羊肉汤做法-动物符号大全

排列组合常见题型及解题策略
排列组合问题联系实际、生动有趣，但题型多样，思路灵 活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题
方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途 径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策
略.
一．可重复的排列求幂法：
重复排列 问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能
重复的元素看作“客”，能重复的元素看 作“店”，则通过“住店法”可
顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底
数，哪个是指数
【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
【解析】：（1）
3
（2）
4
（3）
4

【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，
第二步 ：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有
7
种不同方 案.
【作业】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A、
8
B、
3
C、
A
8
D、
C
8

38
6
4
33
33
二．相邻问题捆绑法：
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

【例1】
A, B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
A,B
必须相邻且
B
在A
的右边，那么不同的排法种数有
4
【解析】：把
A, B
视为一人，且
B
固定在
A
的右边，则本题相当于4人的全排列，< br>A
4
24
种
【作业】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共 6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有
且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
三．相离问题插空法 ：
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排 列，再把规定
的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
52
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为
A
5
种，再用甲乙去插6个空 位有
A
6
种，不同的排法种数是
52
A
5
A
6
3600
种
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具
1 8

体数字作答）
111
【解析】：
A
7
A
8
A
9
=504

【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序， 要
求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
【例4】 某工程 队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工
程乙完成后才能 进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排
法种数是
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节 目
不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目
单的编排总数为 种.
【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯， 现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，
也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有 多少种？
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模 型可使问
题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
【例8】 停车 场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方
法有多少种？
四．元素分析法（位置分析法）：
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再 排其
它的元素。

【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小 罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事
翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能 从事前两项工作，其余三人均
能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A. 36种 B. 12种 C.
18种 D. 48种
23
【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。
A
3
A
3
36

113
方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法
C
2
C
2
A
3
24
；若小张、小赵都入选，则有
22
选法
A
2
A
3
12
，共有选法36种，选A .
【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
14
【解析】：老师在中间三个位置上选一个有
A
3
种，4名同学在其余4个位置上有A
4
种方法；所以共有
14
A
3
A
4
72
种。.
【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
五．多排问题单排法：
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
2 8

A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
（A）
A
15
A
10

555553155553
（B）
A
15
A
10
A
5
A
3
（C）
A
15
（D）
A
15
A
10
A
5
A
3

（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排
在后排，有多少种不同排法？
6
【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可 看成6个不同的元素排成一排，共
A
6
720
种，
选
C< br>.
五．定序问题缩倍法（等几率法）：
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺 序，可用缩小倍
数的方法.
【例1】.
A,B,C,D,E
五人并排站成一 排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A,B
可以不相邻）那么不 同的排
法种数是（ ）
【解析】：
B
在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，< br>即
1
5
A
5
60
种
2
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？
【解析】：法一：
A
9
法二：
3
1
9
A
9

6
A
6【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原
则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？
六．标号排位问题（不配对问题）
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二 步再
排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

【例1】 将数字1，2，3， 4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与
所填数字均不相同的填 法有（ ）A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
【 解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方
格 ，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选
B
.
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其 中有且只有两个
的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种
D 60种 【解析】 答案：B 【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23
种
【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )
六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
3 8

【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3） 分成每组都是2本的三个组；
（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
（5） 分给5人每人至少1本。
【解析】：（1）
CCC
1
6
2
5
3
3

222
211111
C
6
C4
C
2
C
5
C
5
C
4
C3
C
2
C
1
5
222
CCC
（2）
CCCA
（3） （4） （5）
A
5

64 2
4
3
A
4
A
3
1
6
2
5
3
3
3
3
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡 镇至少一名，则不同的分配方案有 种
（用数字作答）．
211
C
4
C
2
C
1
【解析】：第一步将4名大学生按，2 ，1，1分成三组，其分法有;
2
A
2
3
第二步将分好的三组分配 到3个乡镇，其分法有
A
3
所以满足条件得分配的方案有
211
C< br>4
C
2
C
1
3
A
3
36< br>2
A
2

说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
311
C
5
C
2
C
1
3
A
3
【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有＝60种，若是1, 1,3，
2
A
2
122
C
5
C
4
C
2
3
A
则有
3
＝90种，所以共有150种，选A
2
A
2
【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）
A．70 B．140 C．280 D．840 【解析】：（ A ）
【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有
（ ）
（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种 < br>【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成< br>12
C
5
C
4
3
15A90
三组，一 组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有
15
3
2
A
2
种不同的分配方案，选B.
【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不 同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外
商不同的投资方案有（ ）种 A．16种 B．36种 C．42种
D．60种
【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
4 8

