节目单制作-空间背景音乐怎么添加

解排列组合问题方法练习及答案（二）

30、
（直接法：特殊元素优先法和特殊位 置法）
用
1
，
2
，
3
，
4
，5
，
6
这
6
个数字组成无重复的四位数，
试求满足下列 条件的四位数各有多少个？①数字
1
不排在个位和千位；②数字
1
不在个位， 数字
6
不在千位。
22
（提示：①个位和千位有
5
个数字 可供选择
A
5
，其余两个位置有
4
个可供选择
A
4
，由分步计数乘法原理得
112
3
22
，个位有
A
4
，余下位有
A
4
，
60
；
1
不在千位 时，千位有
A
4
A
5
A
4
240
。②当
1
在千位时，余下三位有
A
5
112
共有
A
4
A
4
A
4
192
。总共有
192602 52
）

31、
（间接法）
有五张卡片， 它的正反面分别写
0
与
1
，
2
与
3
，4
与
5
，
6
与
7
，
8
与9
，将它们任意三张并排
放在一起组成一个三位数，共可组成多少个不同的三位数？
432
（提示：上例中②可用间接法
A
6
2A
5
A
4
252
。此例正面求解需考虑
0
与
1用与不用，且用又分用
0
还
3
是用
1
，较复杂，可间接 计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数
C
5
2
3
A
3
3
个，其中
0
在百位的有
333222
22
个是 不合题意的,故共可组成不同的三位数
C
5
2A
3
C
4
2A
2
432
个）
C
4
2
2
A
2
32、
（插空法）
在含
8
个节目的节目单中 ，临时插入
2
个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少种插入方法？
11
（提示：原
8
个节目有
9
个空档，插入
1
个后，空档变为< br>10
个，共有
A
9
）
A
10
90种插入方法。
33、
（捆绑法）
有
4
名男生和
3
名女生坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
44
（提示：先将男生捆绑在 一起看成一个大元素与女生全排列，有
A
4
种排法，而男生之间又有
A
4
种排法，共
44
有：
A
4
A
4
5 76
）
23
练习
1
、 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中 ，若使每个盒子不空，则不同的放法有
C
4
A
3
36
种。
练习
2
、某市植物园要在
30
天内接待
20
所学校 的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数
119
较多，要安排连续参观2
天，其余只参观
1
天，则植物园
30
天内不同的安排方法有< br>C
29
种。
A
28
1
（连续参观
2
天，需先把
30
天中的连续
2
天捆绑看成
1
天 作为一个整体来选，有
C
29
；再就是
19
所学校选
28< br>天进行排列）
34、
（隔板法）
某校准备组建一支
12
人篮 球队，这
12
人来自
8
个班的学生，每班至少
1
人，名额分 配方案共 种。
（提示：
12
个名额分配给
8
个班，每班 至少
1
个名额，可在
12
个名额的
11
个空当中插入
7
块板，一种插法
7
对应一种名额的分配方式，共有
C
11
）
330
种。
练习
1
、

abcd< br>
有多少项？
1
（解析
1
：当项中只有一个字母时，有C
4
种，即
a
、
b
、
c
、
d
，而指数和为
15
，即将
15
分一组给
1
个字15
10
母，由隔板法一分为
1
，有
C
4
C< br>14
种；当项中有
2
个字母时，有
C
4
种,而指数和 为
15
，即将
15
分二组给
2
个字
3
21
母，由隔板法一分为
2
，有
C
4
种，而指数和为
1 5
，即将
15
分二组给
3
个字
C
14
种； 当项中有
3
个字母时，有
C
4
2
32
母，由隔板法 一分为
3
，有
C
4
C
14
种；当项中有
4
个字母时，有
C
4
种，而指数和为
15
，即将
15
分二组给
4
个字
10213243
43
C
14C
4
C
14
C
4
C
14
C4
C
14
816
种。母，由隔板法一分为
4
，有C
4
）
C
14
种。共有
C
4
4（解析
2
：用
15
个相同的小球代表幂指数
15
, 用
4
个标有
x
1
、
x
2
、、
x4
的
4
个不同的盒子表示数
x
1
、
x
2
、、
x
4
，将
15
个相同的小球放入
4
个不同的盒子中，把标有
x
i

i1，2，3，4

的每 个盒子得到的小球数
2，3，4，kN

，记作
x
i
的< br>k
i
次方。这样，将
15
个相同的小球放入
4
个不同 的盒子中的每一种放法，就
k
i

i1，
3
对应着展开式 中的每一项。由隔板法知，这样的放法共有
C
18
）
816
种。
练习
2
、有
20
个不加区别的小球放入编号为
1
，
2
，
3
的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少于编号数，
2有多少种不同的方法？（
20

