排列组合问题的解题方法总结学生版(1)
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排列组合问题的解题方法总结
一、相邻问题 “捆绑法”：
要求某几个元素
必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素
合并为一个元素,再与其它元素一
起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。
例1：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?
分析 此
题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她
们要相邻,因此可
以将她们看成是一个元素来解决问题.
练1-1：7人站成一排
,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
练1-2：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
练1-3：6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？
二、不相邻问题 “插空法”：
对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将
不相邻元素插入已排好
元素的空隙中（包括两端）即可。
例2： 学校组织老师学生一起看电
影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老
师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不
同的坐法？
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在
解决
时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.
练2-1：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的
出场顺序有多少种？
练2-2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果
将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
练2-3：用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4<
br>相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个.
三、特殊元素（或位置） “优先法”：
排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题
，即某个元素排在什么位置或某个
位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可
从限制元素（或位置）
入手，优先考虑。
例3：在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没
有重复数字的四位数中，不能被5整除的数
共有( )个．
分析 根据所求四位数对首末两
位置的特殊要求可分三步：第一步：排个位；第二步；排首
位；第三步：排中间两位。
练3-1：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
练3-2：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆
里，问有多少不同的种法？
练3-3：五个工程队承建某项工程的
五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程
不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有多少
种?
四、分组与分配问题 平均分配用“除法”：
n
平均分成的组,不
管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以
A
n
n
(
为均分的组数)避免重复计数。
例4：6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
分析 分三步取书,但这里出现重复计数的现象。
练4-1：6本不同的书，按以
下要求各有多少种分法？⑴平均分成三组；⑵分成1本，2本、
3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；
⑷分给甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、
一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.<
br>
练4-2： 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,
有多少分法？
练4-3：某校高二年级共有六个班级，现从外地转
入4名学生，要安排到该年级的两个班
级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_____
五、元素相同问题 “隔板法”：
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）
,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插
入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为<
br>C
n1
。
例5：
.
有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
分析 因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档
中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一
种分法
m1
一
班
二
班
三
班
四
班
五
班
六
班
七
班
练5-1：10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
练5-2：某
校要从6个班级中选出10人组成一个篮球队，要求每班至少选1人参加，则这
10个名额的不同分配方
法有多少种？
练5-3：在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班
要求至少1人,名额
分配方案有多少种?
六、正难则反 “排除法”:
有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整
体中排除。
常见关键词为：“至少“、”不少于“，至多，不多于，不大于等关键词。
例6：
某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法
有多少种?
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种
情
况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计
算中也是非常
的简便.这样就可以简化计算过程.
练6-1：6个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有多少种？
<
br>练6-2：从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少含甲型与乙型电视机各一
台的
不同选法有 种？
练6-3：从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求
甲乙中至少有1人参加，
则不同的挑选方法共有___140___种
七、重排问题 “求幂法”：
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置
的约束，可以逐一安排
各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为<
br>m
种。
例7：把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法?
分析 完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到
车间也有7种分依此类推,由分步计数原理。
练7-1：
某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 .
练7-2：五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数
为
．
练7-3：4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运
动队。不同报名方法的种数是多少？
八、排列组合混合问题 “先选后排”：
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.先把所需要的元素选出来，再进
行排序。
例8：有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
分析 第一步从5个球中选出2个组成复合元。再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个
不
同的盒内，根据分步计数原理装球的方法
练8-1：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完
成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种
练8-2：从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，
要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有
多少种？
练8-3：汉中最美油菜花节期间，
5名游客到4个不同景点游览，每个景点至少有一人，则
不同的游览方法共有多少种。
九、有序问题 “倍缩法”：
对于元素顺序一定的排列问题，可先考虑没有顺序元素的排列，
然后除以有顺序的几
个元素的全排列即可。
例9：3男3女排成一排，若3名男生身高不相等
，则按从高到低的一种顺序站的站法有多
少种？
分析 6个人的全排列，3名男生不考虑身高
的顺序的站法，而由高到低又可从左到右，或从
右到左（这是两种不同的站法）。
n
10
A
10
5
练9-1:5男5女排成一排，女生按从高到矮
的顺序排列，共有多少种排法？
5
=
A
10
A
5
练9-2：7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？
练9-3：10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少
排法？
十、分排问题“直排法”：
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究，即n个元素分成
m（m＜n）排，即为n个元素的全排列。
例10：将6个人排成前后两排，每排3人，有多少种排法.
分析
6个人中选3个人排在前排，剩下3人排在后排。
练10-1：8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
练10-2：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3
个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
练10-3：环排问题 “线排法”
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种
排法.如果从n个不同元素中取出m个元
前 排
后
排
素作圆形排列共有
1
m
A
n
n
例：8人围桌而坐,共有多少种坐法?
分析 围桌而坐与坐成一排的不同点在于，
坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
A
4
4
并从
此位置把圆形展成直线其余7人排！
C
D
B
E
F
G
H
A
AB
C
DEFGHA
十一、合理分类问题 “分步法”：
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分
类，按事件发生的连续过程分
步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于
解题过程的始终。
例11：在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌
2人伴舞的节目,有多少选派方法？
分析10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全
能演员。选上唱歌人员为标准进行
研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员,只会唱的5人中只有1人选
上唱歌人员,只唱的5
人中只有2人选上唱歌人员，由分类计数原理。
练11-1：从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又
有女生，则不同的选法共有
练11-2：9人组成的蓝球队中，有7人会打
卫，3人会打锋，现选5人，按3卫2锋组队出
场，有多少种不同的组队方法？
练11-3：3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,
2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,
他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,
这3人共有多少乘船方法.
十二、染色问题 “大元素法”
用“大元素法”
解决排列、组合中的染色问题，显得分类清楚，不重不漏，分类时要以
所涂颜色种数分类，搞清有几对不
相邻区域可同色（也即有几个大元素），最少用几种颜色，
最多用几种颜色，分选颜色、排区域、涂颜色
三步。
例12：如图所示，用6种不同的颜色对图中 A，B，C，D
四块区域涂色．若相邻区域不能
涂同一种颜色，不相邻区域可以涂同一种颜色，则不同的涂法有多少种？
630
分析
第一步，由于这个四块区域都是对称的区域，随便从哪块区域开始都是可以的。
例12-1:如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形 A，B，C，D
中，要求相邻的矩形涂色不
同，则不同的涂法有多少种？
例12-2：给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有
多少种
1
3
2
5
4
例12-3：
.
如图，用
6
种不同的颜色把图中
A
，
B
，
C
，
D
四块区域分开，若相邻区域不能涂同
一种颜色，则不同的涂法共有
(
)
.
A.
400
种
B.
460
种
C.
480
种
D.
496
种
十三、构造组合模型 “转化法”
一些不易理解的排列组合题如果能转
化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，
装盒模型等，可使问题直观解决。
例13：马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不
能关掉
相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
分析
把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯。
练13-1：某排
共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多
少种？
练13-2：例13、有2个A，3个B，4个C共9个字母排成一排，有多少种排法？
练13-3：同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则
四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
十四、复杂问题
“树图与表格”
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果
；
用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件。
例14-1：
3
人相
互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过
5
次传求后,球仍回到甲的
手中,则不同的传球方式有______
例14-2：有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要
求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法。