有关读书的名人名言-为什么要

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
十、排列、组合和二项式定理

mm
1.排列数
A
n
中
nm1,n、mN< br>、组合数
C
n
中
nm,n1,m0,n、mN
.
(1)排列数公式
m
A
n
n(n1)(n2)(nm 1)
n!
n
(mn)
；
A
n
n!n(n 1)(n2)
(nm)!
21
。如（1）1！+2！+3！+„
+n！ （
n4,nN
*
）的个位数字为 （答：3）；（2）满足
A< br>8
x
6A
8
x2
的
x
＝ （答：8）
(2)组合数公式
m
A
n
n(n1)(n m1)n!
0
mnm
C
m
(mn)
；
！ 1
，
C
n
规定
0
1
.如已知
C
n
C
m1
A
n
6
，
A
m
m(m1)21m!

nm

!
m
n
求 n，m的值（答：m＝n＝2）
mmm1
mnm
kk1
(3) 排列数、组合数的性质：①
C
n
；②
C
n
C
n 1
C
n1
；③
kC
n
；
C
n
nC
n1
r1
④
C
r
r
C
r< br>r
1
C
r
r
2
C
n
； ⑤
nn!(n1)!n!
；⑥
C
n
r
1
n11

.
(n1)!n!(n1)!
2.解排列组合问题的依据 是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次
得出的是最后的结果， 只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一
步都不能独立地 完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如
（1 ）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：
3
）；（2）从4台甲型和 5台乙型电视机中任意
取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（ 答：70）；（3）从集合

1,2,3

和
；（4）72的正
1,4,5,6

中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同 点的个数是___（答：23）
约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）
A
的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同
A
的顶点共10个点，以 这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A、B、
C 、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共
有 种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张
A
别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9）；（8）
f< br>是
集
合
M

a,b,c

到集合
N

1,0,1

的映射，且
f(a)f(b)

C B
集
5
f(c)
，则不同的映射共有 个（答：7）；（9）满足
ABC{1,2,3,4}
的
4
D
合A、B、C共有 组（答：
7
）
3.解排列组合问题的方法有：
（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限 制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置
优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置 ）。如（1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装
饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外 墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1
号石材有微量的放射性，不可用于办公室内 ，则不同的装饰效果有_____种（答：300）；（2）某银行储蓄卡的密
码是一个4位数码，某人 采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当
积为一位数时， 十位上数字选0. 千位、百位上都能取0. 这样设计出来的密码共有_______种（答：100）；（3 ）
用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_______个（答：15 6）；（4）某班上午要上语、
数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节 ，则不同排课方案种数为_____（答：6）；
（5）四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4 的四个盒中。①恰有两个空盒的放法有__________种；②甲球
只能放入第2或3号盒，而乙球 不能放入第4号盒的不同放法有_________种（答：84；96）；（6）设有编号为1、
2、 3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和
茶杯的编号相同的盖法有_________种（答：31）
（2）间接法（对有限制条件的 问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。如在平面直角坐
标系中，由六个点(0,0 )，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为____ _（答：15）。
（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与 其余“普通元素”全排
列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。如（1）把4名男生和 4名女生排成一排，女生要排在
一起，不同的排法种数为_____（答：2880）；（2）某人射击 ８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的
情况的不同种数为_____（答：20）；（3） 把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，
每人至少分1张，至多分2 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_____（答：144）
（4）不相邻(相 间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排

好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。如（1）3人坐在一排八 个
座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种（答：24）；（2）某 班新年联欢晚会原定的5
个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节 目单中，那么不同的插法种数为
_____（答：42）。
（5）多排问题单排法。如若2n个学生排成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各 n个学
生的排法数为y，则x,y的大小关系为_____（答：相等）；
（6）多元问题分 类法。如（1）某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、
乙两种原料不 能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_______
种（答：15）；（2）某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不 能同给
一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种（答： 36）；（3）9名翻译
中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任 英语翻译，选拨的方法有____________
种（答：90）；
（7）有序问题组合法 。如（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同
的书，有 种不同的放法（答：20）；（2）百米决赛有6名运动A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速
度都不同，则运动员A比运动员F先到终点的比赛结果共有_____种（答：360）；（3）学号为1，2， 3，4的四
名学生的考试成绩
x
i
{89,90,91,92,93}(i 1,2,3,4)
且满足
x
1
x
2
x
3x
4
，则这四位同学考试成绩的所有
可能情况有_____种（答：15）；（ 4）设集合
A

