冷门暴利行业-虚拟内存不足怎么办

一 排列组合不同问题解法
1．相邻问题并组法
题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．
【例1】A、B、C、D 、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右
边，那么不同的排法种数有[ ]
A．60种 B．48种 C．36种 D．24种
2．相离问题插空法
元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把 规定相离的
几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．
【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是
[ ]
A．1440 B．3600
C．4820 D．4800
3．定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．
【例3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可
不相邻)，那么不同的排法种数有[ ]
A．24种 B．60种
C．90种 D．120种
4．标号排位问题分步法
把元素排到指定 号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元
素，如此继续下去，依次即可完成．
【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，
则每 个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[ ]
A．6种 B．9种
C．11种 D．23种
5．有序分配问题逐分法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．
【例5】有甲、乙、丙三 项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中
选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[ ]
A．1260种 B．2025种
C．2520种 D．5040种
四名优等 生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是
_________.
6．多元问题分类法
元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，
最后总计．
【例6】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字
小于十位数字的共有[ ]
A．210个 B．300个
C．464个 D．600个
【例7】从1，2，3 ，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整
除，这两个数的取法(不计顺序)共有 多少种？
【例8】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不< br>计顺序)有多少？
7．交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集 合中求元素个数公式n(A∪B)＝n(A)
＋n(B)－n(A∩B)
【例 9】从6名运 动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙

不跑第四棒，共有多少 种不同参赛方法？
8．定位问题优先法
某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．
【例10】 1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同
的排法有________种．
9．多排问题单排法
把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．
【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ]
10．“至少”问题间接法
关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．
【例1 3】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电
视机各一台，则不同取法共有 [ ]
A．140种 B．80种
C．70种 D．35种
11．选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．
【例14】 四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放
法共有________种
12．部分合条件问题排除法
在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．
【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有[ ]
13 平均分组问题:
例一 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）分为三份，每份2本；
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。
例二 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置.
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边.
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起.
(4)全体排成一行，男、女各不相邻.
(5)全体排成一行，男生不能排在一起.
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.
(7)排成前后二排，前排3人，后排4人.
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.
14 相同元素分配——档板分隔法
1 把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书
的本 数不小于其编号数，试求不同分法的种数
2 20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个 盒子中，要求每个盒内的球数不小
于它的编号数，求不同的放法种数.
15 对等法:
1.期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?
2.有10个人排在一排照相，问甲在已的右边的方法有几种？
16 多面手问题（ 分类法 ---选定标准）
有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、
日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日
语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？

二 习题练习
1 二次函数y=ax
2
+bx+c的系数a、b、c，在集合{－3， －2，－1，0，1，2，3，4}中
选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少 条？
2 甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，
则可排出不同的值班表数为多少？
3 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
4 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工
程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6
项工程的不同排法种数是
5 马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
6 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
7 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插
法？
高☆
8 已知直线
xy
1
（
a，b
是非 零常数）与圆
x
2
y
2
100
有公共点，且公共点的横
ab
坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条
9 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？
（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？
三 难点突破
1 走楼梯问题
例1：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走
法共有( )
（A）34种 （B）55种 （C）89种 （D）144
(
分类法，递推法
)
a
n
a
n1
a
n2


2 更列问题
把
n(nN

)
个元素排成一列，所有 元素各有一个不能占据的指定位置，且不
同元素不能占据的指定位置也不同，我们把满足这种条件的一个 排列叫做这些元
素的一个更列。
例2：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不
同的站队方式共有( )
（A）60种 （B）44种 （C）36种 （D）24种
a
n< br>(n1)(a
n2
a
n1
)
，显然，
a< br>1
0,a
2
1
，再由递推关系有
a
3
 2,a
4
9
，
a
5
44

例 同 室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出
的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配 方式共有( ) (全国高考试题)
（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
3 染色问题
例4：用4种不同颜色涂四边形的4个顶点，要求每点染一种 颜色，相邻的

顶点染不同的颜色，则不同的染色方法有( )
（A）84种 （B）72种 （C）48种 （D）24种
我们先把这个题目推广：用
m
种不同颜色给
n
边形
A
1
A
2
A< br>n
的
n
个顶点染色(其
中
m3,n3
，且
m
为常数)，每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜色，不
同的染色方法有多少种？设不同 的染色方法有
a
n
种，现在我们来通过合理分布，
恰当分类找出递推关系：
第一步：染
A
1
，有
m
种染法；
第二步：染
A
2
，有
m1
种染法；
同理，染
A
3
,,A
n1
均有
m1
种染法，最后染
A
n
，如果仅考虑
A
n
与
A
n1
不同色，则仍有
m1
种染法，相乘得
m(m1)
n1
种染法， 但要去掉
A
n
与
A
1
同色的染
法数，此时可将A
n
与
A
1
合并看成一个点，得出需要排除的染法数为
a
n1
，所以
3
有
a
n
m(m1)
n1
a
n1
，显然，
a
3
A
m
。
例 1：一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用
同一颜色，现有四 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。
例 2：某城市在中心广场建造一个花圃 ，花圃分成6个部分(如图2)，现要
栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样 颜色的花，不
同的栽种方法共有 种。 (2003年天津理科高考试题)



