办公场所-青纱帐甘蔗林

捆绑法解决排列组合问题（北京2020）
一、基本知识
捆绑法是解决排列组合中“相邻问题”的基本方法。

二、应用背景：（题眼） < br>应用背景1：在题目中出现“相邻、挨着、在一起”的时候应用捆绑法，将相邻元
素看成一个整体 ，在做题时需要注意相邻的元素有没有顺序是问题的关键。
应用背景2：在题目中出现“不相邻问题” 虽然一般选择插空法，但是在题目中只
有两个元素不相邻的时候也可以采用“正难则反”的原则先算出两 个特殊元素相邻的情
况，再用总情况减去不符合题意的情况，往往能减少问题的思考量。

三、注意事项
1.注意捆绑的小团体是否存在内在顺序
2.在一个题目中出现多个 小团体（多次捆绑）需要将所有元素进行分组，注意平
均分组问题、不平均分组问题、部分平均分组问题 的分组情况。
3.正难则反，捆绑问题（相邻问题）和插空问题（不相邻问题）相辅相成，综合
进行解答。

四、排列、组合中的分组分配问题知识点：
在排列、组合的学习中分组分配问题经常遇到，本文谈一谈几种常见问题。
实例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法
(1) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；
(2) 平均分成三堆；
(3) 分成三堆，一堆四本，另两堆各一本；
(4) 分成四堆，两堆各一本，另两堆各两本；
(5) 分给甲、乙、丙三个人 ，甲得一本，乙得两本，丙得三本；
(6) 分给甲、乙、丙三个人 ，一人得一本，一人得两本，一人得三本；
(7) 平均分给甲、乙、丙三个人；
(8) 分给甲、乙、丙三个人 ，甲得四本，乙、丙各得一本；
(9) 分给甲、乙、丙三个人 ，一人得四本，另两人各得一本；

(10) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，甲、乙各得一本，丙、丁各得两本；
(11) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，两人各得一本，另两人各得两本；
分析：在排列、组合中分组分配问题 一般按照“先分组再分配”的原则，但不排除其他
途径。在分组时要区分是均分还是非均分或部分均分， 在分配时要区分是定向分配还是
非定向分配。（
1
）非均匀分组
,
分 步产生每一组不会造成重复
:
CCC
1
6
2
5
3
3

（
2
）均匀分组
,
分步产生每一组会造成重复
,
应消去步骤造成的重 复计数：


222
C
6
C
4
C
2

A
3
3
（
3
）部分均匀分组，应消去均匀分组时步骤上造成的重复计数：
411

C
6
C
2
C
1
A
2
2
（
4
）同（
3
）：

122
C
1
6
C
5
C
4
C
2
2
A
2
2
A
2

（
5
）非均匀定向分配，等同于非均匀分组：

CCC
1
6
2
5
3
3

（
6
）非均匀不定向分配，分组后再分配：

CCCA
1< br>6
2
5
3
3
3
3

（
7
）均匀分配，分组后再分配：

222
C
6< br>C
4
C
2
A
3
3
3
亦可理解为甲、 乙、丙依次选择
:
A
3
C
6
C
4
C
2
222

（
8
）部分非均匀定向分配，均匀部分要分配：

411
C
6
C
2
C
1
A
2
2
亦可理解为甲 、乙、丙依次选择
:
A
2
2
C
6
C
2C
1
411

（
9
）部分非均匀不定向分配，分组后再分配：

411
C
6
C
2
C
1
3

A
2
2
（10）同（8）：:
A
3

A
2
A
2
122

22
122
C
1
6
C
5
C
4
C
2
2
A
2
2
A
2
亦可理解为甲、乙、丙依次选择:
1
C< br>6
C
5
C
4
C
2
（
11
） 同（
9
）
C
1
C
1
C
2
C
2
6542
2
A
2
2
A
2
A
4
4

小结：（
1
）分组时应注意消去均匀部分的重复计数。


（
2
）分组分配时为使思路明了，一般按照“先分组再分配”的原则。


（
3
）定向分配时可理解为依次选择。

五、北京市2020年试题部分例题
1．【北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三数学（理科)试题】
五名同学相约去 国家博物馆参观
“
伟大的变革：庆祝改革开放
40
周年大型展览
”< br>，参观
结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有
( )
A
．
36
种

【答案】
C
【解析】

除甲、乙二人外，其他
3
个同学先排成一排，共有
A
3
＝
6
种，

这
3
个同学排好后，留 下
4
个空位，排甲、乙，共有
A
4
＝
12
种，
12
＝
72
种，

所以，不同排法有：
6×
选
C
．

2．【2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题】
甲､乙､丙､丁四名同学和 一名老师站成一排合影留念
.
若老师站在正中间
,
甲同学不与老
师相 邻
,
乙同学与老师相邻
,
则不同站法种数为
( )
A
．
24
【答案】
C
【解析】由题：老师站中间，

B
．
12 C
．
8 D
．
6
2
B
．
48
种
C
．
72
种
D
．
120
种

3

第一步：排乙，乙与老师相邻，
2
种排法；

第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，
2
种排法；

第三步：排剩下两位同学，
2
种排法，

所以共
8
种
.
故选：
C
3．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考数学（理)试题】
七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
( )
A
．
3600
种

