dnf剑神-劫教学

7排列组合的综合问题（第7课时）
**学习目标**
1．
2．
**要点精讲**
1．
2．
**范例分析**
例1．

例2．排列、组合的混合问题，主要指既与组合有关，又与排列有关的应用问题.如分配
问题.
例6 六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?
(1) 分为三堆,每堆2本；
(2) 分为三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本；
(3) 分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(4) 分给甲、乙、丙三人，一人得1本，一人拿2本，一人得3本；
(5) 分给甲、乙、丙三人，每人至少得1本.
解 (1) 依题意,每次从书中取2本,共有种取法.但 ab，cd，ef；ab，ef，
cd；cd，ef，ab；cd，ab，ef；ef，ab，cd；e f,cd，ab.作为三堆书来说，它们是同一种分法.
故将6本书分成三堆,每堆2本,应有

＝15种不同的分法．
(2) 共有＝60种不同的分法．
(3) 解法１ 由(1)先将6本书分成三堆，每堆2本，共有

再分给甲、乙、丙三人，有
种分法（先分组）；

·

种分法（再分配）．故共有90种不同的分法．
解法２ 甲先取，有

种取法；乙再去取，有

种取法；最后丙去取，有

种取

1

法．故共有

·

·

＝90种取法．
(4) 由于谁得1本，2本，3本并不确定，即得1本书的可以是甲，也可 以是乙，也可
以是丙．故相当于在(2)的基础上，将三堆书分配给甲、乙、丙三人，故共有
＝ 360种分法．
(5) 依题意，可以有如下三种分法：ⅰ)2，2，2；ⅱ)1，2，3；ⅲ)1，1，4．
ⅰ)就是题(3)； ⅱ)就是题(4)．
ⅲ)的分法有

＝90种．
∴ 共有90＋360＋90＝540种分法．
评析 本例属分配问题，解这类问题的基 本思路是先分组，再分配，即先组合、后排列．同
时注意在分组时，若出现平均分组（即两组元素个数相 同）的情况，则要除以组数（即平均
分组的数目）的阶乘．
若平均分组时各组的元素均为1时 ，可将这几个组放在最后取，因为它的分法仅一种，
如题(5)第ⅲ)种情况：1，1，4．我们可以先 从6本书中取出4本，有

本书，分成1，1两堆，只有一种分法，故共有

种取法，剩下的两
种分法．类似地，如将8本书分成1，1，
1，1，2，2六组，则有
法只有1种．

＝840种分法．因为剩下的4本书分成4组，每组1本的分
例4 （2002年北京文科高考题）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，
不同的分法种数为 （ ）
（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种
4
误解：先从5本书中取4本分给4个人，有
A
5
种 方法，剩下的1本书可以给任意一个
4
人有4种分法，共有
4A
5
480
种不同的分法，选A.
错因分析：设5本书为
a
、
b、
c
、
d
、
e
，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分 法可
能如下的表1和表2：


乙 甲
丙
丁
丙
丁
甲
乙
b

b

a


d

d

c

e

c

e

a


表1 表2

2

表1是甲首先分得
a
、 乙分得
b
、丙分得
c
、丁分得
d
，最后一本书
e< br>给甲的情况；表2是
甲首先分得
e
、乙分得
b
、丙分得
c
、丁分得
d
，最后一本书
a
给甲的情况.这两种情况是完
全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次.
正解：首先把5本书转化成4本书， 然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2
24
本捆绑成一本书，有
C
5
种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有
A
4
种方法.由乘法
24
原理，共有
C
5
A
4
240
种方法，故 选B.


