工作简历表-九故十亲

2009

2010学年第二学期组合数学期末试卷

一、填空题（每小题3分，共15分）

1、22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为________.
2、
(xy)
6
所有项的系数和是________.
3、把5个不同的球安排到4个相同盒子中，没有空盒的，共有种________.
不同方法。
4、不定方程
x
1

x
2

x
3
2
的非负整数解的个数为________.
1
,则

2
f(n)
=_____________.
n
二、选择题（每小题3分，共30分）

5、若
f(n)1、设A（t）=

a
n
t
和 B（t）=

b
n
t
n
(
b
0
0
) 是两个形式幂级数，
n
n=0n=0

则A（t）与 B (t) 的商为 （ ）。
A.
A(t)A(t)
=A(t)B
1
(t)
B.
=A
1
(t)B(t)

B(t)B(t)
C.
A(t)A(t)
=A
1
(t)B
1
(t)
D.
=(A(t)B(t))
1

B(t)B(t)
2、某年 级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有
23人，参加语文小组的有27人；同时 参加数学、语文两个小组的有7
人。这个年级参加课外学科小组人数（ ）。
A．50 B．57 C．43 D．11
3、将11封信放入8个信箱中，则必有一个信箱中至少有（ ）封信。
A、1 B、2 C、3 D、4
1


120

4、组合式


50

< br>与下列哪个式子相等？（ ）


120

119

119

12

A、
 B、+ C、

60

50

49

5


120

119


D、

49

49



5、在{1，2，3，4,5,6}全排列中，使得只有偶数在原来位置的排列方式
数为（ ）。
A、 2 B、 4 C、 9 D、 24
a
0
4,a
1
9

6、若存在一递推关系

则
a
n

( ).

a
n
5a
n1
6a
n2
(n2)
A.
32
n3
n
B.
23
n
2
n
C.
32
n1
D.
32
n1
3
n1

7、数列
{n}
n0
的常生产函数是（ ）。
A、

1t

2

1t

B、
1

1t

2
C、

1t

t
t
D、
32

1t


1t

8、4元集到3元集 满射个数为（ ）。
A、6 B、36 C、12 D、8
9、6个男孩和4个女孩站成一圈，如果没有两个女孩相邻，有（ ）
种排法。
6!
A、
P(6,4)
B、
6!P(6,4)
C、
P(6,4)
D、
6!P(7,4)

6
10、排A，B，C，D，E，F六个字母，使A，B之间恰有2个字母的方式
数（ ）。
A、12 B、72 C、36 D、144

三、解答题（1，2，3题各6分，4，5，6题各7分，共39分）

1、求由1,2,3,4,5,6组成的大于35000的5位数个数。

2、求
P
3
(8)
。

3、求1到1000之间不能被5 ，6 ，或8整除的自然数的个数。

2 < /p>

4、求
(12x
3x
)
5
的展开式中x
的系数。

5、解递推关系：
43

a
n
5a
n1
6a
n2
2n3(n2)

a5,a10
1

0

6、求
M{4a,3b}
的5-可重排列数。


三、证明题（每小题8分，共16分）

1、某学生在37天里共做了60道数学题 。已知他每天至少做1道题，求
证：必存在连续的若干天，在这些天里该学生恰做了13道数学题。

2、求证：
S
1

n,k

S
1

n1,k1



n1

S
1

n1,k



nk1




答案
一、填空题

20

2

1、380 解析：N=

=380。

2

1

2、64 解析：令x=1,y=1,则
(11)
6
64
为所求。

5

3、10 解析：
S
2
(5,4)

10


2


321

4、6 解析：

=6
2

5、
2
解析 ：
n(n1)(n2)
3

11
,
n1n

112

2
f(n)f(n1)f(n)
(n1)(n2)n(n1)n(n 1)(n2)
f(n)f(n1)f(n)

二、选择题
1、A 解析：由组合数学P116定义4.3得。
2、C 解析：参加数学、语文用集合A、B表示。则所求为
ABAB2327743


111

3、B 解析：

1
=2 < br>
8


n

n


n1

n1

n

4、B 解析：组合恒等式

=

k


+


k 1


=
k

k

nk


=





n1



k1





5、A 解析：这是一个错排问题，题意即奇数(3个)不在原来位置上的
方式数为D
3
=2
6、A 解析：特征方程为：
x
2
5x60
则


x2

x3

0



x
1
2

x
3
3

即特征方程的特征根为：
x
1
2

x
3
3

设递推关系的通解为：
a
n
 A2
n
B3
n
， 把
a
0
4

a
1
9
代入通
解有

a
0
 A2
0
B3
0
AB4


11

a
1
A2B32A3B9
因而
A3

B1

所以
a
n
32
n
3
n


11
nn1
7、D 解析：，则


t
两边求导得
nt

2
1t
n0
(1t)
n0
4


tt
nn
。故
ntA(t)nt

22
(1t)(1t)
n0n0

4

8、B 解析：N=3!
s
2
(4,3)=3!

