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高中数学讲义

排列组合问题的常用方法总
结2
知识内容
1．基本计数原理
⑴加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有
n
类办法，在第 一类办法中有
m
1
种不同的方法，在第二类办法中
有
m
2< br>种方法，……，在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法．那么完 成这件事共有
Nm
1
m
2
Lm
n
种
不同的方法．又称加法原理．

⑴乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需 要分成
n
个子步骤，做第一个步骤有
m
1
种不同的方法，做第二个< br>步骤有
m
2
种不同方法，……，做第
n
个步骤有
m< br>n
种不同的方法．那么完成这件事共有
Nm
1
m
2
Lm
n
种不同的方法．又称乘法原理．

⑴加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这 件事的方法数时，使用分类计数原理．如
果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成 ，这件事才告完成，那么计算完成
这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分 步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的
基本思想方法，这两个原 理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．
2． 排列与组合
⑴排列：一般地，从
n
个不同的元素中任取
m(m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从
n
个不同的元素中取出
m(m≤n)
个元素的所有排列的 个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数，用符号
Am
n
表示．
排列数公式：
A
m
n
n
(
n
1)(
n
2)
L
(
nm
1 )
，
m，nN

，并且
m≤n
．
全排列：一般 地，
n
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n
个不同元素的一个全排列．
n
的阶乘：正整数由
1
到
n
的连乘积，叫作
n的阶乘，用
n!
表示．规定：
0!1
．
⑴组合：一般地，从
n
个不同元素中，任意取出
m
(m≤n)
个元素并成一组，叫做从< br>n
个元素中任取

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m
个元素的一个组合．
组合数： 从
n
个不同元素中，任意取出
m
(m≤n)
个元素的所有组合的个数 ，叫做从
n
个不同元素
中，任意取出
m
个元素的组合数，用符号C
m
n
表示．
n(n1)(n2)
L
(nm 1)n!
组合数公式：
C
m
，
m,n
N

，并且
m≤n
．

n

m!m!(nm)!
nmmm1
组合数的两个性质：性质1：
C
m
；性质2：
Cm
．（规定
C
0
n

C
nn1
C
n
C
nn
1
）
⑴排列组合综合问题
解排列 组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排
列还是组合， 同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1．特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：对于较复 杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，
层次清楚，不重不漏．
3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4．捆绑法：某 些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，
然后再给那“一捆 元素”内部排列．
5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6．插板法：
n
个相同元素，分成
m(m≤n)
组，每组至少一个的 分组问题——把
n
个元素排成一排，
1
从
n1
个空中选< br>m1
个空，各插一个隔板，有
C
n
m


1
．
7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一 般地平均
分成
n
堆（组），必须除以
n
！，如果有
m
堆（组）元素个数相等，必须除以
m
！
8．错位法：编号为1至
n
的
n
个小球放入编号为1到
n
的
n
个盒子里，每个盒子放 一个小球，要求
小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当
n2
，3 ，4，5时的错位数各为1，2，
9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转 化为2个、3个、4个元素的错位
排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：
⑴元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
⑴位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
⑴间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．
求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是
分步计 数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．
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2．具体的解题策略有：
⑴对特殊元素进行优先安排；
⑴理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
⑴对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
⑴对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；
⑴顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑴对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑴对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．


典例分析



挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）
【例1】 < br>某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一
所学校 人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排
方法有 种．




【例2】 某校准备组建一个由
12
人组成篮球队，这
12
个人由
8
个班的学生组成，每班至少一人，名额分< br>配方案共 种．




【例3】

abcd

有多少项？
15




【例4】
有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里 ，要求每个盒子内的球数不少
编号数，问有多少种不同的方法？








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【例5】
不定方程
x
1
x
2
x
3< br>...x
50
100
中不同的正整数解有 组，非负整数解有
组．






【例6】 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法．





【例7】
将
7
个完 全相同的小球任意放入
4
个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？






【例8】 一个楼梯共
18
个台阶
12
步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同
的走法．





【例9】 有
10
个三好学生名额，分配 到高三年级的
6
个班里，要求每班至少
1
个名额，共有多少种不同
的 分配方案．





【例10】 某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，
每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．



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【例11】 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班 ，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同
的分配方法？





插空法（当需排的元素不能相邻时）
【例12】 从
1，2， 3，L，1000
个自然数中任取
10
个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．






【例13】 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法
种数为（ ）
A．
12
B．16 C．24 D．32






【例14】 三个人坐在一排
8
个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．





【例15】 要排一张有6个歌唱节目和4个舞 蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法
种数有____种．









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【例16】 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面， 可以把其中的三只
灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足 条件
的关灯方法共有_____种． （用数字作答）





【例17】 为配制某种染色剂， 需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂， 其中有机染料
的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响， 总共要进行的试验次
数为 ．（用数字作答）





【例18】
一排
9
个座位有
6
个人 坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．









【例19】
某班班会准备从甲、乙等
7
名学生中选派
4
名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人
参加 ．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（ ）
A．
360
B．
520
C．
600
D．
720













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【例20】
在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有 多少中
插入方法？







【例21】 某人连续射击
8
次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中 ”报告结果，不同的结果
有多少种．








捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）

【例22】
4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？







【例23】
四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有
种．







【例24】
某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校， 其中有一
所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排
方法有



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【例25】 停 车站划出一排
12
个停车位置，今有
8
辆不同型号的车需要停放，若要求剩余 的
4
个空车位连
在一起，则不同的停车方法共有__________种．






【例26】
四个不同的小球放入编号 为
1，2，3，4
的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______
种．（用数 字作答）







除序法 （平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排
列 后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）

【例27】
6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？







【例28】
6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？









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【例29】
用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？
⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？






【例30】
一天的课程表要排入语文，数学，物 理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体
育之前，那么该天的课程表有多少种排法？








【例31】 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天
且每天至多安 排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ）
A．
20
种 B．
30
种 C．
40
种 D．
60
种








【例32】
某考生打算从
7
所重点大学中选
3
所填在第一档次的
3
个志愿栏内，其中
A
校定为第一志
C
校 必选，且
B
在愿，再从
5
所一般大学中选
3
所填在第二档次 的
3
个志愿栏内，其中
B，
．
C
前，问此考生共有 种不同的填表方法（用数字作答）







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递推法

【例33】
一楼梯共10级， 如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不
同的走法？











用转换法解排列组合问题
【例34】
某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连 续命中，按“中”与“不中”报告结果，不
同的结果有多少种．








【例35】
6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．






【例36】
从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．






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【例37】
某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西 南角走到东北角，
路程最短的走法有多少种．






【例38】
一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个 台阶，一共有多少种
不同的走法．









【例39】
求

abc

的展开式的项数．







10
【例40】
亚、欧乒乓 球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号
队员比赛，负者淘汰，胜者 再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，
形成一种比赛过程．那么所有可能出现的 比赛过程有多少种？







【例41】 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？



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