例3．

例4．例12、设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方
向跳1
个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法
共 有 种（用数字作答）.
解：赋值。记质点沿x轴正方向跳1个单位为
1
，沿
x
轴负方向跳1个单位为
1
，
经过5次跳动质点落 在点（3，0）处的方法数，即为不定方程
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
3
的解
1
的个数，其中
x
i
1,i1,2,3,4,5
。显然，
x
i
中必有四个数为
1
，一个数为
1
，故有
C
5
5
种方法。
推广1：设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳
1个单位，经过
2n1nN
次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，问质 点

不同的运动方法共有多少种？
仿上，质点不同的运动方法种数，即为不定方程
x
1
x
2
x
3

其中
xi
1,i1,2,3,
n1
有
C
2n1
种方 法。
x
2n1
3
的解的个数，
,2n1
。显然，
x
i
中必有
n2
个数为
1
，
n1< br>个数为
1
，故共
推广2：设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动， 每次向正方向或负方向跳


1个单位，经过
nnN
次跳动质点 落在点

m,0

mn,mN
（允许重复过此点）


处，问质点不同的运动方法共有多少种？
仿上，质点不同的运动方法种数，即为 不定方程
x
1
x
2
x
3

其中
x
i
1,i1,2,3,
x
n
m
的解的个数，
nm
个数为
1
，
2
,n
。显然，
m, n
有相同的奇偶性，且
x
i
中必有
nm
nm
个 数为
1
，故共有
C
n
2
种方法。
2
推 广3：设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿与
x
轴平行或重合的方向跳动，每次

3

向正方向或负方向跳1个单位，沿与
y
轴平行或重合的方 向跳动，每次向正方向或负方向跳


1个单位，经过
nnN
次跳 动质点落在点

s,t

s,tN,stn
（允许重复过此点 ）


处，问质点不同的运动方法共有多少种？
一般地，质点的运动 途径分横、纵两步完成。设沿与
x
轴平行或重合的方向跳动
p
次，
其 方法数为不定方程
x
1
x
2
x
3
x
p
s
（
x
i
1,i1,2,3,,p
）的解的个 数，有
C
ps
2
p
种方法；沿与
y
轴平行或重合 的方向跳动
np
次，其方法数为不定方程
y
1
y
2y
3
y
np
t
（
y
i
 1,i1,2,3,,np
）的解的个数，有
C
ps
2
pnpt
2
np
种方法，
其中
spnt
，< br>p
与
s
、
st
与
n
有相同的奇偶性。记< br>a
p
CC
npt
2
np
，则共有
Ta
s
a
s2
a
s4



**规律总结**
a
nt


a
i
种不同的方法。
is
nt
2.解排列组合的应用题，要注意四点：
（1）仔细审题，判 断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按
事件发生的过程进行分步.
（2）深入 分析、严密周详，注意分清是乘还是加，既不少也不多，辩证思
．．
维，多角度分析，全面考虑 ，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免
出错.
（3）对于附有条件的比较复杂的 排列组合应用题，要周密分析，设计出合
理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计 数原理或分步计
数原理来解决.
（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证 ，因此在检查
结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可
采 用多种不同的方法求解，看看是否相同.在对排列组合问题分类时，分类标准
应统一，否则易出现遗漏或 重复.

**基础训练**
一、选择题
884. 如图,A、B、C、 D是某油田的四口油井,计划建三条路,将这四口油井连结起来(每条路只
连结两口油井),那么不同的 建路方案有 …( )


4

A.12
种
B.14
种
C.16
种
D.18
种

885. 在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴 上有3个点，连成15条线段，
这15条线段在第一象限内的交点最多有( )
A.105
个
B.35
个
C.30
个
D.15
个

886. 将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒 内
放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为
．
A．120 B．240 C．360 D．720
887. (2005年高考 ·湖北卷·文9)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全
部分给4个人，每人至少 分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同
的分法种数是 （ ）
A．168 B．96 C．72 D．144
888. (2005年高考·北京卷·文8 )五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程
队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项 目，则不同的承建方案共有 （ ）
4
A．C
1
4
C
4
种
4
B．C
1
4
P
4
种 C．C
4
4
种 D．P
4
4
种
例6、在某次乒乓 球单打比赛中，原计划每2名选手恰好比赛一场，但有3名选手各比赛
了2场之后就退出了。这样全部比 赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是
（ ）
A.0

