家酿葡萄酒的方法-朗诵诗歌

常规排列组合问题
知识框架
排列组合问题根据是否与顺序有关，只有排列和 组合两种类型；根据事情的
完成步骤，只有分类和分步两种类型；根据解题方法，只有基础公式型、分类
讨论型、分步计算型、捆绑插空型、错位排列型、重复剔除型、多人传球型、
等价转化型八种类 型。无论排列组合的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这几
种主要类型和解题方法，就能轻松搞定排列组 合问题。
核心点拨
1、题型简介

排列组合问题在近年来各类公务员考 试中出现较多。下面给出了解决排列组
合问题的几个核心知识点，从真题来看，基础公式型、分类讨论型 、分步计算
型、重复剔除型、等价转化型这五种题型考查较多，同学们可以重点学习。
2、核心知识
（1）基础公式法
加法原理：
一件事情，有n类方法可以 完成，并且每类方法又分别存在
种不同方法，则完成这件事情共有
乘法原理：
一件事 情，需要n个步骤完成，并且每步又分别存在
同方法，则完成这件事情共有
排列基础公式：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一列（与顺序有关），有
种方法。
种不
种方法。

种方法。
组合基础公式：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组（与顺序无关），有
(其中m!=1×2×3×…×m)种方
法。
（2）分类讨论法
根据题意分成若干类分别计算。
（3）分步计算法
根据题意，分步计算。
（4）捆绑插空法
相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素
全排列。
不相邻问题——插空法：先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入
所成间隙中。
（5）错位排列法
错位排列问题：有n封信和n个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可
能的方法的种数计算Dn，则D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6=265…
（请牢牢记住前六个数）。
（6）重复剔除法
A．平均分组问题
将NM个人平均分成N组，总共有
B．多人排成圈问题
N人排成一圈，有
C．物品串成圈问题
N个珍珠串成一条项链，有
（7）多人传球法
种串法。
种排法。
种分配方法。

M个人传N次球，记
（8）等量转换法
，则 与X最接近的整数为传给“非自己的
某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。
夯实基础
1.基础公式法
例1：(国家2004B类-44)
把4个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子放一个球，有多少种放法？
A. 24 B. 4 C. 12 D. 10
【答案】A
【解析】[题钥]
“把4个不同的球放入4个不同的盒子中”，与顺序有关，因此属于排列问题。
[解析]
根据题意：
确定n：4；
确定m：4；
代入排列基础公式：
；
所以，选A。
2.分类讨论法
例2：(2005年中央一类第48题)
从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则
共有（ ）种不同的选法。
A. 40 B. 41 C. 44 D. 46
【答案】C
【解析】[题钥]
“从1，2，3，4，5，6，7 ，8，9中任意选出三个数”，与顺序无关，因此属于
组合问题。
“从1，2，3，4，5， 6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数”，共

有两种类别：第一类，三个 数都为偶数；第二类，两个奇数和一个偶数。采用
加法原理。
[解析]
第一类，三个数都为偶数：
确定m1：；
第二类，两个奇数和一个偶数：
确定m2：
代入加法原理公式：

所以，选C。
3.分步计算
例3：(2004年中央A类第47题)
林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种 肉类，四种蔬菜中的二
种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法？( )
A. 4 B. 24 C. 72 D. 144
【答案】C
【解析】[题钥]
“若不考虑食物的挑选次序”，与顺序无关，因此属于组合问题。
林辉挑选食物可分三步，第 一步从三种肉类中挑一种肉类，第二步从四种蔬
菜中挑二种不同蔬菜，第三步从四种点心中挑一种点心， 采用乘法原理。
[解析]
三种肉类中挑一种肉类：
确定m1：；
；
四种蔬菜中挑二种不同蔬菜：
确定m2：
确定m3：；
；
四种点心中挑一种点心：

