浅析排列组合中的重复计算问题
心痛2009-都江堰水利工程
例析排列组合中的重复计算的产生及对策
无锡市洛社高级中学 戎钢
学生在解排列组合的题目时，往往容易出现考虑不周全，漏解的情况。另外有些类型
的排列组合
题目较容易出现重复计算的问题，而且此类问题较隐蔽，学生不容易发现。在
解题时，应做到既不重复遗
漏，又能判断解题的正误，并能加以剖析。这样对于学生解题
能力的提高大有好处。
一、分步引起的重复计算
例1:从4台甲型机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有
甲型和乙型机各1
台，则不同的取法有多少种？
【错解】先保证各1台，在从剩下的机子中任
取一台。即分三步：第一步从甲型机中
11
取一台，有
C
4
种取法；
第二步从乙型机中取一台，有
C
5
种取法；第三步从剩下的七台机
1111<
br>子中取一台，有
C
7
种取法，根据乘法原理，共有
C
4
C
5
C
7
140
种取法。
【分析】设甲型机种有a、b两台机子 ，乙型机中有A、B两台机子，根据上述选法，
其中有
一种取法可以是“先选a，再选A，再选b”,另外一种取法是“先选b，再选A，
再选a”。而很明显
，上述两种取法是同一种结果，出现重复。
究其原因是本题使用的是分类计数原理（分步原理）。而分
步必然有先有后，也就有
顺序，跟排列有关。本题中无论是取两台甲型机还是两台乙型机，对于这两台机
而言，只
是一个组合，没有先后，因此重复了两遍。
21
【正解】根据结果分类，第
一类：两台甲型机，有
C
4
种取法；第二类：两台乙型
C
5
2112
1
机，有
C
4
C
5
C
4<
br>C
5
70
种取法。
C
5
2
种取法，
根据分类计数原理，共有
C
4
二、涉及到平均分组中的重复计算
例2:袋中
有红、白、黄球各一个，每次任取一球，记下颜色后放回，当各种颜色均被
取到时结束，则取球结束时，
一共取了五次的不同取法有多少种？
【错解】由题意，第五次一定是第三种颜色的球。前四次取到其他
两种颜色的球。先
1
分步，第五次有
C
3
种颜色的可能，再分类讨论
前四次的情况，第一类：剩下的两种颜色
的球，一种颜色的取到三次，另外一种取到一次。分步完成，先
选出一种颜色，被取到三
1313
次，有
C
2
种可能，然后这种颜色
在前四次中被取到有
C
4
中情况，共有
C
2
种情况；第C
4
12
二类，类似第一类，共有
C
2
种情况，由分
步原理共有
C
3
(C
2
C
4
C
2<
br>C
4
)60
种不
C
4
11213
同的
取法。
【剖析】本题中在分类时涉及到平均分组的问题。在第二类中两种颜色各取到两次的
12
情况，计数重复。比如假设第五次取到白色，
C
2
选取的是 红色，在四次取球中，
C
4
中前
1
两次是红色，后两次是黄色，即红 红黄黄白是其中一种情况；若
C
2
选取的是黄色，在四
次取球中，后两次是黄 色，前两次是黄色，对于该算法来讲是不同的两次，而结果是相同
1132
的，应是
C
3
(C
2
C
4
C
4
)42
。
【正解】本题可以通过举例探究，分类讨论避开平均分组。不妨假设最后一次取的是
1
白球（由分步原理应是
C
3
种可能）则前四次应只有红色和黄色。可进一步细 分为三类：
123
三红一黄，两红两黄，一红三黄，各有
C
4
、C
4
、
C
4
种可能。由等可能性，共有
1123
C
3
(C
4
C
4
C
4
)42< br>种可能。
平均分组高考没有明确要求，但06年江苏最后一道选择题却又涉及到。学生对平均< br>分组计数时么除以组数的全排列难以理解，解题时也不容易想到。本题通过特殊化的思想，
通过举 例探究，找到相同点，弄清楚其中的关系，思路相对自然，容易接受和理解。
三、分类不清引起的重复