=36

2

9、C 解析：6个男孩站成一圈是圆排，有
4个女孩 是排列P(6,4)，故N=
6!
，男孩之间有6个空插，
6
6!
 P(6,4)

6
10、D 解析：N=2P（4，2）P（3，3）=144
三、解答题
1、解：设由1,2,3,4,5,6组成的大于35000的5位数共有N个， 则这N
个5位数可分成如下两类：
(1)万位数字为3的5位数。
属于此类的5位数的千位数字必为5或6，所以属于此类的5位数有2 ×
6
= 432个。
（2）万位数字大于3的5位数.
属于此类的5位数的万位数字必为4,5或6，故属于此类的5位数有3 ×
3
6
4
= 3888个。
由加法法则，得
N=432+3888=4320
2、解：
P
3
(8)
P
3
(53)

=
P
1
(5)
P
2
(5)
P
3
(5)

=1+[
5
]+
P
3
(23)

2
=1+ 2+
P
1
(2)
P
2
(2)
P
3(2)

=5
3、解：设A为1至1000的整数中 能被5整除的数的个数；B为1至1000
的整数中能被6整除的数的个数；C为1至1000的整数中 能被8整除的
数的个数.
则
5


1000
1000

1000

1000

A 

200,B166,C125,A

B

6

8

30

33,
5
 

1000

1000

1000

A

C

25,B

C41,A

B

C8


40

24

120


所以
ABCABCAB ACBCABC
2001661253325418400

即所求为：
1000400600
.

4
4、解：原式=

(12x)
3x

= < br>
5

5

5

5
5

5

4
5
4
4
4
3< br>4
2
4
234
()(12x)()(12x)()(12 x)()

3x

(12x)(
3x
)
3x3x3x

0

1

2
< br>3

4


5



(12x)
5

5

所以
x

3

5

3
的系数


2
=80

2

2
5、解：特征方程为
x5x60
，特征根为
x
1
1,x
2
2,x
3
2

所以对应的齐次递推关系式有
a
n
c
1
2
n
c
2
3
n
的通解
原递推式有特解为
an
An6a
n2
，代入原递推式得A=1，D=2，因此
原递推式 有通解
a
n
c
1
2
n
c
2
3
n
n2
，再将
a
0
5,a
1
 10
代入通解
得
c
1
2,c
2
1
，所 以
a
n
2
n1
3
n
n2


t
2
t
3
t
2
t
3
t
4
6、解法1：
A(t)=(1+t+)(1t)

2!3!2!3!4!
所以
t
5
的系数为：

111


4!2!3!3!2!
6

111
t
5

则的系数为：
5!
（

）=25
4!2!3!3!2!
5 !
解法2：
M{4a,3b}
的5-排列数有
M
1
 {4a,1b}
,
M
2
{3a,2b}
,
M
3
{2a,3b}
三种情况。
N
1

5!5 !5!
,N
2
,N
3


4!3!2!2! 3!
NN
1
N
2
N
3
510102 5


四、证明题
1、证明：设该同学从第1天至第
i

i1,2,,37

天共做了
a
i
道数学题，
则
1a
i
a
2


a
37
60.

令b
i
a
i
13

i1 ,2,,37

， 则

14b
1
b
2
b
37
73.

令A

12，，，73

，A
1


a
1
,a
2
,,a
37

,A
2


b
1
,b
2
,,b
37

,
则
A
1
A
2
A.
如果
A
1
A
2

，则
AA
1
A< br>2
A
1
A
2
373774,
这与
A73
矛盾，所以
A
1
A
2

，从而存在< br>a
k
A
1
,b
l
A
2
,
使得
a
k
b
l
,
即
a
k
a
l
13,a
k
a
l
13,
这表明该学生从第
l1
天到第
k
天共做了13道数
学题。
2、证明：令< br>
x

n
x

x1



xn2

xn1





x

x1



x
n1

1



xn1





x

n1

xn1



x

x

n1


n1

x

n1

7

则

S
1

n,k

xx

S
1

n1,k

x

n1


S
1

n1,k
x
k

kk
k1k0
n
k1
nn1n1



S
1

n1,k1

x


n1

S
1

n1,k
< br>x
k

k
n
k1k1
n




S
1

n1,k1



n1

S
1

n1,k


x
k

k1
S
1

n,k

S
1

n1,k1



n 1

S
1

n1,k


8