行测数学运算:排列组合问题
与企鹅同行-中华情老年公寓
行测数学运算:排列组合问题
基本知识点:
加法原理:分类用加法
乘法原理:分步用乘法排列:与顺序有关
组合:与顺序无关
排列公式:Pmn=Amn=n!(n-m)!=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)
组合公式:Cmn=Cn-mn=Amnm!=n!m!(n-m)!=n×(n-1)×(n-2)×
…×(n-m+1)
m×(m-1)×(m-2)×…×1
一、基础公式型
【例1
】(吉林2009乙-9)甲、乙、丙三个人到旅店住店,旅店里只有三个房
间,恰好每个房间住一个人
,问一共有()种住法。
A. 5B. 6C. 7 D. 8
[答案]B
[解析]本题等价于从3个人里挑出3个来排一个顺序:A33=6。
【例2】(陕西200
8-12)在一条线段中间另有6个点,则这8个点可以构成多
少条线段?()
A. 15
B. 21C. 28D. 36
[答案]C
[解析]本题等价于从8个点中挑出2个构成一条线段,即:C28=28。
【例3】(国家
2004B类-44)把4个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒
子放一个球,有多少种放法?()
A. 24 B. 4 C. 12 D. 10
[答案]A
[解析]本题等价于从4个球里挑出4个来排一个顺序:A44=24。
【例4】(上海2
004-18)参加会议的人两两都彼此握手,有人统计共握手36
次,到会共有多少人?()
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
[答案]A
[解析]本
题等价于从N个人中挑出2个成为一个组合,即:C2N=N×(N-1)
2×1=36,解得N=9。
【例5】(国家2004A类-47)林辉在自助餐店就餐,他准备挑选三种肉类中的
一种肉类
,四种蔬菜中的两种不同蔬菜,以及四种点心中的一种点心。若不考虑
食物的挑选次序,则他可以有多少
种不同的选择方法?()
A. 4 B. 24 C. 72 D. 144
[答案]C
[解析]根据乘法原理:共有C13×C24×C14=72种不同的选择方法。
【例6】(国家2009-115)要求厨师从12种主料中挑出2种,从13种配料中挑
出3
种来烹饪菜肴,烹饪方式共7种,最多可做出多少道不一样的菜肴?()
A. 131204 B.
132132D. 130468D. 133456
[答案]B
[解析]根据乘法原理:
总共有
C212×C313×7=12×112×1×13×12×113×2×1×7=132132
道不一样的菜肴。
[注释]本题的计算有很多种简便的方法,原数化简得11×13×
12×11×7时可
利用尾数判断;也可以利用“7×11×13=1001”来简化计算;也可以直接
不计
算,而利用结果是7的倍数来判断。
【例7】(山东2009-115)某单位有3名职
工和6名实习生需要被分配到A、B、
C三个地区进行锻炼,每个地区分配一名职工和2名实习生,则不
同的分配方案
有多少种? ()
A. 90 B. 180 C. 270 D. 540
[答案]D
[解析]根据乘法原理:总共有C13×C12×C11×C26×C24×C2
2=540种分配方
案。或者,有A33×C26×A33=540。
【例8】(江苏200
6A类-17)要从三男两女中安排两人周日值班,至少有一名
女职员参加,有多少种不同的安排方法?
()
A. 7 B. 10 C. 14 D. 20
[答案]A
[解析
]随意安排两个人有C25种情况,不满足题意(即全部是安排男职员)有
C23种情况,因此,至少有
一名女职员参加的安排方法一共有:C25-C23=10-3
=7种。
【例9】(浙江20
08-18)有颜色不同的四盏灯,每次使用一盏、两盏、三盏或
四盏,并按一定的秩序挂在灯杆上表示
信号,问共可表示多少种不同的信号?()