123

2

隔板

=16
）（
C
16
120
） < br>练习
3
、不定方程
x
1
x
2
x
3

不定方程
x
1
x
2
x
3

49
x
50
100
中不同的正整数解有（
1005 049

隔板

=99
）（
C
99
）组 ；
49
x
50
100
中不同的非负整数解有（
100 49

隔板

=149
）（
C
149
）组 。
排列组合练习及答案（二） 共4页

1

3 5、
（缩倍法）
把
6
本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
3
（提示：分出三堆书

a
1
，a
2
,

a
3
，a
4

，
< br>a
5
，a
6

,由于顺序不同可以有
A
3< br>6
种，而这
6
种分法只算一
22
C
6
2< br>C
4
C
2
种分堆方式，所以
6
本不同的书平均分成三 堆的方式有）
15
种。
3
A
3
22
C
6
2
C
4
C
2
练习
1
、
6
本书分三份，
2
份
1
本，
1
份
4
本，则 有 不同分法？（
15
种）
3
A
3
练习
2
、
某年级
6
个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学教师任教，每人教两 个班，则不同的分派方法的
222
C
6
C
4
C
2< br>3
种数有 。（
A
3
90
种）
3
A
3
36、
（合并单元格法）
如图，一个地区分为
5
个行 政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，
现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共 有 种（以数字作答）。
（提示：①当
2
、
4
颜色相同且
3
、
5
颜色不同时，将
2
、
4
合并成 < br>4
一个单元格，此时不同的着色方法相当于
4
个元素的全排列数
A4
；②当
4
种着色法。
2
、
4
颜色不同 且
3
、
5
颜色相同时，与①类似同理可得
A
4
4
③当
2
、
4
与
3
、
5
分别同色时 ，将
2
、
4
，
3
、
5
分别合并，这样仅有
43
3
三个单元格，从
4
种颜色中选
3
种来着色， 有
A
4
种方法。综上，不同着色方法共有
2A
4
A
4
482472
种。）
练习
1
、
将
3< br>种作物种植在如图的
5
块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，不同的
种植方法共 种（以数字作答）。 （
72
）
练习
2
、
某城市中心广场建造一个花圃，花圃
6
分为个部分（如图），现要栽种
4
种颜色的花，每部分栽种一种
3
2
1 5
且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种（以数字作答）。
（提示：①当
6
、
4
颜色相同，
5
有2
种颜色可选，
2
、
3
颜色一定相异，有
C
4
C
3
C
2
A
2
；②当
6
、
4
颜色
不同，
5
只有一种颜色可选，若
2
与
4< br>同色，则
3
有二种颜色可选；若
2
与
4
不同色，则< br>3
只有一种颜色可选。
1111112111
有
C
4
）
C
3
C
2

21

。综上，不同栽 种方法共有
C
4
C
3
C
2
A
2
 C
4
C
3
C
2

21

12 0
种。
1112
练习
3
、
如图，用
5
种不 同的颜色分别为
ABCDE
五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以
11111
反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数有 种。(
C
5
C
4
C
3
C
3
C
3
540
)
练习
4
、
如图，四个区域坐定
4
个单位的人， 有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，
11111
且相邻两区域的颜 色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法有
C
4
C
3
3C
4
C
3
C
2
84
种。






练习
5
、
如图，将一 四棱锥的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，
1111121 1
则不同的染色方法共 种。（
C
5
A
4
C
3
C
3
C
5
A
4
C
2
C2
420
）
37、
（递推法）
一楼梯共
10
级，规定每次只能上一级或两级，要 上这
10
级楼梯，共有多少种不同的走法？

（提示：设上
n
级楼梯的走法为
a
n
种，易知
a
1
1
，
a
2
2
。当
n2
时，上
n
级楼梯走法可分两 类：第一
a
n
a
n1
a
n2
，类是最后一 步跨一级，有
a
n1
种走法，第二类是最后一步跨两级，有
a
n 2
种走法。由加法原理知：
据此，
a
3
a
1
a
2
3
，
a
4
a
2
a
35
，
a
5
8
，
a
6
13
，
a
7
21
，
a
8
34
，
a
9
55
，
a
10
89
。）
练习、
一楼梯共
10
个台阶
7
步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台 阶，一共有多少种不同的走法？
（提示：要
7
步登完
10
个台阶， 只有其中
3
步每步登两个台阶，还有
4
步每步登一个台阶，转化为
4
个相同
3
的白球和
3
个相同的黑球排成一排的问题，故有
C
7
35
。）
38、（
几何计数问题
）
练习
1
、
四面体的一个顶点为
A
,从其它顶点与各棱中点 取
3
个点，使它们和点
A
在同一平面上，不同的取法
排列组合练习及答案（二） 共4页