代入乘法原理公式：

所以，选C。
4.捆绑插空法
例4：
A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（ ）
种排法。
A. 120 B. 72 C. 48 D. 24
【答案】B
【解析】[题钥]
“A、B、C、D、E五个人排成一排”，与顺序有关 ，属于排列问题。“其中A、
B两人不站一起”，可采用插空法。分为两步，第一步：把C、D、E排成 一排；
第二步：将A、B插入C、D、E中行成的4个空隙中。采用乘法原理。
[解析]
第一步：
把C、D、E排成一排；
确定m1：
第二步：
将A、B插入C、D、E中行成的4个空隙中；
确定m2：
代入乘法原理公式：

所以，选B。
5.错位排列法
例5：（北京社招2007－16）
五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？
A. 6 B. 10 C. 12 D. 20
【答案】D
【解析】[题钥]
；
；

“五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个”，与顺序无关，属于组合问题。
“其中恰好贴错了三个”，属于错位排列。分为两步，第一步：从五个瓶子中选
出三个；第二步：对选 出的三个瓶子进行错位排列。采用乘法原理。
[解析]
第一步：
从五个瓶子中选出三个；
确定m1：
第二步：
对选出的三个瓶子进行错位排列；
确定m2：D3＝2；
代入乘法原理公式：
；
所以，选D。
6.重复剔除法
例6：（上海2005－11）
某小组有四位男性和两位女性，六人围成一圈跳集体舞，不同排列方法有多
少种？（ ）
A. 720 B. 60 C. 480 D. 120
【答案】D
【解析】[题钥]
“六人围成一圈跳集体舞”，与顺序有关，属于排列问题。
然而，如下图所示，以下6种情况 虽然对应了上述解法的不同排列过程，但
实际上却是相同的方法，所以最后的结果还要剔除这些重复的情 况。属于重复
剔除型中的多人排成圈问题。
。

[解析]

根据题意：
将六人排成一排，共有
确定重复情况：
将6个人排成圈，N＝6；
确定分配方法：
720÷6＝120
所以，选D。
7.多人传球法
例7：（国家2006一类－46，二类－39）
四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并
作为第一次传球，若 第五次传球后，球又回到甲手中，则共有多少种传球方式？
A. 60种 B. 65种 C. 70种 D. 75种
【答案】A
【解析】[题钥] “四人进行篮球传接球练习”，属于多人传球型问题。
[解析]
套用公式法：
确定M：4；
确定N：5；
代入多人传球公式：
；
与60.75最接近的整数61为传给“非自己的某人”即非甲的方法数；
与60.75第二接近的整数60便是传给自己即甲的方法数。
所以，选A。
8.等价转换法
例8：
一次射击比赛当中，6个瓷制靶子排成两列，左边挂了4个 靶子，右边挂了2
个靶子。射手在射击每一列的时候，必须先击碎此列尚未击碎的靶子当中的最
下面的一个。请问全部击碎所有6个靶子一共有多少种方法？（ ）
A. 10种 B. 12种 C. 15种 D. 21种
种；

【答案】C
【解析】[题钥]
此时可进行等价转化，等价于在第1、2、3、4、5 、6次射击中，有4次是往
左射击，有2次是往右射击，确定好这6次射击的“左”与“右”之后，具体 是打哪个
靶就被唯一确定了。
[解析]
此题等价于：
“共有6次射击，其中有4次是往左射击，有2次是往右射击，共有几种射击方
法。” 6次射击中寻找2次往右射击的方法：

所以，选C。
进阶训练
1.分类讨论法
例9：
用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然 数，从小到大顺序排
列：1，2，3，4，5，12，…，54321。其中，第207个数是多少？（ ）
A. 313 B. 12354 C. 325 D. 371
【答案】B
【解析】[题钥]
“用1，2，3，4，5这五个数字组 成没有重复数字的自然数”，与顺序有关，因
此属于排列问题。
“用1，2，3，4，5这五 个数字组成没有重复数字的自然数”，共有五种类别：
第一类，组成的自然数为一位数；第二类，组成的 自然数为二位数；第三类，
组成的自然数为三位数；第四类，组成的自然数为四位数；第五类，组成的自
然数为五位数。采用加法原理。
[解析]
组成的自然数为一位数：
确定m1：；
组成的自然数为二位数：

