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高考数学复习系列，排列组合专题，共两篇文章：
一、排列组合中“重复”的产生与纠正
二、排列组合应用问题的九种求解策略
一、排列组合中“重复”的产生与纠正
有些 类型的排列、组合应用题是较容易出现错误解法的，其中产生错误原
因之一是由于重复造成的。在解题时 ，应做到既不出现重复，又能判断出解题
的正误，并加以剖析、纠正，这样对于提高解排列、组合应用题 及分析解决问
题能力均有很大益处。重复出现在下面几种情况中：
1、分步违反“无关”而产生重复
例1：假设在200件产品中，有3件次品，现在从中任意 抽出5件，其中至
少有2件次品的抽法有多少种？
分析：“至少有件次品”是指“恰有2件次品或恰有3件次品”，因此可
分成两类求解。
解法1：（直接法）第一类，2件次品3件合格品，有

种；第二类，3件次
品2件合格品，有

种。由分类计数原理得抽法为

＋

＝3783976（种）。
解法2：（间接法）不论次品，合格品抽法共有

，恰有1件次品的抽法种
数有

，没有次品的抽法种数为

，至少有2件次品的抽法种数为

－

－

＝
3783976（种）。
评注：“至少”或“至多”问题是组合问题中的常见类型 ，可分成几类用
直接法，也可用间接法。当所分的类较多时，用间接法会更简捷。
2、均分组问题易重复
例2：将8个不同的小球分成四堆，每堆2个，共有多少种不同的分堆方法？
解法1：分四步完成。首先，从8个不同的小球中任意取出2个作为一堆有

种取法；然后从其余的6个小球中任取2个有

种取法；再从剩下的4个小球中
任取2个有

种取法；最后留下的2个小球作为一堆有

种取法，根据分步计数
原理，共有不同的分堆方法种数为

＝2520种。
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解法2：首先从8个不同的小球中任意取出2个作为一堆有

种取法；然后
从其余的6个小球中任取2个有

种取法；再从剩下的4个小球中任取2个有

种
取法；最后留下的2个小球作为一堆有

种取法，根据分步计数原理，共有

种
取法，再除以均分堆的重复

次，所以共有不同的分堆方法有＝105种。

评注：解法1是错误的，比如将8个 不同的小球编号，对应号码分别为
1,2，…,8。第一种取法：第一次取出1,2号球，第二次取出3 ,4号球，第三次
取出5,6号球，第四次取出7,8号球，分成了四组。第二种取法：第一次取出7,8号球，第二次取出1,2号球，第三次取出3,4号球，第四次取出5,6号球，
分成了四组 ，不难看出这两种取法是同一种分组方法，因此解法1出现重复，
导致错误。
3、多个位置要求兼顾的排列问题易重复
例3：6人排成一排照相，甲不排在左端，乙不排在右端，共有多少种不同
的排法？
解法1：6个人任意排成一排排法总数为

种，其中不合题意的排法分两类。
①甲排在左端，其余5人排在剩下的5个位置上，有

种；②乙排在右端，其余
5人排在剩下的位置上，有

种。所以适合题意的排法有

－2

＝480（种）。
解法2：6人全排列为

种，减去不符合题意的两种：甲在左端有

种；乙在
右端有

种，再补上多减去的甲在左端且乙在右端的一类排法

种，所以适合题
意的排法有

－2

＋

＝504（种）。
评注：解法1错误，解法2正确。
原因：解法1第一类中，甲在左端乙在右端有

种；第二类中，乙在右端甲
在左端有

种；
故在“全部减去不符”中，甲在左端乙在右端的情况重复被减去，因而导
致错误。
二、排列组合应用问题的九种求解策略
解排列组合问题的基本策略有：特殊元素优先安排的策 略；合理分类与准
确分步的策略；正难则反,等价转化的策略；相邻问题捆绑处理，不相邻问题插
空处理的策略；元素定序，先排后除的策略等．
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一、分类法
例1：某外 语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语各 1人，有多少种不同的选法？
解析:：“完成一件事”指从9人中选出会英语与日语各1人，由题意可 知，
9人中仅会英语的有6人，既会英语又会日语的有1人，仅会日语的有2人．因
此可根据此 人是否当选将所有选法分为三类：(1)此人不当选有6×2种；(2)此
人按日语当选有6×1种；( 3)此人按英语当选有2×1种。根据加法原理，共有
6×2＋6×1＋2×1=20种不同的选法。
二、分步法
例2：有4位同学参加3项不同的比赛，每位学生必须参加一项竞赛，有
多少种不同结果？ < br>解析：“完成一件事”是指每位学生都必须参加一项竞赛，可分四步完成，
每位学生选择好竞赛项 目为一步。学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学
生无条件限制，所以每位学生均有3项不同的机会 。根据乘法原理，共有3×3
×3×3种。
三、排除法
例3：用1、2、3、4、 5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被
5整除的五位数？
解析：由所有1～6这6个数组成的五位数有A

个，去掉1～6这6个数组
成可被5整除的五位数A

个。因此，所求的五位数共有A

－A

=720－120=600
个。
四、插空法
例4：3个男生和4个女生站成一排，男生不能相邻，有多少种不同的排法？
解析：采用插空 法，把4个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进5张
椅子，如___女___女___女___女_ ___，再将3个男生放到这5个位子中的3个
位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了，这样，男生 有A

种排法，女生有
A

种排法，所以共有A

·A

种排法。
五、定序排列法
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例5：书架上 某层有6本书，新买了3本书插进去，要保持原来6本书原
有顺序，有多少种不同插法？
解析：9本书按一定顺序排在一层有A

，考虑到其中原来的6本书保持原
有顺序，原来的每一种排法都重复了A

次，所以有A

÷A

种。
评注：此题易产生误解：将新买来的３本书插入原来的６本书的７个空档
中，故有Ａ

=210种，错误的原因在于新买来的３本书可以相邻，而上式中不
包含相邻的情况。
定序排列问题，其一般结论是：若m个元素参加排列，其中有n个元素的
顺序是确定的，则排法种数为
六、捆绑法

例6：某小组6人排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同
的排法？
解析：采用捆绑法，先把甲、乙两人看成一个人，这样有A

种不同排法，
然后甲、乙两人之间再排队，有A

种排法，因为是分步问题，应当用分步计数
原理，所以有A

·A

种排法。
七、特殊元素（位置）法
例7：从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种 中选出3种，分别种在不
同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有多少种？ 解析：在这里黄瓜是特殊的元素，必须选出有1种选法，然后再从其它3
个品种中选出2种有Ｃ
种选法，最后进行排列有A

种排法。由分步计数原理，
共有1·Ｃ

·A

种
八、挡板法
例8 方程x
1
＋x
2
＋x
3
＝7的正整数解有多少组？
解：因为7＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，在每两个1之间可放入一个“＋”号
共六个，因此问题转 化为把七个1分成三组，每组至少要有一个1，所以只要
在1＿1＿1＿1＿1＿1＿1六个“＿”中选 两个放“＋”即可，所以共有C

＝15
（组）。
九、平均分组法
一般来说，km个不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分法为：

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例9 把6本不同的书分成每组都是2本的分组分法共有多少种？
解：分法种数共有＝12（种）

解排列、组合题的基本方法与策略较多，解题时要 灵活运用。特别是在既
要分类又要分步的复杂问题中，注意分清主次，抓住矛盾的主要方面，理顺关系，使问题迎刃而解。
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