死兆星模式-真情无限

组合的应用习题
一、有限制条件的组合问题
1．某地区发生了特 别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6
名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专 家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
2
解析： (1)分步：首先从4 名外科专家中任选2名，有C
4
种选法，再从除
24
外科专家的6人中选取4 人，有C
4
C
6
＝90种抽调方法．
6
种选法，所以共有 C
4
·
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C
2< br>C
4
4
·
6
种选法；
②选3名外科专家，共有C< br>3
C
3
4
·
6
种选法；
③选4名外科专家 ，共有C
4
C
2
4
·
6
种选法；
根据分类加法计数原理，共有
3342
C
2
C
4
C
6
＋C
4
·C
6
＝185种抽调方法．
4·
6
＋C
4
·
6
法二：(间接法)：不考虑是否有外科 专家，共有C
10
种选法，考虑选取1名
6
外科专家参加，有C
1< br>C
5

4
·
6
种选法；没有外科专家参加，有C6
种选法，所以共有：
156
C
6
C
6
－C< br>6
＝185种抽调方法．
10
－C
4
·
(3)“至 多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类
解答．
①没有外科专家参加，有C
6
6
种选法；
②有1名外科专家参加， 有C
1
C
5
4
·
6
种选法；
③有2名外 科专家参加，有C
2
C
4
4
·
6
种选法．
154
所以共有C
6
C
6
＋C
2
C
6< br>＝115种抽调方法．
6
＋C
4
·
4
·
注：
(1)解决有约束 条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，
都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提 下，或分类或分步或用间接法；
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”、“至多”、“含”、“不含”

等的确切含义，正确分类，合理分步；
(3)要谨防重复或遗漏， 当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，
即“正难则反”的策略．
2．有男运动员6 名，女运动员4名，其中男女队长各1名．选派5人外出
比赛，按下列要求求各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)至少有1名队长参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
3
解：(1)第一步：选3名男运动员，有C
6
种选法．
第二步：选2名女运动员，有C
2
4
种选法．
所以共有C
3
C
2
6
·
4
＝120种选法．
(2)法一(直接法)：至少有1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
4233241
由分类加法计数原理可 得共有C
1
4
C
6
＋C
4
C
6
＋ C
4
C
6
＋C
4
C
6
＝246种选法．
法二(间接法)：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用
间接法求解． < br>5
从10人中任选5人有C
5
10
种选法，其中全是男运动员的选法有 C
6
(种)．
5
所以“至少有1名女运动员”的选法为C
5
10
－C
6
＝246(种)．
(3)法一(直接法)：可分类求解．
“只有男队长”的选法为C
4
8
；
“只有女队长”的选法为C
4
8
；
“男、女队长都入选”的选法为C
3
8
.
3
所以共有2C
4
8
＋C
8
＝196(种)选法．
5
法二(间接法)：从10人中任选5人有C
10
种选法，
5其中不选队长的方法有C
5
所以“至少有1名队长”的选法为C
5
8种，
10
－C
8
＝
196(种)．
(4) 当有女队 长时，其他人任意选，共有C
4
9
种选法．不选女队长时，必选男
4
队长，共有C
4
8
种选法，其中不含女运动员的选法有C
5
种，所以 不选女队长时的
4444
选法共有C
4
8
－C
5
( 种)．所以既有队长又有女运动员的选法共有C
9
＋C
8
－C
5＝

191(种).
二、分组分配问题
1．6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2)分为三份，每份2本；
(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本．
2
解析： (1)先 从6本书中选2本给甲，有C
6
种选法；再从其余的4本中选
2
2本给乙，有 C
2
4
种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C
2
种选法；
22
所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有C
2
6
C
4
C
2
＝90种分法．
(2)可以分两步完成：
第1步，将6本书分为三份，每份2本，设有x种方法；
3
第2步，将上面三份分给甲、乙、丙三名同学有A
3
种方法．
根 据(1)的结论和分步乘法计数原理得到
2223
C
6
C
4
C
2
＝xA
3
，所以
22
C
2
6
C
4
C
2
x＝
A
3
＝15.
3
因此分为三份，每份2本，一共有15种分法．
23
(3)这是“不均匀 分组”问题，按照(1)的方法得到一共有C
1
6
C
5
C
3
＝
6×(5×2)×1＝60种分法．
233
(4)在(3)的基础上再进 行全排列，所以一共有C
1
6
C
5
C
3
A
3
＝360种分法．
注:
(1)组合应用题中分配问题的常见形式及处理方法如下表所示：

常见形式 处理方法
n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考
非均匀不
编号分组
虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为：A＝
Cm
1
n·Cm
2
n－m
1
·Cm
3
n－(m
1
＋m
2
)·…·Cm
m
n－(m
1
＋m
2
＋…＋m
m
－
1
)
均匀不编
号分组
将n个 不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个
A
数相等，不管是否分尽，其分法种数为r
(其中A为非均匀
A
r