B.1

C.2

D.3

解：选B。设共有选手
n
名，则50场比赛中包括了

n3

名选手的所有比赛，3名选手
之间的比赛
r
场，以及

n3

名选手与3名选手间的比赛场数
x
。
因为3名选手各赛了 2场，共赛6场，但3名选手之间的比赛被重复计算，所以
x62r
。
2
由此可得，
50C
n3
r

62r

，其中
0r3
，
n5,nN
。
所以，

n3

n4

882r
，只有当
r1
时有整数解
n13
。

例7、在集合
M

1 ,2,3,,10

的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交
集都不是 空集，则这样的子集最多有（ ）
A、 1024个 B、512个 C、100个 D、81个
解：选B。由集合M的所有6、7、8、9、10元子集构成的子集族满足条件，另外，在
所有5元子集中，有一半符合条件，故共有
C
10
C
10
C
10
C
10
C
10

678910
1
5
C
10
512
个。
2
例20、两个同心 圆，小圆上有3个点，大圆上有6个点，经过这9个点，最多可组成多少
条直线？最少可组成多少条直线 ？
2
解：最多有
C
9
36
条；当小圆上两点与大圆上两 点共线时，可组成的直线最少，有
22
C
9
3C
4
3 21
条。

5

二、填空题
889. 【2004浙江理15文16】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正
方向或负方 向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，
则质点不同的运动方法共有 __________种

三、解答题


**能力提高**
11．从1、2、3、4、7、9这6个数中任意取出两个数分别作为一个对数的底数与真数，可
组成多少个不同的对数值？
解：当1为对数的真数时，对数值为0；从2、3、4、7、9这5个数 中任意取出两个数分别
2
作为一个对数的底数与真数，可以写出
A
5
个对数式，其中对数值相同的有
log
2
3log
4
9
，
log
3
2log
9
4
，
log
2< br>4log
3
9
，
log
4
2log
9< br>3
，故可组成
2
1A
5
417
个不同的对数值。


**参考答案**

1．排列
（1）排列的定义：从
n
个不同的元素中取出
m
(mn)
个元素，按照一定的 排成一
列，叫做从
n
个不同的元素中取出
m
个元素的一个排列。 < br>（2）排列数的定义：从
n
个不同的元素中取出
m
(mn)
个元素的 的个数叫做
m
从
n
个不同的元素中取出
m
个元素的排列数，用
A
n
表示。
m
（3）排列数公式：
A
n
＝ .
（4）全排列：
n
个不同的元素全部取出的 ，叫做
n
个 为同元素的一个全排列，
m
A
n
n(n1)(n2)21 ________
.于是排列数公式写成阶乘的形式为
m
A
n
__ ______
，这里规定
0!_______.

2．组合
（1 ）组合的定义：从
n
个不同的元素中取出
m
(mn)
个元素 叫做从
n
个不
同的元素中取出
m
(mn)
个元素的一个组 合。
（2）组合数：从
n
个不同的元素中取出
m
(mn)
个元素 的个数，叫做从
n
个
不同的元素中取出
m
(m n)
个元素的组合数，用
C
n
表示。

6
m< /p>

m
A
n
（3）组合数的计算公式：
C＝______ ______＝___________.
由于
(　　　　)
m
n
0
0!_______
C
n
所以
______.

mm
（4）组合数的性质：①
C
n
___________
；②
C
n1
____________________.




1．排列与组合的定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。处理排列组合的综 合题一般
思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，
始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过训练要注意积累分类与分步的基本技能；
2 ．复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解
题途径。由于结 果的正确性难以直接验证，因而常常需要用不同的方法求解来获得对结果的
检验；
3．在解决 排列组合的综合题蛙，必须深刻理解排列组合的概念，能够熟练确定一个问题是
排列问题还是组合问题， 牢记排列数、组合数的计算公式和组合数的性质。
4．排列组合问题的常见解法主要有以下几种：
（1）特殊元素优先安排的策略；
（2）合理分类与准确分步的策略；
（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；
（4）正难则反、等价转化的策略；
（5）相邻问题捆绑处理的策略；
（6）不相邻问题插空处理的策略；
（7）定序问题除法处理的策略；
（8）分排问题直排处理的策略；
（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；
（10）构造模型的策略。

