小学数学 《 排列组合》练习题(含答案)
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小学数学 《 排列组合》练习题（含答案）
例1
由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？
分析 注意到由四个数字0、1、2、3
可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四
类，所以要一类一类地考虑，再由加法原理解决.
第一类：一位偶数只有0、2，共2个；
第二类：两位偶数，它包含个位为0、2的
两类.若个位取0，则十位可有C3种取法；
111
若个位取2，则十位有C2种取法.故两位
偶数共有（C3＋C2）种不同的取法；
第三类：三位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位
取0，则十位和百位共有P3种
取法；若个位取2，则十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2种取
法，十位也有2种取
2
法，由乘法原理，个位为2的三位偶数有2×2个，三位偶数共有（P3
＋2×2）个；
第四类：四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取
0，则共有P33个；若个位取 2，
则其他 3位只能在 0、 1、 3中取.千位有2种取法，百
位和十位在剩下的两个数中取，再
22
排成一列，有P2种取法.由乘法原理，个位为2的四位
偶数有2×P2个.所以，四位偶数共
2
有（P33＋2×P2）种不同的取法.
解： 由加法原理知，共可以组成
2＋（C3＋C2）＋（P3＋2×2）＋（P33＋2×P2）
＝2＋5＋10＋10
＝27
个不同的偶数.
补充说明：本题也可以将所有偶数分为两类，
即个位为0和个位为2的两类.再考虑到
每一类中分别有一位、两位、三位、四位数，逐类讨论便可求解
.
例2 国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7
个队.各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前两
名共4个
队进行单循环赛，决出冠亚军.问：①共需比赛多少场？②如果实行主客场制（即
A、B两个队比赛时，
既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），
共需比赛多少场？
分析
比赛的所有场次包括三类：第一组中比赛的场次，第二组中比赛的场次，决赛时比赛
的场次.
①中，第一组中8个队，每两队比赛一场，所以共比赛C8场；第二组中7个队，每两
22
队比
赛一场，所以共比赛C7场；决赛中4个队，每两队比赛一场，所以共比赛C4场.
2
1122
2
1
②中，由于是实行主客场制，每两个队之间要比赛两场，比赛场次是①中的2倍.
另外，还可以用
排列的知识来解决.由于主客场制不仅与参赛的队有关，而且与比赛所
22
在的城市（即与顺序
）有关.所以，第一组共比赛P8场，第二组共比赛P7场，决赛时共比
2
赛P4场.
解： 由加法原理：
①实行单循环赛共比赛
②实行主客场制，共需比赛
2×（C8＋C7＋C4）＝110（场）.
或解为：
P8＋P7＋P4
＝8×7＋7×6＋4×3
＝56＋42＋12
＝110（场）.
例3
在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个
222
222
①三角形？
②四边形？
分析
①我们知道，不在同一直线上的三个点确定一个三角形，由图可见，半圆弧上的每三
个点均不共线（由于
A、B既可看成半圆上的点，又可看成线段上的点，为不重复计算，可
把它们归在线段上
），所以，所有的三角形应有三类：第一类，三角形的三个顶点全在半圆
弧上取（不含A、B两点）；第
二类，三角形的两个顶点取在半圆弧上（不包含A、B），另
一个顶点在线段上取（含A、B）；第三类
，三角形的一个顶点在半圆弧上取，另外两点在
线段上取.
注意到三角形的个数只与三个顶点的取法有关，而与选取三点的顺序无关，所以，这是
组合问题.
解：三个顶点都在半圆弧上的三角形共有
两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形共有
一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形共有
由加法原理，这12个点共可以组成
C7＋（C7×C5）＋（C7×C5）
＝35＋105＋70＝210（个）
不同的三角形.
也可列式为C12－C5＝220—10＝210（个）.
分析 ②用解①的方法考虑.
将组成四边形时取点的情况分为三类：
33
32112
第一类：四个点全在圆弧上取.（不包括A、B）有C7种取法.
第二类：两个点取自圆弧.两个点取自直线AB.有取法C7×C5种.
第三类：圆弧上取3个点，直线上取1个点，有C7×C5种取法.
31
22
1
解： 依加法原理，这12个点共可组成：
C7+ C7×C5+C7×C5
＝35＋210＋175＝420
个不同的四边形.