不编号分组中的分法数)．如果再有k组均匀组应再除以A
k
k

非均匀编
号分组
均匀编
号分组

(2)分配问题的处理途径．
将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题．分组问题和 分配问题
是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的；而后者即使两
个元素个 数相同，但因人不同，仍然是可区分的．对于这类问题必须遵循先分
组后排列的原则．
2．将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．
(1)每盒至多一球，有多少种放法？
(2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多
少种放法？
(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4个 不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它
的编号数，有多少种放法？
解：(1)这是全排列问题，共有A
4
4
＝24种放法．
1
(2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C
4
种，当1个球与1个盒子的编
n个 不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑
各组间的顺序，其分法种数为A·A
mm

n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各
A
m
组间的顺序，其分法种数为
r
·A
A
r
m
号相同时，用 局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C
1
2＝8种
4
·放法．
(3)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个
球， 余下两个盒子各放一个．由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，
1
故共有C
3
4
C
3
＝12种放法．
(4)(隔板法)先将编号为1,2, 3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下
的14个球分成四组，即在○○○○○○○○ ○○○○○○这14个球中间的13
个空中放入三块隔板，共有C
3
13
＝2 86种放法，如
○○|○○○○○|○○○|○○○○，即编号为1,2,3,4的盒子分别放入2,6 ,5,7个球．

三、排列、组合的综合问题
1．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找
出所有次品为止．
(1)若恰在第5次测试才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次
品，则这样的不 同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法
数是多少？
解析： (1)先排前4次测试，只能取正品，有A
4
6
种不同的测试方法， 再从
2
4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C
2
A
2
4
·
2
＝A
4
(种)测法，再排
44
余 下4件的测试位置，有A
4
种测法．所以共有不同测试方法A
4
A
2
A
4
＝103
6
·
4
·
680(种)．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次中
13
有一 件正品出现．所以共有不同测试方法C
1
(C
6
·C
3
)A
4
4
·
4
＝576(种)．
注：
解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：
(1)按事情发生的过程进行分步；
(2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组
合数．
2． 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求
分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学
科代表．
32
解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C
5
C
3
＋

153241
C
4
A
5
5
C
3
种，后排有A
5
种，共(C
5
C
3
＋C
5
C
3
)·
5
＝5 400种选法．
4
(2)除去该女生后，先选后排有C
7
·A
4< br>4
＝840种选法．
414
(3)先选后排，但先安排该男生有C
7
·C
4
·A
4
＝3 360种选法．
31
(4) 先从除去该男生该女生的6人中选3人有C
6
种，再安排该男生有C
3
种，< br>3313
其余3人全排有A
3
种，共C
6
·C
3·A
3
＝360种选法．
巩固练习：（基础题）
题组1 有限制条件的组合问题
1．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是
( )
A．15 B．45
C．60 D．75
22
解析：选C 从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目共有C
4
C
6
＝
2
90种不同的选法，重点项目A和一般项目B都不被选中的不同选法有 C
2
3
C
5
＝
30(种)，所以重点项目A和一般项目B至 少有一个被选中的不同选法的种数是
90－30＝60.
2．某计算机商店有6台不同的品牌 机和5台不同的兼容机，从中选购5台，
且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有( )
A．1 050种 B．700种
C．350种 D．200种
解析：选C 分两类：(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容
机中选2台；
(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台．
223
所以有 C
3
6
C
5
＋C
6
C
5
＝350 种不同的选购方法．
3．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按
下述方法之一搭配午餐：(1)任选2种荤菜、2种素菜和白米饭；(2)任选1种荤菜、
2种素菜和 蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法总数为( )
A．210 B．420
C．56 D．22
解析：选A 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，

212
所以每天不同午餐的搭配方法总数为C
2
4
C
7
＋C
4
C
7
＝210(种)．
4． 某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，
至多选一门．学校规定，每位同 学选修4门，共有________种不同的选修方案．(用
数字作答)
3
解析：分 两类，一类是选A，B，C中的一门，则有C
1
3
C
6
种选法；另一 类是
413
不选A，B，C，则有C
4
6
种选法，故共有C
6
＋C
3
C
6
＝75种不同的选修方案．
答案：75 < br>5．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去
参加市级培训，在下 列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加．
5
解：(1)C
12
＝792种不同的选法．
2
(2)甲 、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C
9
＝36种
不同的选法．
5
(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C
9
＝ 126
种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选 1人，
414
有C
1
3
＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C< br>9
种选法，共有C
3
C
9
＝378种不
同的选法．
(5)法一(直接法)可分为三类：
4
第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有C< br>1
3
C
9
种不同的选法；
3
第二类，甲、乙、丙中 有2人参加，共有C
2
3
C
9
种不同的选法；
2
第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有C
3
3
C
9
种不同的选法；
42332
共有C
1
3
C
9
＋C
3
C
9
＋C
3
C
9
＝666种不同的选法．
5< br>法二：(间接法)12人中任意选5人共有C
12
种，甲、乙、丙三人不能参加的
55
有C
5
9
种，所以共有C
12
－C
9
＝666种不同的选法．
题组2 分组(分配)问题

