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排列组合问题的求解策略
长阳职业教育中心张庭松杨子敬
[主题词]
排列组合求解
[摘要]
计数问题是现实生活中最普遍排列与组合 问题与现实生活密切相关，有关这类
问题的解答的基础是两个计数原理，但是在实际求解过程中必须讲究 解题策略和方
法技巧。
解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合 问题，
或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理
和公式 进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的
问题迎刃而解。下面介绍几种 常用的解题方法和策略。
一、合理分类与准确分步法
解含有约束条件的排列组合问题，应按 元素性质进行分类，按事情发生的连续过程
分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不 重不漏。
例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（）
A．120种B．96种C．78种D．72种
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论： 1）若甲在末尾，剩下四人可自由
11
A
3
种排法，由分类计数原
排 ，有
A
4
4
种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有
A
3
3
A
3
11
A
3

78
种，选 C。
理，排法共有
A
4
4
A
3
3
A< br>3
解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。
例2、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有
多少种？

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分析：因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）选：从四个球中选 2个有
C
4
2
种，
从4个盒中选3个盒有
C
43
种；2）排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3
个元素，对选出的3盒作全排 列有
A
3
3
种，故所求放法有
C
4
2
C< br>4
3
A
3
3
144
种。
二、元素分析与位置分析法
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元 素和位置，
再考虑其它元素和位置。
例3、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共
有（）。
A． 24个B。30个C。40个D。60个
[分析]由于该三位数为偶数，故末尾数字必 为偶数，又因为0不能排首位，故0
就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在 末尾分两类：1）
111
A
3
A
3
个，由分数计数原理，共 有偶
0排末尾时，有
A
4
2
个，2）0不排在末尾时，则有
A
2
111
A
3
A
3
=30个，选B。
数
A
4
2
A
2
例4、马路上有8只路灯，为节约用电又不 影响正常的照明，可把其中的三只灯
关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那 么满足条件的
关灯方法共有多少种？
分析：表面上看关掉第1只灯的方法有6种，关第二只， 第三只时需分类讨论，
十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯
与关灯的排列，于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题。
3
故 关灯方法种数为
C
4
。
三、插空法、捆绑法
对于某几个元素不相 邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在
已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

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例5、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
分析：先将其 余四人排好有
A
4
4
种排法，再在这人之间及两端的5个“空”中选
三个位置让甲乙丙插入，则有
A
5
3
种方法，这样共有
A
4
4
A
5
3
1400
种不同排法。
对于局部“小 整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元，与
其余元素一同排列，然后在进行局部排列 。
例6、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？
分析：把甲、乙、 丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有
A
5
5
种
排法，而甲乙、丙、之间又有
A
3
3
种排法，故共有
A
5< br>5
A
3
3
7200
种排法。
四、总体淘汰法 < br>对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不
能多减，也不能少减 。
例如在例3中，也可用此法解答：五个数字组成三位数的全排列有
A
5
3
个，排好
后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要除去，故有
32211
A
5
A
4
A
2
A
3A
3
30
个偶数。
五、顺序固定问题用“除法”
对于某几 个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，
然后用总排列数除以这几个元素的 全排列数。
例7、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙--- 丙”顺序排的排队方法有多
少种？
分析：不考虑附加条件，排队方法有
A
6
6
种，而其中甲、乙、丙的
A
3
3
种排法中只
有一 种符合条件。故符合条件的排法有
A
6
6
A
3
3

120
种。
六、构造模型“隔板法”
对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。

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例8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？
分 析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个
间隙中任意插入3块隔板 ，把球分成4堆，每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，
3

165
。 < br>对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有
C
11
又 如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数；三项式
(abc)
10
,四项式
(abcd)
10
等展开式的项数，经过转化后都可用此法解。
七、分排问题“直排法”
把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其它的特殊要求，可 采取统一
排成一排的方法来处理。
例9、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多
少种？
分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件，故两排可看作一排来处理，
不同的坐法共有A
7
7
种。
八、表格法
有些较复杂的问题可以通过列图表使其直观化。
例10、9人组成篮球队，其中7人善打前锋 ，3人善打后卫，现从中选5人（两
卫三锋，且锋分左、中、右，卫分左右）组队出场，有多少种不同的 组队方法？
分析：由题设知，其中有1人既可打锋，又可打卫，则只会锋的有6人，只会
卫的 有2人。列表如下：
人
数
不
同
3
3
2
1

1（卫）
6人只会锋 2人只会卫 1人即锋又卫 结
果

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选
法
12232
A
2
C
6
A
3
A
2

900< br>种方法。
由表知，共有
A
6
3
A
2
2A
6
3
C
2
2 2 1（锋）
除了上述方法外， 有时还可以通过设未知数，借助方程来解答，简单一些的
问题可采用列举法等。解此类问题常用的数学思 想是：分类讨论的思想，转化思想
和对称思想等三种。排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一 步学习概率
的基础。事实上，许多概率问题也可归结为排列组合问题。这一类问题不仅内容抽
象 ，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至
不容易检查出来，所以解 题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧，
最终达到能够灵活运用。
[参考文献]
1、《走向清华北大》，主编乔家瑞，科学出版社总发行。
２、《2 004年高考总复习与考前冲刺冲刺教师指导全书》，全国高考命题研究组总
主编，安徽文化音像出版社 。
3、《最新高职考试应试指南数学》，金贻康主编，汕头大学出版社。