印度合伙人-tongzhiwo

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排列组合常用解题技巧
1 相邻问题捆绑法

1.
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
A,B必须相邻且
B
在
A
的右边，则不同的排法有（ ）
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
2. 有8本不同的书 ；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书
排在一起 ，外语书也恰好排在一起的排法共有 种．
3. 7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法
4. 8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法
5. 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法

2 相离问题插空法

1. 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是
2. 排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法
3. 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法
4. 4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种
5. 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不
能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种

3 定序问题缩倍法

1. A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有
2. 6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种
3. 4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法
4. 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况

4 分排问题用“直排法”

1. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是
2. 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排 ，有多少种不同
排法
3. 7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种

5 可重复的排列求幂法

1

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1. 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法
2. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种；
3. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法

6 名额分配问题隔板法(无差别物品分配问题隔板法)

1. 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案
2. 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种
3. 10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分法 ；每人至少两个
4. 10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法

7 分组问题
(1) 非均匀分组：是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组
1. 七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法
(1) 分成三组，分别为1人、2人、4人；
(2) 选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人。



(2)均匀分组:指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
1. 从7个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两组，每组都是3人，有多少种不同的分法
记7个人为a、b、c、d、e、f、g写出一些组来考察。如下表：
选3人
a b c
d e f
a b c
d e g
……

2. 将十个不同的零件分成四堆，每堆分别有2个、2个、2个、4个，有多少种不同的分法
记十个零件为a、b、c、d、e、f、g、h、i、j写出一些组来考察，如下表：
选2个 再选2 又选2个 剩下四个 分组方法数
再选3人
d e f
a b c
d e g
a b c
……
分组方法种数
这两种只能
算一种分法
这两种只能
算一种分法
……
2

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a b
a b
c d
c d
e f
e f

c d
e f
a b
e f
a b
c d
e f
c d
e f
a b
c d
a b
g h i j
g h i j
g h i j
g h i j
g h i j
g h i j

3. 把6个不同苹果平均分成三堆，一共有 种分法.
4. 把6个不同的苹果分成4堆，一共有 种分法.
5. 6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法
6. 将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队， 有多少分法

(3)编号分组
① 非均匀编号分组
1. 从7个参加义务劳动的人中选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法
2. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的
安
排方案种数为______
② 均匀(部分均匀)编号分组
1. 有5本不同的书全部分给3人，每人至少一本，有多少种不同的分法
2. 把6个不同苹果平均分成3份给3个小朋友，一共有 种分法.
3. 某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数
4. 名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种
5. 本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为
6. 有6名同学，求下列情况下的分配方法数：
① 分给数学组3人，物理组2人，化学组1人；
② 分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；
③ 分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人；
④ 平均分成三组进行排球训练。






3

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8 特殊元素（位置）的“优先安排法”

1. 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 。
2. 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排 种．
3. 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余
7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.
4. 8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法
5. 7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法

9 环排问题直排法
原理：如果在圆周上
m
个不同的位置编上不 同的号码，那么从
n
个不同的元素的中选取
m
个不同的元素排在圆
周 上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从
n
个不同的元素的中选取
m个不同的元素排列在圆周上，位
置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列 和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一
个
m
个元素的环形排列，相当于一个 有
m
个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排
列，即一 个
m
个元素的环形排列对应着
m
个直线排列，设从
n
个元素 中取出
m
个元素组成的环形排列数为
N
个，则
mm
对应的直 线排列数为
mN
个，又因为从
n
个元素中取出
m
个元素的排 成一排的排列数为
A
n
个，所以
mNA
n
，所
m
A
n
以
N
．
m
m
A
n
即从
n
个元素中取出
m
个元素组成的环形排列数为
N
．
m
n
A
n
n!
n
个元素的环形排列数为
N (n1)!

nn
1. 8人围桌而坐，共有多少种坐法
2. 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈

10 “至少”“至多”问题：正难则反——排除法


1. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有
2. 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种．

3. 100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法

排列组合强化练习题1
1. 7个人并排站成一排
(1) 如果甲必须站在中间，有__________________种排法.
(2) 如果甲、乙两人必须站在两端，有_____________________种排法.
4

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2. 用0，1，2，3，4，5，可以组成没有重复数字的四位偶数_________________个.
3. 四男三女排成一排，(1) 三个女的要相邻，有________种排法;
(2) 女同学必须按从高到矮的顺序(可不相邻)有___________种.
4. 四男三女排成一排，(1) 女同学互不相邻，有____________种排法.
(2) 男同学互不相邻，女同学也互不相邻，有____________种排法.
5. 8人排成一排，其中甲、乙两人不排在一起，有______________________种排法.
6. 18名同学，(1)平均分成三组，有____________种分法.
(2)平均分给数、理、 化小 组有___________种分法.
(3)分配给化学小组7人，物理小组6人，数学小组5人，有 __________种分法.
(4)分给数、理、化小组，其中一个组为5人，一个组为6人， 一 个组为7人，有_________种分
法.
8. 某班上午要上语文、数学、体育和英语，又体育教师因故不能上第一节和第四节， 则不同的排课方案有_____种.
9. 从5位女同学，6位男同学中选出3位女同学和2位男同学 担任五种不同的职务，有____________________种选法.
10. 从甲、乙，......，等6人中选出4名代表，那么
(1) 甲一定当选，共有___________种选法；
(2) 甲一定不入选，共有_________种选法.
(3) 甲、乙二人至少有一人当选，共有_____________种选法.
11. 将5本不同的数学书，4本不同的物理，3本不同的化学书排成一排，
(1) 各类书必须排成一起，问有________________________种排法.
(2) 化学书不全排在一起，问有________________________种排法.
(3)化学书每两本都不相邻，问有________________种排法.
12. 有男女售票 员各4人，被分配在四辆公共汽车上，要求每辆车上男、女各1人，则有________________种分 法.
13. 四个男孩和三个女孩站成一列，男孩甲前面至少有一个女孩站着，并且站在这个男 孩前面的女孩个数必少于站
在他后面的男孩的个数，则有____________ 种站法.

排列组合强化练习题2

1．某年全国足球甲级联赛共有14个队参加， 每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛


2．一个火车站 有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）

5

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3．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序

4．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面， 并且不同
的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号


5． 将
4
位司机、
4
位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别 有一位司机和一位售票员，共有多
少种不同的分配方案


6．7位同学站成一排
（1）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种
（2）甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种
（3）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种
(4）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种
（5）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种
(6）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起
（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种
（8）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种


7.从10个 不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，
则共有多少种不同的排法


8．5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：
（1）男女相间；
（2）女生按指定顺序排列


9．如图，用 6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格
子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种


6

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10．（江苏）某校开设9门课程供学生选修，其中
A,B,C
三门由于上课时间相同，至多
选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 种不同选修方案。

11．（北京）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端 ，不同的排
法共有（ ）
A．1440种 B．960种


12．（全国）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员 ，其中甲、乙二人不能担
任文娱委员，则不同的选法共有 __________ 种．（用数字作答）


13．（ 全国）从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参
加，星期六、星期日各有1人参加，则不同 的选派方法共有（ ）
A．40种


14. （陕西）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有_____ 种.


15．（四川）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比2 0000大的五位偶数共有（ ）
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个


16．（重庆）某校要 求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有 _.


17．（宁夏）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每 个工厂至少安排一个班，不同的安排
方法共有 ．
18．




B．60种 C．100种 D．120种
C．720种 D．480种
7