2

3
有 种。（
3C
5
333
）
练习
2
、
四面体的棱中点和顶点共
10
个点，①从中任取
3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？②以这
10
个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥 ？
3333
（提示：①
C
10
(4C
6
4 6)(3C
4
3)(6C
4
66)29
；
4 444
②
C
10
4C
6
6C
4
3C
4


64436

141114255< br>）

39、
（先选后排法）
有甲、乙、丙三项任务，甲需
2
人承担，乙、丙各需
1
人承担，从
10
人中选派
4
人承担这
三项任务，不同的选派方法有（ ）

A
、
1260
种
B
、
2025
种
C
、
2520
种
D
、
5054
种
211
（提示：
C
10
C
8
C
7
2520
种）
40、
（转换法）
某人连续射击
8
次有四 次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结
果有多少种？
2（提示：问题转化为四个相同黑球与四个相同白球，其中有三个黑球相邻的排列问题。
A
5
20
）
练习
1
、
现有
5
个人参加秋 游，一共带了
10
瓶饮料，每人至少带
1
瓶，一共有多少种不同携带饮料的方 法？
5
（提示：问题转化为
5
个相同白球不相邻地插入已经排好的
10
个相同黑球间的
9
个空隙问题。
C
9
126
）
练习
2
、
从
1
，
2
，
3，，
1000
个自然数中任取
10
个自然数，其中任意二个都不连续的自 然数，问有多少种
不同的取法？
（提示：问题转化为
10
个相同黑球与990
个相同白球排成一排，其中黑球不相邻的排列问题。有
C
991
种 。
10
如果只是要求
10
个不连续，但允许其中二个或三个可以相连等，那 么不同的取法有
C
1000
991
种）
10
练习
3
、
某城市街道呈棋盘形，南北向大街
5
条，东西向大街
4
条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的
走法有多少种？
3
（提示：必须经过 四横三纵。问题转化为
3
个相同白球与
4
个相同黑球的排列问题。有
C
7
35
种）
练习
4
、
一楼梯共
18
级台阶
12
步登完，可一步登一级台阶也可一步登两级台阶，一共有多少种不同的走法 ？
（提示：
12
步登完，只能
6
个一步登一级台阶，
6< br>个一步登两级台阶，问题转化为
6
个相同黑球与
6
个相
6同白球的排列问题。有
C
12
924
种）
练习
5< br>、
求

abc

的展开式的项数。
（提示：展 开式中的项为
abc
,且





1 0
，问题转化为
2
个相同黑球与
10
个相同白球的排列问题。
2
有
C
12
66
种）
10

练 习
6
、
亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有
5
名队员，按事先排好的顺序 参加擂台赛，双方先由
1
号队员比赛，负
者淘汰，胜者再与负方
2
号 队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程。那么可能出现
的比赛过程共有多少 种？
（提示：设亚洲队队员为
a
1
,
a
2
，,
a
5
,欧洲队队员为
b
1
，
b
2
，，
b
5
，下标表示事先排列的出场顺
序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比 赛过程转化为
10
个字母互相穿插的一个排列，当然最后获胜队中可能有
5
没 有上场的队员。比赛过程可表示为
5
个相同白球和
5
个相同黑球排列问题，总 数为
C
10
252
种）
41、
（转化命题法）
圆周上共有
15
个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？ < br>（提示：两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦四端点为顶点的圆内接四边形，问题化为圆周
4
上
15
个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些弦在圆内的交点最 多有
C
15
1365
个）
42、
（概率法）
一 天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之
前，那么该天 的课程表有多少种排法？
（提示：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前 的概率相等，均为
求的排法种数就是所有排法的
1
，故所
2
116
，即
A
6
360
种）
22
43、
（除序法）
用
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
这七个数字组成没有重复数字的七位数中，① 若偶数
2
，
4
，
6
次
排列组合练习及答案（二） 共4页

3

序 一定，有多少个？②若偶数
2
，
4
，
6
次序一定，奇数1
，
3
，
5
，
7
次序也一定，有多少个？ < br>77
A
7
A
7
（提示：①
3
840
；②
34
35
）
A
3
A
3
A
4
44、
（错位排列法）
同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张 别人送出的卡片，则不同的分
配方法有 种。
（提示：公式①
a
n


n1

a
n1
a
n2< br>
，
a
4
3

a
3
a
2

9
种 即三人有两种错排，两人有一种错排）
练习、
有五 位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他
们的妻 子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？
（提示：公式②
a
n
n![
1111111

(1)
n
]

n2

，
a5
5![]60205144
）
2!3!n!


排列组合练习及答案（二） 共4页

2!3!4!5!
4