A. 24种 B. 48种 C. 64种 D.
72种
[答案]C
[解析]使用一、二、三、四盏灯分别有A14=4、A24=12、A
34=24、A44=24种不
同的信号,易得总数为64种。
【例10】(北京应届200
8-16)某单位今年新进3个工作人员,可以分配到3
个部门,但是每个部门至多只能接收2个人,问
共有几种不同的分配方案()。
A. 12 B. 16 C. 24 D.
以上都不对
[答案]C
[解析]总体分为两种情形:(1)如果三个部门每个部门分配一
个工作人员,
共有A33种分配方案;(2)如果三个部门分别分配0、1、2个工作人员,一共
有C23×C13×C12种分配方案。综上,总的分配方案为:A33+C23×C13×C12=
6+18=24(种)
【例11】(国家2005一类-48)从1,2,3,4,5,6,7,8,
9中任意选出三
个数,使它们的和为偶数,则共有多少种不同的选法?()
A. 40
B. 41 C. 44 D. 46
[答案]C
[解析]总体分为两种情形:(1)
三个数都是偶数,共有C34种选法;(2)三
个数两奇一偶,共有C25×C14种选法。综上,总的
选法为:C34+C25×C14=44
(种)。
【例12】(广东2008-14)3个单
位要采购300本书,每个单位最少要订购99
本,最多只能订购101本,求有几种订购方法?()
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
[答案]B
[解析]总体分为两种情形
:(1)三个单位都是100本书,就这么1种情况;
(2)三个单位分别99、100、101本书,
需要进行一个全排列,有A33=6种情况。
总共有1+6=7种订购方法。
【例13】(上海2004-19)用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的自
然数,从小
到大顺序排列:1,2,3,4,5,12,…,54321。其中,第206个数
是多少?()
A. 313 B. 12345 C. 325 D. 371
[答案]B
[解析]由1、2、3、4、5组成的没有重复数字的一位数共有A15=5个;二位数
共有A25=
20个;三位数共有A35=60个;四位数共有A45=120个;至此由1、2、
3、4、5组成的
没有重复数字的四位以内的数共有;5+20+60+120=205个;那么
第206个数是第一个由
1、2、3、4、5组成的五位数,即最小的五位数12345。
二、分步计算型
【例14
】(国家2008-57)一张节目表上原有3个节目,如果保持这三个节目的
相对顺序不变,再添加2
个新节目,有多少种安排方法?()
A. 20 B. 12 C. 6 D. 4
[答案]A
[解析]分步计算:先插第一个节目,有4种方法;再插第二个节目,有5种方
法
。根据乘法原理,共有不同安排方法4×5=20种。
【例15】(国家2009-107)小王忘记
了朋友的手机号的最后两位数,只记得倒
数第一位是奇数,则他最多要拨号多少次才能保证拨通?()
A. 90 B. 50 C. 45 D. 20
[答案]B
[解析]分步计算
:先考虑最后一位,有5种可能;再考虑倒数第二位,有10
种可能。根据乘法原理,共有不同组合方法
5×10=50种。
【例16】(内蒙古2008-8、北京应届2006-14)某铁路线上有25
个大小车站,
那么应该为这条路线准备多少种不同的车票?()
A. 625 B.
600 C. 300 D. 450
[答案]B
[解析]分步计算:先考虑起点站,
有25种可能;再考虑终点站,有24种可能。
根据乘法原理,共有不同车票25×24=600种。
【例17】(浙江2009-51)如右图所示,圆被三条线段分成四个部分。现有红、
橙、黄
、绿四种涂料对这四个部分上色,假设每部分必须上色,且任意相邻两个
区域不能用同一种颜色,问共有
几种不相同的上色方法?()
A. 64种 B. 72种
C. 80种 D.
96种
[答案]B
[解析]分步计算:按顺序分别给1、2、3、4区域上颜色,则总
共有不同的上
色方法4×3×2×3=72种。
三、插空捆绑型
相邻问题——捆绑法;不邻问题——插空法。
【例18】A、B、C、D、E五个人排成一排
,其中A、B两人必须站一起,共有()
