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高中数学重点-排列组合二项定理
学 科：数 学 任课教师： 授课时间： 年 月 日

考试内容：

分类计数原理与分步计数原理．
排列．排列数公式．
组合．组合数公式．组合数的两个性质．
二项式定理．二项展开式的性质．
考试要求：

（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．
（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．
（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．
排列组合二项定理 知识要点

一
、两个原理.

1.
乘法
原理、
加法
原理.
2. 可以有重复元素的排列.
．．．．．．．
从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排， 那么第一、第二……
第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重 复排列数m·m·… m = m
n
..
例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：
m
种）
n
二、排列.
1. ⑪对排列定义的理解. 定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个
．．．．．．
元素的一个排列.
⑫相同排列.
如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.
⑬排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个
m
不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号
A
n
表示.
⑭排列数公式：
A
m
n(n1)(nm1)
n !
(mn,n,mN)

(nm)!
注意：
nn!(n1)!n!
规定0! = 1
mmmm1mm1
mm1
0

A
n
规定
C
n
C
n
A
n
nA
n
n
1

1
A
n
A
m
C
n
A
n
mA
n
1
2. 含有可重元素的排列问题. < br>．．．．．．
对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a
1
，a
2
,…...a
n
其中限重复数为n
1
、n
2
……n
k
，
且n = n
1
+n
2
+……n
k
, 则S的排列个数等于
n
n!
.
n
1
!n2
!...n
k
!
例如：已知数字3、2、2，求其排列个数
n 
(12)!
3
又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数
n 
3!
1
.
3!
1!2!

三、组合.
1. ⑪组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个
组合.
m
⑫组合数公式：
C
m

A
n

n(n1)

(nm 1)
C
m

nn
m
A
m
m!
n!

m!(nm)!
nmm1mm
⑬两个公式：①
C
m
n
C
n
;
②
C
n
C
n
C
n1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是
一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n- m个元素的唯一的一个组合.
（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同 小球其不同选法，分二类，一类是含
1m1m
红球选法有
C
m
n
C
1
1
C
n
一类是不含红球的选法有
C
n
）
②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某 一元素，只存在取与不
1
取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个 元素，所以有C
m
n
，如果不取这一元
m1mm
素，则需从剩余 n个元素中取出m个元素，所以共有C
m
n
种，依分类原理有
C
n< br>C
n
C
n1
.
⑭排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.
⑮①几个常用组合数公式
012n

C
n
C
n
C
n

n
n
2
024135
C< br>n
C
n
C
n


C
n
C
n
C
n


2
n1
mmmm 1
C
m
n
C
m1
C
m2
C
mn
C
mn1
kCnC
k
n
k 1
n1

11
1
C
k
C
k
n

n1
k1n1
②常用的证明组合等式方法例.
i. 裂项求和法. 如：
123n1n111


1
）
（利用
2!3!4!(n1)!(n1)!n!(n1)!n!
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
m1m3333
v. 递推法（即用
C
m
C
n
C
n
4
nC
n
C
n1
递推）如：
C
3
C
4
C
5

1
.
02122n
vi. 构造二项式. 如：
(C
n

)(C
n
)(C< br>n
n
)C
2n
证明：这里构造二项式
(x1)
n
(1x)
n
(1x)
2n
其中
x
n
的系数，左边为
01n12n2n00212n2
，而右边
C
2n

C
n
C
n
n
C
n
C
n
C
n
C
n


C
n
C
n(C
n
)(C
n
)

(C
n
)
n
四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：
①直接法. ②排除法.
③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素 来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”
的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地 ，n个不同元素排成一列，要求其中某
m(mn)
个元
m1mnm1
m
素必相邻的排列有
A
n
nm1
A
m
个. 其中
A
nm1
是一个“整体排列”，而
A
m
则是“局部 排列”.
2
2
又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为< br>A
n
.

A
n
1
1
A
2

12
. ②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有
A
n
n1
A
2
21
. ③有n件不同商品，若其中有二件要排在一 起有
A
n
A
n
n1
注：①③区别在于①是确定的座位， 有
A
2
种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确
2< br>定性.
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法 主要解决“元素不相
邻问题”.
mm
例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相 邻，不同的排法种数为多少？
A
n
（插空法），当n – m+1≥m,
nm
A
nm1
即m≤
n1
时有意义.
2
⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的 特殊
性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题 原则.
⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有
A
n
n
种，
m(mn)
个
元素的全排列有
A< br>m
m
种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到 去
调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有
A
n
n
A
m
m
种排列方法.
例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？
m
解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！ m！；解法二：（比例分配法）
A
n
n
A
m
.
n n
C
kn
C
(k1)
n
n
C
n⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有
A
k
k
.
C
2
例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有
4
3
（平均分组就用不着管组与
2!
组之间的顺序问题了）又例如将20 0名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？
（
P
82< br>C
18
C
2
C
10
20
2!
）
注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排 法？
mmm
有
A
n
，当n – m+1 ≥m, 即m≤
n1
时有意义.
nm
A
nm1
A
m
2
⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.
例如：
x
1x
2
x
3
x
4
12
的正整数解的组数 就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形
成11个空隙中任选三个插入3块摸板 ，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
显然
x
1
x
2
x< br>3
x
4
12
，故（
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解
(y
1
,y
2
,y
3
,y
4
)
， 对应着惟一的一
种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插
3
隔板的方法数
C
11
.
注意： 若为非负数解的x个数，即用
a
1
,a
2
,...a
n中
a
i
等于
x
i
1
，有
x
1
x
2
x
3
...x
n
Aa
1
1a
2
1...a
n
1A
，进而转
n 1
化为求a的正整数解的个数为
C
An
.
x
1
x
2
x
3
x
4