A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同 的分配方案
有多少种？
【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担， 从10人中选出4人承担这三项任务，
不同的选法种数是（ ） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040
种
【例9】.某高校从 某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中
甲同学不到银川， 乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
4
①若甲乙都不参加，则有派遣方案
A
8
种；
3
3
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有
A
8
方 法，所以共有
3A
8
；
3
③若乙参加而甲不参加同理也有
3A
8
种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安
排其余8人到另
4332
22
两个城市有
A
8
种，共有
7A
8
方法.所以共有不同的派遣方法总数为
A
8
3A
8
 3A
8
7A
8
4088
种
【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
七．相同元素的分配问题隔板法：
【例1】：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3 的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编
号数，则有多少种不同的放法？
【解析】： 向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3
份， 每份至少一球，运用隔板法，共有
C
16
120
种。
【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【解析】：10 个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，
可以在10个 小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的
6
分配方案为
C
9
84
种.
2
变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有 种
变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其 中的三盏路灯
关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有
种
【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的 3个中，使得有
一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
八．多面手问题（ 分类法---选定标准）
5 8

【例1】： 有11名外语翻译人员， 其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，
从中找出8人，使他们可以组成翻 译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小
组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张 ？
431413423113
C
5
4
C
4
C
5
C
2
C
4
C
5
4
C< br>2
C
4
C
5
2
C
4
C
5
4
C
4
C
5
C
2
C
1
C
4

变式：. 有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两 名英,日语都精通,从中选出8人,组
成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多 少不同的选派方式?
答案 ：185
九．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）（略）
【例1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三 级台阶。已知相邻楼层之间有16级台
阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数：
1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；
2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；
3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
1
（a）两次三级台阶挨着时：相当 于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有
C
6
6
种
2
（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中， 有
C
6
15
种走法。
4）有3次（不可能）
5）有 4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，
12
同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种
C
5
C
5
15
走法；
6）有5次（不可能）
故总共有：1+6+15+15=37种。
变式：
欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )
（A）34种 （B）55种
十．排数问题（注意数字“0”）
（C）89种 （D）144种 答案： （C）
【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复 数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有
（ ）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
5
【解析】 ：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有
A
5
个，
A
4
A
3
A
3
,A
3
A3
A
3
,A
2
A
3
A
3
,A
3
A
3
个，合并总计300个,选
B
.
6 8

（2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法 （不计顺序）有多少种？
【解析】 ：将
I

1,2,3L,100
分成四个不相交的子集，能被4整除的数集
A

4,8,12,L1 00

；能被
4除余1的数集
B

1,5,9,L97< br>
，能被4除余2的数集
C

2,6,L,98

，能被4除余3的数
集
D

3,7,11,L99

，易 见这四个集合中每一个有25个元素；从
A
中任取两个数符合要；从
B,D
中 各取一个数也符合要求；从
C
中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；
所以符合要求的取法共有
C
25
C
25
C
25
 C
25
种.
2112
十一．染色问题：
涂色问题的常用方法有：（ 1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;

（2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
【例1】 将一个四棱锥
S ABCD
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5
种颜色可供使用， 那么不同的染色方法的总数是_______.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B 、
12
C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有
C
5
A
4
60
种方法。
(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一 种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两
种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有
A
4
种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或
1211
C，而D与C，而 D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有
C
5
A
4
C2
C
2
240
种方法。
5
(3)若恰用五种颜色染色，有
A
5
120
种染色法
2
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.
【解析二】设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有
5436 0
种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；
C与A不 同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有
13227种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是
607420

【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
总体实施分步完成,可分为四大步:
①给S涂色有5种方法;②给A涂色有4种方法(与S不 同色);③给B涂色有3种方法(与A,S不同色);
④给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法; 当C与A同色时,C有一种涂色方法( 与A同
色),D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2×2+3=7种方法.
由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法
[规律小结] 涂色问题的常用方法有： （1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同
色分类讨论;（3）将空间问题平 面化，转化成平面区域涂色问题。
7 8

十三． 几何中的排列组合问题:
xy
22
【例1】 已知直线
1
（< br>a，b
是非零常数）与圆
xy100
有公共点，且公共点的横坐标和纵ab
坐标均为整数，那么这样的直线共有 条
【解析】： 圆上的整点有：
(6,8) ,(8,6),(10,0),(010)
12 个
21

C
12
=66
其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有
C
12
=12
，
其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60 答案:60
8 8