6．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数
有( )
333
A．C
3
9
C
6
B．A
9
A
6

33
C
9
C
6< br>333
C.
A
3
D．A
9
A
6
A
3

3
33
C
9
C
6
解析：选C 此题为平均分组问题，有
A
3
种分法．
3
7．为调查某商品当前的 市场价格，国家统计局将5位调查员分成三组，其
中两组各2人，另一组1人，分赴三个不同的地区进行 商品价格调查，则不同的
分配方案有( )
A．90种 B．180种
C．30种 D．15种
2
C
2
5
C
3
解析：选A 将5位调查员分成三组 ，其中两组各2人，另一组1人，有
A
2
2
3
种不同的分法，再将其 分到三个不同地区，有A
3
种不同的分法，所以不同的分
2
C
25
C
3
配方案的种数为
A
2
·A
3
3
＝90，故选A.
2
8．某中学实习的5名大学毕业生需到A，B，C，D 4个班级当辅导员，每
班至少一名辅导员，且A班必须有两名辅导员，则不同的分配方法有多少种？ < br>11
C
2
C
1
C
2
·C
15
·
3
·
解：第一步，把5名大学毕业生分成人数为2,1,1,1的四份，有＝3
A
3
C
2
5
种分法；
3
第二步，把分好的四份分配给A，B，C，D 4个班级，有A
3
种分法．
3
根据分步乘法计数原理，可得总共的分配方法种数为C
2
5
A3
＝60种．
题组3 排列、组合的综合问题
9．从甲、乙等5人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是( )
A．12 B．24
C．36 D．48
3
解析：选D ①若不选甲，则排法种数为A4
＝24；②若选甲，则先从后两
2
个位置中选一个给甲，再从其余的4人中选2 人排列．排法种数为C
1
2
A
4
＝24.由
分类加法计数原 理，可得不同的排法种数为24＋24＝48.故选D.
10．从8个不同的数中选出5个数构成函数 f(x)(x∈{1,2,3,4,5})的值域，如

果这8个不同的数中的A，B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选
法种数为( )
314
A．C
2
8
A
6
B．C
7
A
7

14
C．C
6
A
7
D．无法确定
解析：选C 自变量有5个，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数
值只能一一对应，不会出现多对一的情形． 因为A，B两个数不能是x＝5对应
的函数值，所以先从余下6个数中选出与5对应的函数值，有C1
6
种方法，再从
4
其他7个数中选出4个数排列即可，故不同的选法共 有C
1
6
A
7
种，故选C.
11．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．
(1)共有几种放法？
(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？
解：(1)4
4
＝256(种)．
(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4 个不同的小球只放入2个盒子中，有
两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先 把小球分组，
232
有C
3
4
种，再放到2个小盒中有A
4
种放法，共有C
4
A
4
种放法；第二类，2个盒子
2222
中各放2个小球有C
2
故恰有2个盒子不放球的方法共有C
3
4C
4
种放法，
4
A
4
＋C
4
C
4
＝
84种放法．
巩固练习：（提升题)
1．把编号为1,2,3,4 ,5的五个球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子中，每盒
至少放入一个球，且放入同一盒子的多个球必须 连号，那么不同的放法种数为
( )
A．96 B．240
C．48 D．40
解析：选A 由题意，知一定有两个球放入同一盒中，又连号球有(1,2)，(2,3)，
4
(3,4)，(4,5)四种可能，因此总的放法种数为4A
4
＝96，选 A.
2．把甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名同
学，且甲、乙 两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为( )
A．24 B．30
C．36 D．81
23
解析：选B 根据题意，总的分法种数为C
4
A
3
＝36.若甲、乙两人分在同一

3
个班，则分法种数为A
3
＝6，所以甲、乙两名 学生不能分到同一个班的分法种数
为36－6＝30，故选B.
3．四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的方法有
( )
A．288种 B．144种
C．96种 D．24种
2
解析：选B 先从四个球中取两个放在一起，有C
4
种不同的取法，再把取
出的两个球看成一个球与 另外两个球看作三个元素，分别放入四个盒子的三个盒
32
子中，有A
4
种不 同方法，据分步乘法计数原理，可得共有C
4
·A
3
4
＝144种不 同的
方法．故选B.
4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能 出
现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A．10种 B．15种
C．20种 D．30种
解析：选C 分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局 (一人前3
局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C
2
3
＝6种情形；恰 好打5局(一人前4
局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C
2
4
＝12 种情形．所有可能出现的情形
种数为2＋6＋12＝20.
5．将10个运动员名额分给7个 班，每班至少1个，则不同的分配方案的种
数为________．
解析：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个
空隙．
在9个空隙中选6个位置插隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班．
每一种插板方法对应一种分配方案，则共有
案．
答案：84
6．将4个颜 色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放
入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编 号，则不同的放球方法有________
种．

3
C
6
9
＝C
9
＝
9×8×7
＝84种分配方
3×2×1