1,2,3,4,5,6,7,8

，对任意xA
，有
f(1)f(2)f(3)
，则
35
映射
f:AA
的个数是_____（答：
C
8
；（5）如果一个三位正整数形 如“
a
1
a
2
a
3
”满足
a
1< br>a
2
且a
3
a
2
，
8
）
则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_____（答：240）； （6）离心率等于
log
p
q
(其
中
1p9,1q 9
且
p,qN
*
)的不同形状的的双曲线的个数为_____（答：26） 。
（8）选取问题先选后排法。如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每 次取出
一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种 数是_____（答：
576）。
（9）至多至少问题间接法。如从7名男同学和5名女同学 中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______
种（答：596）
（10）相同 元素分组可采用隔板法。如（1）10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？
每人至 少两个呢？（答：36；15）；（2）某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这< br>7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）
4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。如4名医生和 6名
护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名 护士的不同
选派方法有_______种（答：37440）；
n0n1n1
5. 二项式定理：
(ab)C
n
aC
n
ab
rnrr
C
n
ab
nn
C
n
b
，其中组合数
C
n
叫做第r+1项的二项
r
rnrr
式系数；展开式共 有n+1项，其中第r+l项
T
r1
C
n
ab(r0,1,2 ,

,n)
称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提 醒：（1）项的系数与二项式系
数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二 项式系数。如在
(axb)
n
的展开式中，
r
rnrr
第ｒ＋１项的二项式系数为
C
n
，第ｒ＋１项的系数为
C
n
而
(x)
的展开式中的系数就是二项式系数；
ab
；
1
x
n
（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意 区分所求的是项还是
第几项？求的是系数还是二项式系数？如（1）
(2x
4
1()x
3
1()x1()
1
x
0
1
7
)
的展开式中常数项是____（答：14）；（2）
x
100
3
的展开式中的
x
的系数为______ （答：330）；（3）数
111
的末尾
3
连续出现零的个数是____（答：3）；(4)
(7x
3
2)
40
展开后所得的
x
的多项式中，系数为有 理数的项共有____
项（答：7）；(5)若
16x15x20x15x6xx (xN且x21)
的值能被5整除，则
x
的可取值的个
数有____个（ 答：5）；(6)若
xy0,且xy1,
二项式
(xy)
按
x
降幂展开后，其第二项不大于第三项，则
x

9
23456
(1,)
）的取值范围是 （答：；(7) 函数
f(x)(1sinx)(1sinx)
的最大值是_______（答：102 4）.
6、二项式系数的性质：
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等，即
C
n
C
n
（2）增减性与最大值：当
r
mnm
1010
；
n1n1
rr
时，二项式系数C
n
的值逐渐增大，当
r
时,C
n
的值逐渐减小，且
22< /p>

n
在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第＋1项）的二项式系数
C
n
2
取得最大值。当n为奇数时，中
2
n1n1
n 1n1
间两项（第和＋1项）的二项式系数
C
n
2
C
n
2
相等并同时取最大值。如（1）在二项式
(x1)
11
的22
展开式中，系数最小的项的系数为______（答：－426）；（2）在
(1x )
n
的展开式中，第十项是二项式系数最大
的项，则
n
＝____（ 答：17,18或19）。
nn
01r
0213
（3）二项式系数的和：< br>C
n
C
n
C
n
C
n
2
；
C
n
C
n
C
n
C
n


12

2
n1
。如（1）如果< br>12C
n
2
2
C
n

012
（ 2）化简
C
n
2C
n
3C
n

n01 2
2
n
C
n
2187
，则
C
n
C
n
C
n

n
；
C
n

（答：128）
n
（答：
(n2)

2
n1
）
(n1)C
n
n
7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系 数和为
f(1)
、“奇数 (偶次)项”系数和为
11
[f(1)f(1)]
，以及“偶数 (奇次)项”系 数和为
[f(1)f(1)]
。如（1）已知
22
2
，
|a
2
||a
9
等
|
于_____（答：
4< br>9
）；（2）
(1x3
9
)aa
9
9
a
则
x
a
0
a
1

01
x
2
ax
(12x)
2004
a
0
a
1
xa
2
x
2
a
2004
x
20 04
，则
(a
0
a
1
)(a
0
a< br>2
)
＋
(a
0
a
2004
)
＝_____（答：2004）；（3）设
(1xx
2
)
n
a
0
a
1
xa
2
x
2
a
2n
x
2n
,则
a
0
a
2


a
2n
3
n
1
）。

_____（ 答：
2
8、系数最大项的求法：设第
r
项的系数
A
r
最大，由不等式组


A
r
A
r1
1
3
x)
10
的展确定
r
。如求
(x
2

A
r
A
r1
9
2
105
13
x
3
）开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。（答：系数绝对值最大的项为
15x
，系数最大的项为
8
9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近 似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进
行放缩证明不等式。如（1）(0.998)5
精确到0.001近似值为________（答：0.990）；（2）
133 3
被4
45
除所得的余数为_____（答：0）；（3）今天是星期一，100 天后是星期_____（答：二）；（4）求证：
（5）求证：
3
n
(n 2)2
n1
(nN
*
,且n2)

3
2n 2
8n9(nN
*
)
能被64整除；

299