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排列组合难题题型总结（含答案）

一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

练习题 :7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为

三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目 不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排 成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原
节目单中，且两个新节目不相邻，那 么不同插法的种数为
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

五.重复排列问题求幂策略(住店法)
解决“允许重复排列问题 ”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，
能重复的 元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
例5.把6名实习生(元素)分配到7个车间(位置)实习,共有多少种不同的分法

练习题：
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将 这两个节目插入原节目单中，
那么不同插法的种数为
某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且 这
2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务 ,且正副班长
有且只有1人参加,则不同的选法有 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其 中恰有(即有且只有!!)两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数
有多少个？

练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一
起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 种
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ (注意有9个空隙,6个隔板!)
练习题：
10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
2 .
xyzw100
求这个方程组的自然数解的组数
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数 字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方法
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安
排2名，则不同的安排方案种数为______
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人 会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派
方法?
练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩
不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只 路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉
两端的2盏,求满足条件的关灯 方法有多少种？
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法 有多少种？（120）
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五 个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，
并 且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
练习题：
1.同一寝室4人,每人写 一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多
少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种

1
3
2
5
4



十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线




十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？


练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？
B

十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？ 练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第7 1个数是
十九.树图策略
例19．
3
人相互传球,由甲开 始发球,并作为第一次传球,经过
5
次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有
______




练习: 分别编有1，2，3，4 ，5号码的人与椅，其中
i
号人不坐
i
号椅（
i1,2,3,4, 5
）的不同坐法有多少种？
二十.复杂分类问题表格策略


例 20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三 色齐备,
则共有多少种不同的取法



A
参考答案
例1.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
1
先排末位共有
C
3

C
1
A
3
C
1

1
然后排首位共有
C
4

3
最后排其它位置共有
A
4

113
由分步计数原理得
C
4
C
3
A
4
288


位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需

先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位

置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练习题:解：分两步完成．
第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置有A53=60种排法
第二步排其余的位置：有A44=24种排法
所以共有60×24=1440种排法．
二.相邻元素捆绑策略
例2. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时 丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行
522
排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分 步计数原理可得共有
A
5
A
2
A
2
480
种不同的排法
甲乙
丙丁



要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并

为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

练习题: 20

三.不相邻问题插空策略
例3.解:分两步进行第 一步排2个相声和3个独唱共有
A
5
5
种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的 6个元素中间包含
44
首尾两个空位共有种
A
6
不同的方法,由分步 计数原理,节目的不同顺序共有
A
5
5
A
6
种

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两

练习题： 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.解:(倍缩法)对于某几 个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数
3
除 以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：
A
7
7
A
3

4
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A< br>7
种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则
4
共有
A
7
种方法。

5
练习题:
C
10

五.重复排列问题求幂策略(住店法)
例5.把6名实习生(元素)分配到7个车间(位置)实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分 配到车间也有7种分依此类推,由
分步计数原理共有
7
6
种不同的排法
即一个一个排(分步)!

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素

的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为
m
n
种


练习题：
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加 了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，
那么不同插法的种数为 42 (先插一个再插一个!)
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电 梯的方法
7
8
(看清题目!一楼上的,下的话只有
2—8层共7层!)
六.环排问题线排策略
例6. 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之 分，所以固定一人,并从此位置把圆形展成直线
其余7人共有（8-1）！种排法即
7
！
C
D
E
F
G
H

B
A
AB
C
DEFGHA

一般地,n个不同元素 作圆形排列,共有(n-1)!种排法,即.N全排列数除以总数N（相当于只有一个



位置旋转而次序不变的所在排列都是一种）；n个元素中取出m个元素作圆形排列共







练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例7.解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有
A
2
4
种,再排后4个位置上的特殊
5
215
元素丙有
A1
种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有
A
A
45
4
A
4
A
5
种
前 排
后 排


一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研


练习题：答案： 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
2
例8. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
5
种方法.再把4个元素(包含一个 复合元素)装入4个不同的盒
24
内有
A
4
种方法，根据分步计数原 理装球的方法共有
C
45
A
4



解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?