车辆牌照-国防科大三号院

精品文档
排列、组合、二项式定理与概率测试题（理）
一、选择题(本大题 共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．) < br>1、
如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”的外边是由四个色块构成，可 以
用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线
段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有 ( )
A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、 导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲
乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有（ ）
A．96种 B．180种 C．240种 D．280种
3、五种不同的商品在货架上排成一排，其中a、b两种必须排在一起，而c、d两种不 能
排在一起，则 不同的选排方法共有（ ）
A．12种 B．20种 C．24种 D．48种
4、
编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编 号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只
有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）
A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种
5、
设a、b、m为整数（m>0),若a和b被m除得的余数相同，则称 a和b对模m同余.记为a≡b(mod
2
m)。已知a=1+C
1
2+C
3
2
2
+…+C
20
2
19
，b≡a(m od 10)，则b的值可以是（ ）
20
+C
20
·
20
·
20
·
A.2015 B.2011 C.2008 D.2006
6、在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场)，已 知
胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．积分多的前两名可出线(积分相等则要比
净胜 球数或进球总数)．赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为（ ）
A．22种 B．23种 C．24种 D．25种
7、
令
a
n
为(1x)
A．
n1
的 展开式中含
x
B．
n1
项的系数，则数列
{
C．
1
}
的前n项和为
a
n
D．
（ ）
n(n3)

2
n(n1)

2
n

n1
2n

n1
8、
若
(x1)
5
a
0
a
1
(x1)a
2
(x1)
2
...a
5
(x1)
5
，则
a
0
= （ ）
A．32 B．1 C．-1 D．-32
精品文档

精品文档
2

9、二项式

3x
2

3

(nN
*< br>)
展开式中含有常数项，则
n
的最小取值是 （ ）
x

A 5 B 6 C 7 D 8
n
10、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取 法共有
（ ）
A．150种 B．147种 C．144种 D．141种
11、
两位到北京旅游的外国游客要与2008奥运会的吉祥物福娃（5个）合 影留念，要求排成
一排，两位游客相邻且不排在两端，则不同的排法共有 （ ）
A．1440 B．960 C．720 D．480
12、
若x∈A则
111∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0，，，1，2，3，4}
x32
的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A．15 B．16 C．2
8
D．2
5

题号
1
答案

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13．四封信投入3个不同的信箱，其不同的投信方法有_________种．
14、在
(x
2
1)(x2)
7
的展开式中x
3
的系数是 ．

3
0n
1
15、
已知数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
2
n1
1
，则
a
1
C
n
+
a
2
C
n
+
a
3
C
n

+
an1
C
n
=

16、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，
n!!=n·( n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1 ．
现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=2< br>1003
·1003!；③2006!!的个位数是
0；④2005!!的个位数是5． 正确的命题是________．

三、解答题(本大题共6小题，前5小题每小题12分， 最后1小题14分，共74分．解答
应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
精品文档

精品文档
17、某学习小组有8个同学，从男生中选2人 ，女生中选1人参加数学、物理、化学三种
竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法．那 么该小组中男、女同学各有多
少人？



18、设m，n∈Z< br>＋
，m、n≥1，f(x)=(1＋x)
m
＋(1＋x)
n
的 展开式中，x的系数为19．
（1）求f(x)展开式中x
2
的系数的最值； （2）对于使f(x)中x
2
的系数取最小值时的m、n的值，求x
7
的 系数．





19、7位同学站成一排．问：
(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?
(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?
(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?
(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种?



20、
已知
(x
1
2x
)
n
的展开式中前三项的系数成等差数列．
（Ⅰ）求n的值； （Ⅱ）求展开式中系数最大的项．
精品文档

精品文档








21、
由0，1，2，3，4，5这六个数字。

（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？

（3）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？







22、规定=x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R ，m为正整数，且=1，这是排列数(n，
m是正整数，且m≤n)的一种推广．
（1）求的值；
精品文档

精品文档
（2）排列数的两个性质 ：①
数)是否都能推广到
，②．(其中m，n是正整
(x∈R，m是正整数)的情形？ 若能推广，写出推广的形式并给予证
明；若不能，则说明理由．







参考答案
1、C 2、C 3、C 4、B 5、 B 6、C 7、 D 8、 A 9、 C 10、D
11、B
12、
A 具有伙伴关系的元素组有－1，1，
11
、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三
23
1234
组、四组均可组成非空伙 伴关系集合，个数为C
4
+ C
4
+ C
4
+ C
4
=15, 选A．

13、34 14、1008 15、
2
n
3
n
16、①②③④ 点拨：(2005!!)×(2006!!)
17、解： 设男生有x人，则女生有8－x人，依题意，，
∴(8－x)·6=180，x
3
－9x
2
＋8x＋60=0，
x
3
－5x
2
－(4x
2
－20x)－(12x－60)= 0， (x－5)(x
2
－4x－12)=0，
∴x
1
=5，x
2
=6，x
3
=－2(舍去)． ∴男生5人，女生3人；或男生6人，女生2人．
18、解：
精品文档
=19，即m＋n=19．∴m=19－n

精品文档
(1)设x
2
的系数为T==n
2
－19n＋171 =(n－)
2
＋171－．
∵n∈Z
＋
，n≥1， ∴当n= 1或n=18时，T
max
=153，当n=9或10时，T
min
=81；
(2)对于使f(x)中x
2
的系数取最小值时的m、n的值，
即f(x)=(1＋x)
9
＋(1＋x)
10
从而x
7
的系数为．
19、 (1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一 个元素与其余的5个元素(同学)
一起进行全排列有
这样的排法一共有
种方法；再将甲 、乙两个同学“松绑”进行排列有
种．
种方法．所以
(2)方法同上，一共有种．
(3)将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6 个元素，因为丙不
能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有< br>方法；将剩下的4个元素进行全排列有
排列有
种
种方法；最后将甲、乙两个同学 “松绑”进行
种方法． 种方法．所以这样的排法一共有
(4)将甲、乙、丙三个同学“捆 绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一
起看成一个元素时．一共有2个元素，∴一共有排法 种数： (种)．
11
2
2
20、
解：（Ⅰ）由题设，得
C
0
C2C
1
nnn
， 即
n9n80
，解得n＝8，n＝1
42
（舍去）．
1
1
1
r1

1
r
≥，
C≥C，< br>


2
r
8
2
r1
8

8r2(r1)
（Ⅱ）设第r＋1的系数最大，则

即

解得r＝2或r
11
r1

C
r
≥

1
≥
1
.
C
8
.
8
rr1


22

2r91
＝3．所以系数最大的项 为
T
3
7x
，
T
4
7x
．
1331123121
21、
解：（1）
A
5
A
5
300
(2)
A
5
A
2
A
4
A< br>4
156
(3)
A
5
A
4
A
4
A
3
1112

5
9
2
精品文档

精品文档
22、(1) =(－15)(－16)(－17)=－4080； (2)性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①，②(x∈R，m∈N
＋
)
事实上，在①中，当m=1时，左边==x，右边==x，等式成立；
当m≥2时，左边=x(x－1)(x－2)…(x－m＋1) =x[(x－1)(x－2)…((x－1)－(m－1)＋
1)]= 因此，①成立； 在②中，m=1时，左边==
右边，等式成立； 当m≥2时，左边
=x(x－1)(x－2)…(x－m＋1)＋mx(x－1)(x－2)…(x－m＋2)
=x(x－1)(x－2)…(x－m＋2)[(x－m＋1)＋m] =(x＋1)x(x－1)(x－2)…[(x＋1)－m＋1]
==右边， 因此②(x∈R，m∈N
＋
)成立．
精品文档