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解排列组合问题的常用技巧
排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一 步学习概率的基础，事实上，许多概率问题也归结为排
列组合问题，这一类问题不仅内容抽象，解法灵活 ，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些
错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意 不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧。
解答排列组合的问题，首先必须认真审题，明确是属于 排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混
合问题。其次，要抓住问题的本质特征，灵活运用基本 原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基
本策略和方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃 而解，下面介绍几种常用的解题技巧。
一、特殊元素“优先安排法”
对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑元素，在考虑其他元素。
例⒈ 用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
Ａ．２４个 Ｂ．３０个 Ｃ．４０个 Ｄ．６０个
分析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又 因为０不能排在首位，故０就是其中的特殊元
素，应优先安排．按０排在末尾和０不排在末尾分为两类： ①０排在末尾时，有
A
4
个，②0不排在末尾时，
2111
111< br>则有
A
2
A
3
A
3
个，由分类计数原理，共 有偶数
A
4
A
2
A
3
A
3
3 0
个，选B．
2
二、总体淘汰法
对于含有否定字眼的问题，还可以从总体 中把不符合要求的除去，此时，应注意既不能多减也不能少
减。
例⒉ 100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？
3
分析：从 100件产品中选3件产品的选法有
C
100
种，选好后发现3件产品都是正品的选法 不符合题意，
33
因此把这种排法除去，故有
C
100
C
97
14260
种。
三、合理分类与准确分布法
解含有约束条件的排列 组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到分类
标准明确，分步层次清晰， 不重不漏。
例⒊ 将5列火车停放在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b不停在第二 条轨道上，
那么不同的停放方法有多少种？
分析：由题意，可先安排a列车，并按其进行分类 讨论：⑴若a列车在第二轨道上，则剩下4辆列车
可自由停放，有
A
4
种方法 ，⑵若a列车停第三或第四或第五轨道上，则根据分布计数原理有
A
3
A
3< br>A
2
种停
4111
法，再用分类计数原理，不同的停放方法共有
A
4
A
3
A
3
A
2
78
种 。
4
111
例⒋ 某帆船上有10名水手，他们分别在船左、右两侧，每侧4人，其 中有2名水手只会划左侧浆，
1名只会划右侧浆，问这些水手不同的安排方法共有的种数为多少？ 分析：根据题意，可根据选的水手中含有这三名特殊水手的情况分类：⑴若被选出的4名水手中仅有
34
1名只会右手侧的水手，有
C
7
种选法；⑵若被选出的4名水手中有只会 右手侧的水手和只会左手侧的
C
4
133
水手各1名，有
C
2
C
7
C
4
种选法；⑶若被选出的4名水手中有只会右手侧的水手1 名和只会左手侧的水手2
32
13
名，有
C
7
种选法；⑷若 被选出的4名水手中仅有只会左手侧的水手1名，有
C
2
种选法；⑸若被选出
C
4
C
7

24
的4名水手中有只会左手侧 的水手2名，有
C
7
种选法，根据分类计数原理，不同的选法有
C
5
3413332132
C
7
C
4
C
2
C
7
C
4
C
7
C
4
C
2
C
7
C
7
C
5
4
7500
种。
四、相邻问题“捆绑法”
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可以先将相邻的元素“捆绑” 起来，看作一个大的元素与其他
的元素排列，然后再对相邻的元素内部之间在进行排列。
例⒌ ７人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种不同的排法？
分析：把甲，乙，丙三人“ 捆绑”起来看成一个元素，与其他的4人共5个元素作全排列，有
A
5
种
排法 ，而甲，乙，丙三人之间又有
A
3
种排法，根据分步计数原理，共有
A
3
A
5
=7200种排法。
五、不相邻问题“插空法”
对某 几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素已排好的元素之间及
两端的空 隙中插入即可。
例⒍ 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种不同的排法？
4
A
4
分析：先让其余4人站好有种排法，再在这4人之间及两端的5个“间 隙”中选3个位置让甲，
43
3
乙，丙插入，则有
A
5
种方 法，这样共有
A
4
A
5
1440
种不同的排法。
3
35
5
六、等价转化法
一些常见类型方法为自己熟知之后，对于 一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题，后者
有些问题从正面入手情况较多，不易解决，这 是可考虑能否进行等价转化，从反面入手，或构造模型，将
其转化为一个较简单的问题来处理。
例⒎ 马路上有12只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？
分析： 关第一只灯的方法有10种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较复杂。若换一个角度，
从反面入 手考虑，因每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件亮灯与暗灯的排列，于是问题就转化为等
价的“在 9只亮灯产生的8个空档中插入3只暗灯”问题，故所求方法种数为
C
8
。
例⒏ 四面体顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？
分析：从10个点中任取4个点取法有
C
10
种，其中4点共面的情况如下图
4
3

图（1） 图（2） 图（3）
4点共面的取法共有３＋６＋６＝１５个，把这 些不符合条件的情况除去，所以，取4个不共面的点的取
4
法共有
C
1015195
种。

七、顺序固定问题用“除法”
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可以先把这几个元素与其它元素一同进行排列，然后又总排列
数除 以这几个元素的全排列数。
例⒐ 由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数的共有多少
个？
2
分析：若不考虑附加条件，组成的六位数字共有
A
5
A
5
个，而其中个位数与十位数的
A
2
种排法中只有
152
一种 符合条件，故符合条件的六位数共有
A
5
A
5
A
2
300
个。
15
八、混合应用问题“先选后排法”
对于排列与组合的混合问题，可采用先选出元素，然后再进行排列的方法。
例⒑ 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，恰好有一个空盒的放法有多少种？
分析：因有一个空盒，故必有一个盒子放2个球，第一步先选：从4个小球中选出2个小球的方法有
C< br>4
3
2
种，从4个盒子中选3个盒子的方法有
C
4
种 ，第二步排列，把选出的2个小球看成一个元素与其余的2
233
3
个小球共3个元素 ，对选出的3个盒子作全排列有
A
3
种排法，故所求的放法共有
C
4
C
4
A
3
144
种
九、“小团体”问题“先整体后局部法”
对于“小团体”排列问题，与“相邻问题”相似，可 先将小团体看作一个元素与其它元素排列，最后
再进行小团体内部的排列。
例⒒ 7个人站成一排照相，要求甲、乙之间恰好相隔2人的站法有多少种?
分析: 甲、乙及间隔的2人组 成一个“小团体”,这2人可从其余5人中任选出来,有
C
5
种不同选法,
这 个小团体与其余3人共4个元素全排列有
A
4
种方法,它的内部甲、乙2人有
A
2
种不同排法,中间的2人
2422
2
也有
A
2
种不同排法,因而符合要求的不同站法共有
C
5
A
4
A2
A
2
960
种。
2
42
十、构造“隔板”模型法
对较复杂的排列问题，可通过设计另外一情景，构造一个“隔板”模型来帮助解决问题。
例⒓ 方程ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１２有多少组正整数解？
分析：建立“隔板”模型法：将12个完全相同的球排 成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插
入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分法所得4堆球的 各堆球的数目，即为的一组正整数解，故原方程
的正整数的组数共有
C
11
 165
组。
十一、分排问题“直排法”
例⒔
7
7
个人 可以在前后两排任意就坐，再无其他条件，故可看成
个人坐两排座位，第一排坐3个人，第二排坐4个人 ，则不同的坐法有多少种？
7
分析：7个人在7个位置上的全排列问题，
所以，不同 的坐法有
A
7
种。
3