还可直接计算，这12个点共可组成：
C12-C5-C5·C7＝495－5-70＝420
个不同的四边形.
例4
如下图，问
①下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？
②下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？
4431
42231
分析
①由于长方形是由两组分别平行的线段构成的，因此只要看上左图中水平方向的所有
平行线中，可以选出
几组两条平行线，竖直方向上的所有平行线中，可以选出几组两条平行
线？
②由于长方体
是由三组分别平行的平面组成的.因此，只要看上页右图中，平行于长方
体上面的所有平面中，可以选出
几组两个互相平行的平面，平行于长方体右面的所有平面中，
可以选出几组两个互相平行的两个平面，平
行于长方体前面的所有平面中，可以选出几组两
个互相平行的平面.
解：
①C5×C7＝210（个）
因此，上页左图中共有210个长方形.
②C5×C6×C4＝900（个）
因此，上页右图中共有900个长方体.
例5
甲、乙、丙、丁4人各有一个作业本混放在一起，4人每人随便拿了一本，问：
222
22
①甲拿到自己作业本的拿法有多少种？
②恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？
③至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有多少种？
④谁也没有拿到自己作业本的拿法有多少种？
分析 ①甲拿到自己的作业本，这时只要考
虑剩下的三个人拿到其他三本作业本的情况.由于
其他三人可以拿到自己的作业本，也可以不拿到自己的
作业本.所以，共有P33种情况.
②恰有一人拿到自己的作业本.这时，一人拿到了自己的作业
本，而其他三人都没能拿
到自己的作业本.拿到自己作业本的可以是甲、乙、丙、丁中的一人，共4种情
况.另外三人
全拿错了作业本的拿法有2种.故恰有一人拿到自己作业本的情况有4×2种情况.
③至少有一人没有拿到自己的作业本.这时只要在所有拿法中减去四人全拿到自己作业
本的
拿法即可.由于4人拿作业本的所有拿法是P44，而4人全拿到自己作业本只有1种情
况.所以，至少
有一人没拿到自己作业本的拿法有P44－1种情况.
④谁也没拿到自己的作业本.可分步考虑（
假设四个人一个一个地拿作业本，考虑四人
都拿错的情况即可）.第一个拿作业本的人除自己的作业本外
有3种拿法.被他拿走作业本的
人也有3种拿法.这时，剩下的两人只能从剩下的两本中拿，要每人都拿
错，只有一种拿法.
所以，由乘法原理，共有3×3×1种不同的情况.
解：
①甲拿到自己作业本的拿法有
P33＝3×2×1＝ 6
种情况；
②恰有一人拿到自己作业本的拿法有
4×2＝8
种情况；
③至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有
P44－1＝4×3×2×1－1＝23
种情况；
④谁也没有拿到自己作业本的拿法有
3×3×1＝9
种情况.
由前面的各例题可以看到，有关排列组合的问题多种多样，
思考问题的方法灵活多变，
入手的角度也是多方面的.所以，除掌握有关的原理和结论，还必须学习灵活
多样的分析问
题、解决问题的方法.
习题五
1.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个
①三位数？②没有重复数字的三位数？
③没有重复数字的三位偶数？④小于1000的自然数？
2.从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？
①某两人必须入选；
②某两人中至少有一人入选；
③某三人中恰入选一人；
④某三人不能同时都入选.
3.如右图，两条相交直线上共有9个点，问：
一共可以组成多少个不同的三角形？
4.如下图，计算
①下左图中有多少个梯形？
②下右图中有多少个长方体？
5.七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？
①七个人排成一排；
②七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；
③七个人排成一排，某两人必须站在两头；
④七个人排成一排，某两人不能站在两头；
⑤七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排.
习题五解答
1.①100； ②48； ③30； ④124.
2.①C313＝286；
②C515－C513＝1716；
③C3·C412＝1485；
④C515－C12＝2937.
3.C5·C3＋C6·C3＝60；或C39－C36－C34＝60.
4.①C6×C6＝225；②C5×C6×C5＝1500.
5.①P7＝5040；②2P6＝1440；
③2P5＝240；④5×4×P5＝2400；
⑤2×3×4×P5＝2880.
5
55
76
22222
1221
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