种排法。
A. 120 B. 72 C.
48 D. 24
[答案]C
[解析]“相邻问题”,选用捆绑法。先将A、B捆绑在一
起,共有A22=2种捆
法; 再用它们的整体和C、D、E在一起排,共有A44=2
4种排法;因此共有不同
排法2×24=48种。
【例19】A、B、C、D、E五个人排成一排,其中A、B两人不站一起,共有()
种排法。
A. 120 B. 72 C. 48 D. 24
[答案]B
[解析]
“不邻问题”,选用插空法。先将C、D、E排成一排共有A33=6种排法;
当C、D、E形成四个空
时,将A、B插入,共有A24=12种排法;因此共有不同的
排法6×12=72种。
四、错位排列型
错位排列问题核心提示
错位排列问题:有N封信和N个信封,则每
封信都不装在自己的信封里,可能的
方法的种数计作Dn,则D1=0,D2=1,D3=2,D4=9
,D5=44,D6=265…(请牢牢记
住前五个数)
【例20】小明给住在五个国家的五
位朋友分别写一封信,这些信都装错了信封
的情况共有多少种?()
A. 32 B.
44 C. 64 D. 120
[答案]B
[解析]错位排列问题D5=44。 <
br>【例21】甲、乙、丙、丁四个人站成一排,已知:甲不站在第一位,乙不站在
第二位,丙不站在
第三位,丁不站在第四位,则所有可能的站法数为多少种?()
A. 6 B. 12 C. 9
D. 24
[答案]C
[解析]错位排列问题D4=9。
【例22】(北京社招
2007-16)五个瓶子都贴了标签,其中恰好贴错了三个,则
错的可能情况共有多少种?()
A. 6 B. 10 C. 12 D. 20
[答案]D
[解析]先从
五个瓶子中选出三个瓶子,共有C35=10种方法;然后对这三个瓶
子进行错位排列共有D3=2种方
法。因此,所有可能的方法数为10×2=20种。
五、重复剔除型
【例23】将6个人平均分成三组,请问一共有多少种分配的方法?()
A. 15 B.
30 C. 45 D. 90
[答案]A
[解析]我们先从6个人当中挑出两个人组
成一组,有C26种情况;再从剩下的
4个人当中再挑出两个人组成一组,有C24种情况;最后从剩下
的2个人当中再
挑出两个人组成最后一组,有C22种情况。总共有C26×C24×C22种分配方法
。
然而,下图示的六种情况虽然对应了上述解法的不同挑人过程,但实际上却是相
同的分配方法
,所以最后的结果还要剔除这些重复的情况。由于每A33=6种不
同的挑法只对应同样的分配结果,所
以最后答案应该为:C26×C24×C22÷A33
=15(种)。
[注释]将NM个人平
均分成N组,总共有CMNM×CMNM-M×…×CM2M×CMMANN
种分配方法。
【例24】(上海2005-11)某小组有四位男性和两位女性,六人围成一圈跳集体
舞 ,不同排列方法有多少种?()
A. 720 B. 60 C. 480 D. 120
[答案]D
[解析]将六个人排成一排,共有A66=720种方法。但注意到下图显示的六 种情
况对应着相同的相对位置,应该将相同情况剔除。所以共有720÷6=120种方法。
[注释]N人排成一圈,有ANNN种排法。题干中的“男女”为干扰条件。
【例25】用6枚不同的珍珠串一条项链,共有多少种不同的串法?()
A. 720 B. 60 &nbs
p;C. 480 D. 120
[答案]B
[解析] 本题与上题相比,区别在于“人是不能随意翻转的”,但项链是可以翻
转的。如右图:如果是人围成一圈 ,图中是两种完全不同的情形(有左右手的区
别),但如果是项链,只需要翻转一下,便能完全一致。所 以所有可能的排法数
还要再除以2,即A66÷6÷2=60种。
[注释] N个珍珠串成一条项链,有ANN2N种串法。
六、多人传球型
【例26】(国家2006 一类-46、二类-39)四人进行篮球传接球练习,要求每人
接球后再传给别人。开始由甲发球,并作 为第一次传球,若第五次传球后,球又