例3：定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合{1，3，5，7}的孙集
的 个数为________。
【解析】本题源于课本，又高于课本。根据真子集的定义，学生不难写出集 合{1，3，
4
5，7}的真子集，应有2－1＝15个，然后在找出每个真子集的真子集即可 。由于四元子集
的真子集可以分为三类即空集；一元真子集；二元真子集；三元真子集。空集没有真子集 ，
一元集合的真子集有2个，其中一个为空集；二元集合的真子集有3个，其中一个为空集；
三 元集合的真子集有7个，其中一个为空集。除去空集重复，一共有
123
C
4
1C
4
2C
4
6141
种。
上述解法是错 的。仍以举例分析。一元真子集如{1}或{3}等等，其真子集只能是空集，
仅算一个；二元子集如{ 1,3}或{1,5}等等，其真子集为空集和一元集合{1},{3},{5}，……，
不难发现，一 元真子集也有重复，三元集合的真子集也也有类似的重复。因此上述解法由
于分类后并不清楚，仍有重复 计算。
正确的解法：由分析不难看出，尽管每种分类都有重复，但可以发现，其孙集必为真
1 2
子集，而且最多是二元真子集。所以分三类：空集；一元集合，有
C
4
个； 二元集合，有
C
4
012
个，共计
C
4
C
4
C
4
11
个。
对策：此类重复计算问题往往比较隐蔽，学 生易犯错误，而且不易察觉。但仔细回顾这三
道例题，我们还是有规律可寻，有方法可依的。
一、通过题组训练，强化模式识别。
对于易产生重复的题目有很多还是有相似之处的。可以通 过题组的形式，让学生强化
对该类题目的辨析和认识。笔者列举如下一组问题，请读者仔
细考虑。
（1）袋中装有大小相同、编号各不相同的五个红球、四个黑球，从中取出5个，红
球，黑球各至少有2个的不同取法有多少种？
（2）某演出队有9名歌舞演员，其中7人会表演唱歌节
目，5人会表演舞蹈节目，今
从9人中选2人，1人表演唱歌，1人表演舞蹈，则不同的选法有多少种？
（3）有学生10人，其中团员4人，现平均分成2组，若每组都要分2名团员，那么
不同的分
组方法有多少种？
（4）某篮球队有11名队员，其中5人只能打前锋，4人只能打后卫，其余2人可
打
前锋可打后卫。①现从中选5人（3前锋2后卫）出场，有几种选法？②现从中选10
人
组成2个队对抗，每队都是3前锋2后卫，有几种选法？
（5）∠A的一边有4个点，另一
边有5个点，连同顶点一共10个点，可以作出多少
个三角形？
（6）有红黄蓝三种颜色卡片
各5张，每种卡片上分别写有1，2，3，4，5五个数字，
如果每次提取4张卡片，要求颜色齐全，数
字不同，那么取法种数共有多少种？
（7）从1，2，3…，10这10个数字种有放回地抽取3次，每次抽取1个数字，
3
次抽取中最小数为3的所有可能种数为多少？
（提示：1、2两题参考例1；3、4两题参考例2；5、6、7先考虑分组。）
二、由小见大，以点带面，逐步摸清规律，合理分解。
在剖析重复计算产生的原因的过程当中
，我们不难发现错误的想法源于对整体情况的
把握不够完整，问题考虑得不够清晰。对于这样的问题，学
生的反映或者是无从下手，或
者是惰于思考，想不周全。实际上以上三例的解析已经给出行之有效的一套
方案。一方面，
我们通过举例发现重复计算的问题，而另一方面，我们还是通过举例，先列举出一些特例
，
同时在举例的过程中，寻找共同点，逐步发现起本质规律。比如例3，我们通过列举发现
集合
的子集的子集出现很多重复，从而避免错解的简单化思维，而在列举一些有代表性的
集合时 ，我们又发
现归根到底还是原来集合的真子集，只不过条件是子集中最多有两个
元素。于是，问题迎刃而解。
附：题组答案⑴100；⑵32；⑶60；⑷380，960；⑸90；⑹180；⑺169