5

5

1
1
6
4

3
3
2

4

图2


图1
4 传球问题
例7：甲、乙、丙、丁四 人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁中的任一人，
第二次由拿球者再传给其他人中任一人，这样共传了 四次，则第四次球仍传回到
甲的方法共有( )
（A）21种 （B）42 （C）24 （D）27
a
n
(m1)
n1
a
n1

1 解法1：分类法：
第一类：没有一步两级，则只有一种走法；
第二类：恰有一步是一步两级 ，则走完10级要走9步，9步中选一
1
9
种可能走法； 步是一步两级的，有C
9
第三类：恰有两步是一步两级，则走完10级要走8步，8步中选两
步是一步 两级的，有
C
8
2
28
种可能走法；
1345
C
8
2
C
7
C
6
C
5
依此类推，共有
1C
9
=89，故选(C)。
解法2：递推法：
设走
n
级有
a
n
种走法，这些走法可按第一步来分类， < br>第一类：第一步是一步一级，则余下的
n1
级有
a
n1
种 走法；
第二类：第一步是一步两级，则余下的
n2
级有
a
n2
种走法，
所以
a
n
a
n1
a
n 2
，又易得
a
1
1,a
2
2
，由递推可得a
10
89
，故选(C)。
2 解：首先我们把人数推广到
n
个人，即
n
个人排成一列，重新站队时，各人都

不站在原来 的位置上。设满足这样的站队方式有
a
n
种，现在我们来通过合理分
步，恰当 分类找出递推关系：
第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有
n1
种站法。
第二步：假设第一 个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：
第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余 下的
n2
个人有
a
n2
种站队方式；
第二类，第二个人 不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三
个人不站在第三个位置，第四个人不站在第 四个位置，……，第
n
个人不站在第
n
个位置，所以有
a
n 1
种站队方式。
由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列
{a
n
}
的递推关系式：
a
n
(n1)(a
n2
a
n1
)
，显然，
a
1
0,a
2
1
，再由递推关系有
a
3
2,a
4
9
，
a
5
44
，故应选(B)
3 解：我们先把这个题目推广：用
m
种不同颜色给
n
边形
A
1
A
2
A
n
的
n
个顶点
染色(其中
m3,n3
，且
m
为常数)，每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜
色，不同的染色方法有多少种？
设不同的染色方法有
a
n
种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推 关
系：
第一步：染
A
1
，有
m
种染法；
第二步：染
A
2
，有
m1
种染法；
同理， 染
A
3
,,A
n1
均有
m1
种染法，最后染
A
n
，如果仅考虑
A
n
与
A
n1
不同
色，则仍有
m1
种染法，相乘得
m(m1)
n1
种染法，但要去掉
A
n
与
A
1
同色的染
法数，此 时可将
A
n
与
A
1
合并看成一个点，得出需要排除的染法数 为
a
n1
，所以
3
有
a
n
m(m1 )
n1
a
n1
，显然，
a
3
A
m
。
又本题中，颜色数
m4
，所以递推关系为：
a
n< br>43
n1
a
n1
，又
3
a
3A
4
24
，所以
a
4
43
3
a
3
84
（种），故选（A）。
4 解：先把这个题目进行推广：
m(mN

)
个人相互进行
n(nN

)次传球，
由甲先传，第一次甲传给其他
m1
个人中的任一人，第二次由拿球者再 传给其
他人中任一人，这样经过
n
次传球，最后球仍回到甲手中的传球方法有多少种？
(这里
m
为常数)
设不同的传球方法共有
a
n
种 ，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递
推关系：
第一步进行第一次传球：甲传给其他人，有
m1
种传球方法；
第二步进行第二次传球：拿球者把球传给其他人，仍有
m1
种传球方法；
同理，第三次、第四次、……、第
n1
次传球都有
m1
种传球方法，最后
进行第
n
次传球，由于只能传给甲，故只有一次传球方法，相乘得
(m1)
n1
种传
球方法，但要注意第
n1
次传球不能传给甲，否则就不 存在第
n
次传球，因此要
去掉第
n1
次传球，球恰好传给甲的传球 方法数，这就是由甲先传，经过
n1
次
传球后球又回到甲手中的传球方法，显然，这 里有
a
n1
种传球方法，所以有递推
关系：
a
n
(m1)
n1
a
n1
，又易得，
a
1
 0
。
而在本题中，
m4
，所以
a
n
3
n1
a
n1
，所以由递推可得，
a
2
3a1
3
，
a
3
3
2
a
2
6,a
4
3
3
a
3
21
，故本题应选（ A）