）
误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有5
A
5
种排法，
3
5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三 人有
A
6
种方
35
AA
65
法，这样共有种排法 ，选A.
错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”
的含义，得到的结果是“甲 、乙、丙三人互不相邻”的情
况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能
同时相 邻，但允许其中有两人相邻.
正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻
的方法 数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即
863
A
8
A
6< br>A
3
，故选B.
8解题策略的选择不当出错
有些排列组合问题用 直接法或分类讨论比较困难，要采取
适当的解决策略，如间接法、插入法、捆绑法、概率法等，

有助于问题的解决.
例10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、 丁四个工厂进行
社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自
由选择，则不同的分配 方案有（ ）.
（A）16种 （B）18种 （C）37种 （D）
48种
误解：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2
个班均有4种 选择，这样共有
34448
种方案.
错因分析：显然这里有重复计算.如：< br>a
班先派去了甲工厂，
b
班选择时也去了甲工厂，这与
b
班先 派去了甲工厂，
a
班
选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作
了不一样的情况，并且这种重复很难排除.
正解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，
再扣除甲工厂无人去的情况，即：
44433337
种方案.
排列组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原
理和方法，即：“分步用乘、分类用加、有序排 列、无序
组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排
列组合学好.