【答案】
A
5
【解析】第一步，先将除甲乙外的其他
5
人全排列，
A
5
54 321120
种

2
第二步，将甲乙
2
人插入6
个空中，
A
6
6530
种

52则不同的排法种数是
A
5
gA
6
120303600种

B
．
1440
种
C
．
4820
种
D
．
4800
种

故选：
A
4、（房山区2019届高三第二次模拟）五名同学相约去国家博物馆参观 “伟大的变革——
庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙
二人不相邻，则不同的排法共有（ C ）
(A)
36
种 (B)
48
种 (C)

72
种 (D)
120
种

5、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））
把5个人安排在周一至周五值 班，要
求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两
天，则 不同的安排方法有____种．(36)

捆绑法解决排列组合问题（北京2020)
学校:_______ ____姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1
．（
2019·
北京
101
中学高 二期末）
5
名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的
不同排法有
A
．
24
种

C
．
96
种

B
．
48
种
D
．
120
种
2
．（
2017·
北京高 二期中）将不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种商品
必须排在一起，丙、丁两种商品不能 排在一起，则不同的排法共有（

）．

A．
12
种 B．
20
种 C．
24
种 D．
48
种 3
．（
2018·
北京高三期中）一排
9
个座位坐了
3
个口之家，若每家人坐在一起，则不同的
坐法种数为（
）．
A
．
3A
3

3
B
．
3(A
3
)

33
C
．
(A
3
)

34
D
．
9

4
．（
2019·
北京临川学校高三月考）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那
么不同的排法种数是
( )
A
．
3600
种
B
．
1440
种
C
．
4820
种
D
．
4800
种
5
．（
2007·
北京高考真题 ）记者要为
5
名志愿者和他们帮助的
2
位老人拍照，要求排成
一排，
2
位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（

）

A
．
1440
种
B
．
960
种
C
．
720
种
D
．
480
种

6
．（
2020·
北京高三期末）甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留 念.若老师
站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( )
A
．
24



B
．
12
C
．
8
D
．
6 < /p>

7
．（
2018·
北京高二期中）甲、乙等
5
人排一排照相，要求甲、乙
2
人相邻但不排在两端，
那么不同的排法共有（ ）
A
．
36
种
B
．
24
种
C
．
18
种
D
．
12
种
8
． （
2019·
北京高三）五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革：庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不
同的排法共有 ( )
A
．
36
种
B
．
48
种
C
．
72
种
D
．
120
种
9
．（
2011·
北京高二期末） 一个停车场有
5
个排成一排的空车位，现有
2
辆不同的车停
进这个停 车场，若停好后恰有
2
个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有
A
．
6
种
B
．
12
种
C
．
36
种
D
．
72
种
10
．（
2019·
北京四中高一期中）A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻且 B
在A的右边，那么不同的排法种数有( )
A
．24种
B
．36种
C
．48种
D
．60种
11
．（
2018·
北京市十一学校高三）有6个座位连成一排现有3人就坐，则恰有两个空位
相邻的概率为（ ）
A
．
1

5
B
．
2

5
C
．
3

5
D
．以上都不对
12
．（
2017·
北京高二 期中）某单位安排
7
位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人
值班
1天，若
7
位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则
不 同的安排方案共有（ ）

A
．
504
种
B
．
960
种
C
．
1008
种
D
．
1108
种
13
．（
2017·
北京高三） 小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，
5人坐成一排.若小明的父母至少有一人 与他相邻，则不同坐法的总数为
A
．60


B
．72
C
．84
D
．96

二、填空题
14
．（
2019·
北京高二期末）
5
位同学排成一排照相，若甲与乙相邻，则不同的排法有
________
种．
15
．（
2019·
北京
101
中学高二期中）将
2
红
2
白共
4
个球随机排成一列，则同色球均相
邻的概率为
__ ________
．
16
．（
2019·
北京师大附中高二期中） 只用
1,2,3
三个数字组成一个四位数，规定这三个
数必须同时使用，且同一数字不 能相邻出现，这样的四位数有

个．

17
．（2020·
北京高三期末）
2019
年
11
月
5
日，第二届中国国际进口博览会在国家会展
中心（上海）开幕，共有
155
个国家和 地区，
26
个国际组织参加
.
现有甲、乙、丙、丁、
戊、己六家企业 参加某主题展览活动，每个企业一个展位
.
在排成一排的
6
个展位中，
甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有
________

种
. 18
．（
2019·
北京八中高一期末）5人排成一行合影，甲和乙不相邻的排法 有
______
种．（用
数字回答）
19
．（
2016·
北京高三期末）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要
求老师必须站在正中 间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为

．

20
．（
2019·
北京清华附中高三）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗
意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人
团齐声朗 诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山
月》、《清平乐· 六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长
沙》与《清平乐·六盘山》不 相邻且均不排在最后，则后六场的排法有
__________
种．（用
数字作答）

参考答案
1
．
B
2
．
C
3
．
C
4
．
A
5
．
B
6
．
C
7
．
B
8
．
C
9
．
B
10
．
A
11
．
C
12
．
C
13
．
C
14
．
48
15
．
16
．
1

3

17
．144
18
．72
19
．
12
．

20．
144