回到甲手中,则共有多少种传球方式?()
A. 60种B. 65种C. 70种D. 75种
[答案]A
[解一]五次传球传回甲,中间将经过四个人,将其分为两类:
第一类:传球的过程中不经过甲,
甲→→→→→甲共有方法3×2×2×2=24种
第二类:传球的过程中经过甲,
①甲→→→甲→→甲共有方法3×2×1×3=18种
②甲→→甲→→→甲 共有方法3×1×3×2=18种
根据加法原理,共有不同的传球方式24+18+18=60种。
[解二]注意:N次传球,所有可能的传法总数为3N(每次传球有3种方法)。
并且第N次传回甲手中的可能性就是第N-1次不在甲手中的可能性。 从表中可
知,经过5次传球后,球仍回甲手的方法共有60种,故选A项。 传球问题
[解二]注意:N次传球,所有可能的传法总数为3N(每次传球有3种方法)。
并且第N次传回甲手中的可能性就是第N-1次不在甲手中的可能性。
从表中可知,经过5次传球后,球仍回甲手的方法共有60种,故选A项。
传球问题核心公式
N个人传M次球,记x=(N-1)MN,则与x最接近的整数为传给“非自己的某人”
的方法 数,与x第二接近的整数便是传给自己的方法数。
如上例之中,x=(4-1)54=60.75,最 接近的整数是61,第二接近的整数是60,
所以传回甲自己的方法数为60种,而传给乙(或者丙、丁 )的方法数为61。
【例27】某人去A、B、C、D、E五个城市旅游,第一天去A
城市,第七天到E
城市。如果他今天在某个城市,那么他第二天肯定会离开这个城市去另外一个城
市。那么他一共有多少种旅游行程安排的方式?()
A. 204 B. 205 C.
819 D. 820
[答案]C
[解析]相当于五个人传六次球,根据“传球问题核心
公式”:X=(5-1)65=819.2,
与之最接近的是819,第二接近的是820。因此若第七
天回到A城市则有820种
方法,去另外一个城市则有819种方法。
七、等价转化型
【例28】从1~100当中选出3个数互不相邻,请问一共有多少种选法?()
A.
142880 B. 147440 C. 608384 D. 152096
[答案]D
[解析]本题相当于在97个物件的空隙里插上3个物件(与顺序没有关系),
这样构成的10
0个物件对应着1~100这100个数,新插进来的3个物件对应的
数必然是不相邻的,将其取出必然
满足题目条件。于是我们完成了一个“等价转
化”。97个物件一共产生98个空隙(包括两头),98
个空隙中插入3个物件一
共有C398=98×97×963×2×1=98×97×16,利用尾数法
,显然选D。
【例29】一名医生给三名学生打疫苗,这种疫苗必须按顺序依次注射a、b、c
三针,请问这一共九针有多少种不同的顺序?()
A. 1200 B. 1440 C.
1530 D. 1680
[答案]D
[解析]医生只需要在自己的打针顺序表上标明这
三名学生的名字,譬如“甲、
乙、甲、丙、甲、丙、丙、乙、乙”,那么依次注射a、b、c三针就会自
动安排
唯一的顺序。于是我们完成了一个“等价转化”。医生一共要打九针,在这九针
当中先选
出三针来给甲打,有C39=84种情况;在剩下的六针当中再选出三针给
乙打,有C36=20;剩下
三针就留给丙了。所以一共有84×20=1680种情况。
【例30】一次射击比赛当中,6个瓷制
靶子排成两列,左边挂了4个靶子,右边
挂了2个靶子。射手在射击每一列的时候,必须先击碎此列尚未
击碎的靶子当中
的最下面一个。请问全部击碎所有6个靶子一共有多少种方法?()
A.
10种 B. 12种 C. 15种 D. 21种
[答案]C
[解析]与上题类
似,我们进行“等价转化”。本题等价于在第1、2、3、4、5、
6次射击中,有4次是往左射击,有
2次是往右射击,确定好这6次射击的“左”
与“右”之后,具体是打哪个靶就被唯一确定了。6次射击
中寻找出2次往右射
击应该有C26=6×52×1=15种方式。