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历年高考复习难点解析----- 排列组合专题之染色问题
【引例】
引例1．在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右 图，要求同一块中种
同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有
________种栽种方案．
引例2．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图 ），现要栽
种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不
同的栽 种方法有_____种．（以数字作答）
【分析】首先栽种第1部分，有
C
4
种栽种方法；
然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所
示），
此问题和引例1是同一题型，因此我们有必要对这一题型的解法做一深入探讨。
【剖析】
为了深入探讨这一题型的解法，
（1）让我们首先用m（m≥3）种不同的颜色（可供选择），去涂4个扇形的情形
（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色），如图所示
以1和3（相间）涂色相同与否为分类标准：
①1和3涂同一种颜色，有m种涂法；2有m-1种涂法,4也有m-1种涂法,
∴ 共有
m(m1)(m1)
种涂法。
②1和3涂不同种颜色，有
A
m
种涂法;2有m-2种涂法，4也有m-2种涂法，
2
∴ 共有
A
m
(m2)(m2)
种涂法。
2
1
综 合①和②，共有
m(m1)(m1)
+
A
m
(m2) (m2)
m
4
4m
3
6m
2
3m
种涂法。
（２）下面来分析引例1
以A、C、E（相间）栽种植物情况作为分类标准：
①A、C、E栽种同一种植物，有4种栽法；B、D、F各有3种栽法，
∴ 共有 4×3×3×3＝108 种栽法。
②A、C、E栽种两种植物,有
C
4
C
3
A
2
种栽法（
C
4
是4种植物中选出2
种，
C
3
是A、C、E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物，
A
2
是
选出的2种植物排列），B、D、F共有3×2×2 种栽法（注：若A、C栽种同一种植
物，则B有
3 种栽法，D、F各有2种栽法），
222

共有C
4
C
3
A
2
322432种栽法。

22
2
222
2
③A、C、E栽种3种植物，有
A
4
种栽法；B、D、F各有2种栽法，
3

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3
∴ 共有
A
4
×2×2×2＝192 种栽法。
综合①、②、③，共有 108+432+192=732种栽法。
（３）上述(1)、(2)给出了“设一个圆分成P
1
，P
2
，…，Pn，共n（n为偶数）个扇形，用m
种不同的颜色对这n 个扇形着色（m≥3，n≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着
不同颜色，共有多少种不同的着色 方法”这类问题的一般解题思路：即以相间扇形区
域的涂色情况作为分类标准，再计算其余相间扇形区域 的涂色种数。
（4）那么，“设一个圆分成P
1
，P
2
，…，Pn ，共n（n为奇数）个扇形，用m种不同的颜色
对这n个扇形着色（m≥3，n≥3），每一个扇形着一 种颜色，相邻扇形着不同颜色，共
有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路又如何呢？
【分析】
对扇形P
1
有m种涂色方法，
扇形P
2
有m－1种涂色方法，
扇形P
3
也有m－1种涂色方法，
…………
扇形P
n
也有m－1种涂色方法．
于是，共有
m(m1)n1
种不同的涂色方法。但是，这种涂色方法可能出现P
1
与P
n着色相
n1
同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从
m(m1)中减去这些不符合题意的涂色
方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P
1
与P
n
看作一个扇形，
其涂色方法相当于用m种颜色对n－1（n －1为偶数）个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙）。
而用m种颜色对偶数个扇形的涂色问题，已在上述 的（３）中给出了解题思路。
下面，就让我们把这种解题思路应用于 引例2．
【分析】
①首先栽种第1部分，有
C
4
种栽种方法；
②然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分 （如右图
所示），
对扇形2有3种栽种方法，
扇形3有2种栽种方法，
扇形4也有2种栽种方法，
扇形5也有2种栽种方法，
扇形6也有2种栽种方法．
于是，共有
32
4
种不同的栽种方法。但是，这种栽种方法可能出现区域2与6着色相同的
情形，这是 不符合题意的，因此，答案应从
32
中减去这些不符合题意的栽种方法。这时，
把2 与6看作一个扇形，其涂色方法相当于用3种颜色的花对4个扇形区域栽种（这种转换
思维相当巧妙）。 而用3种颜色的花对4个扇形区域的栽种问题，已在上述的（1）中解决了。
1412
综合① 和②，共有
C
4
[32(C
3
22A
3
11)]4(4818)430120
种栽
1
4
法。 < br>12
（当然此式中的
C
3
22A
3
11
18也可以直接用（1）中的公式算出：即

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m
4
4m
3
6m
2
3m34
43
3
63
2
3318
）.

【拓展】上面，我们分别就n为偶数和奇数给出了“设一个圆分成P
1
，P
2
，…，Pn，共n个
扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m≥3，n≥3） ，每一个扇形着一种颜色，相邻
扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路。
那么，这类问题有没有更为一般的解法（即通法）呢？（n为不小于3的整数）
【分析】设
a
n
为符合要求的对n个扇形的涂色方法。
对扇形P
1
有m种涂色方法，
扇形P
2
有m－1种涂色方法，
扇形P
3
也有m－1种涂色方法，
…………
扇形P
n
也有m－1种涂色方法．
于是，共有
m(m1)n1n1
种不同的涂色方法。但是，
a
n

m(m1)
，因为这种涂色方
n1
法可能出现P
1
与P
n
着 色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从
m(m1)
中
减去这些不符合 题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，
把P
1
与 P
n
看作一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜色对n－1个扇形涂色（这种转换思
维 相当巧妙），不同的涂色方法有
a
n1
种，于是，有
a
n

m(m1)
n1
－
a
n1
（n≥3），①． 显然，
a
3
m(m1)(m2)
．
上述的式①就是数列的递推公式，由此，我们就可以推导出
a
n
的通项公式：
a
n

(m1)
n
(1)
n
(m 1)(n3)
．
至此，我们就找到了“设一个圆分成P
1
，P
2
，…，Pn，共n个扇形，用m种不同的颜色对这
n个扇形着色（m≥3，n≥3），每一个扇 形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不
同的着色方法” 这类问题的通项公式：即
a
n

(m1)
n
(1)
n
(m1)(n 3)
．
【注意】上述问题中的m种颜色是可供选择的，而不是全部都要用上的。
【迁移练习】
1．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），每部分栽< br>种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，现有5种不同颜色的花可供选择，
则不同的栽种方法有 _____种； 若要求5种不同颜色的花全部栽种，则不同
的栽种方法有_____种．（以数字作答）
解析：5种颜色全用有以下几种情况：52相同。53相同。46相同。36相同。24
相同
然后全排列 A55
所以5*A55=600
2．在一个正六边形的6个区域栽种 观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种
植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选 择，则有________种栽种方案；

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若要求四种不同的植物全部栽种，则有________种栽种方案．
【答案】1．1200，600； 2．732，480。