确定m2：
确定m3：
确定m4：
；
；
；
；
组成的自然数为三位数：
组成的自然数为四位数：
组成的自然数为五位数：
确定m5：
由于
m1＋m2＋m3＋m4＝5＋20＋60＋120＝205；
m1＋m2＋m3＋m4＋m5＝5＋20＋60＋120＋120＝325。
因此，第207个数为五位数的自然数。
第205个数为四位数的最后一位，即最大数5432；
第206个数为五位数的第一位，即最小数12345：
则第207个数为五位数的第二位，即第二小的数12354。
所以，选B。
2.重复剔除法
例10：
将11个人分成“3、3、2、2、1”这样的五组，请问一共有多少种分配的方法？
（ ）
A. 4620 B. 69300 C. 138600 D. 277200
【答案】B
【解析】[题钥]
“将11个人分成‘3、3、2、2、1’这样的五组”，与顺序无关，属于组合问题。
将1 1个人分成“3、3、2、2、1”这样的五组，可分为两步，第一步：从11个
人中选出6人，然后平 均分成2组；第二步：从剩余的5个人中选出4人，然后平
均分成2组，剩余一人则唯一确定。采用乘法 原理。
在平均分组的过程中，应剔除重复的情况。属于重复剔除型中的平均分组问
题。
[解析]

根据题意，
第一步，从11个人中选出6人，然后平均分成2组：
确定m1：
定：
；
第二步，从剩余的5个人中选出4人，然后平均分成2组，剩余一人则唯一确
确定m2：
代入乘法原理公式：

所以，选B。
3.多人传球法
例11：
；
对右下图正八边形的8个区域进行涂色，颜色从红、黄、蓝三种当中选取，
每个区 域选择一种颜色，并且要求相邻区域选取不同的颜色。请问一共有多少
种涂色的方法？（ ）
A. 86 B. 174 C. 216 D. 258

【答案】D
【解析】[题钥]

“8个区域进行涂色，颜色 从红、黄、蓝三种当中选取，每个区域选择一种颜
色，并且要求相邻区域选取不同的颜色”，我们从区域 1开始考虑，区域1一共有3
种涂色的方法，先假设区域1被涂了红色，然后进行顺时针依次考虑：区域 2选
取与区域1不同的颜色；区域3选取与区域2不同的颜色……区域7选取与区域6
不同的颜 色；最后区域8选取与区域7不同的颜色，并且与区域1也要不同。

这个过程 相当于“3个人（红、黄、蓝）传球，从‘红’出发，依次传8次球
（1→2→3→4→5→6→7→8 →1），最后传回到‘红’的手里”。属于多人传球型问题。
[解析]
根据题意：
假设区域1被涂了红色；
确定M：3；
确定N：8；
代入多人传球公式：

与85.33最接近的整数85为传给“非自己的某人”即非“红”的方法数；
与85.33第二接近的整数86便是传给自己即“红”的方法数。
由于区域1可以涂“红、黄、蓝”3种颜色：
因此总情况数应为：
86×3＝258（种）。
所以，选D。
4.等价转换法
例12：
假设x、y、z是三个非零自然数，且有x+y+z=36，则共有多少组满足条件
的解？
A. 700 B. 665 C. 630 D. 595
【答案】D
【解析】[题钥]
此时可进行等价转化，由于x、y、z是三个非零自然 数，因此等价于36个“1”
排成一排，内部形成35个空隙，在这35个空隙插入两个相同的物体，有 几种插
入法。
[解析]
此题等价于：
“36个“1”排成一排，内部形 成35个空隙，在这35个空隙插入两个相同的物体，
有几种插入法。

35个空隙插入两个相同物体的方法：

所以，选D。