例4．4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球：
（1）若取出的球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法？
（2）取出一个红球记 2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不小于5分，则有多
少种不同的取法？
［剖 析］（1）由于取出的4个球中红球的个数不少于白球的个数，因此至少要取出2个红球，
可分为三类： ①全部取出红球；②取出3个红球；③取出2个红球，可用搭配法进行求解。
［解］（1）依题意可知，取出的4个球中至少有2个红球，可分为三类：
431
① 全取出红球，有
C
4
种不同的取法；②取出的4个球中有3个红球1个白球，有
C
4
种
C
6
22
取法；③取出的4个球中有2个红球2 个白球的取法有
C
4
种不同的取法，
C
6
43122< br>由分类加法计数原理知，共有
C
4
＋
C
4
＋
C
4
＝115种不同的取法。
C
6
C
6
（2 ）依题意中知，取出的4个球中至少要有1个红球，从红白10个球中取出4个球的取法

7

44
44
有
C
10
种不同的取法，而全是白 球的取法有
C
6
种，从而满足题意的取法有：
C
10
－C
6
＝195.
［警示］在解决某些问题时，直接法往往不能奏效，需要利用间 接法去求解，即把问题中不
符合题意要求的情况求出来，从总数减去即可得到所要求解的结果。直接法与 间接法在使用
时要根据题目的特点进行恰当地选择，在直接法不便解题时，应考虑使用间接法。
例5．某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个公司中抽调出10辆车，
并且每个 车队中至少抽取1辆车，那么共有多少种不同的抽调方式？
［剖析］要抽取7辆车，可以看作是将7个 抽取名额分配到7个车队中去，每个车队至少有
一个名额，从而可想到分类，也可以使用挡板法。 ［解］解法一：在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车，可分为三类：从第一个
1
车队中抽调，有
C
7
种；从两个车队中抽调，一个车队中抽1辆，另一个车队中抽2 辆，有
3
2
35
种。故由分类加法计数
C
7
4 2
种；从三全车队中抽调，每个车队中抽调1辆，有
C
7
原理知，共有
7423584
种抽调方法。
解法二：（档板法）由于每个车队的车均多于4辆，只 需将10个份额分成7份.可将10个元
素排成一排，在相互之间的9个空档（除去两端）中插入6个档 板，即可将元素纷成了7
6
份，因而有
C
9
84
种抽调方 法。
［警示］指标分配问题是指
n
个相同的元素分配给
m
个不同的 单位（
nm
），每个单位至
少分配一个元素。该问题常用档板法来解决，在元素的个 数不是太多时，有时也可以用分类
法来解决（如本例）。在有些问题中，有时还需要分析，把相似的其它 问题转化为档板问题，
比如求方程
abc10
有多少组不同的正整数解，就相当 于当10个相同的糖果分给3个
小朋友，每位小朋友至少一个，有多少种不同的排法。
例6． 有10只不同的试验产品，其中4只是次品，6只是正品。现每次取1只进行测试，直
到4只次品全部测 出为止，求最后1只次品恰好在第五次测试时被发现的不同的情形有多少
种？
［剖析］本题的实质是前五次测试中有1只是正品，4只正品，且第五次测试的是次品。
［解 ］解法一：设想有5个位置，先从6只正品中任选1只，放在前四个位置的任一个上，
114
有
C
6
种排法，故不同的情
C
4
种方法；再把4只次品在剩余 的四个位置上任意排列，有
A
4
4
11
形有
C
6< br>576
种。
C
4
A
4
1
解法二：设想有 5个位置，先从4只次品中任选1只，放在第五个位置上，有
C
4
种方法；
1 4
再从6只正品中任选1只，和剩下的3只次品一起在前四个位置上任意排列，有
C
6
A
4
种方
14
1
法。故不同的情形共有
C
4
C
6
A
4
576
种。
［警示］排列组合问题 从解法看，大致有以下几种：（1）有附加条件的排列组合问题，大多
需要分类讨论的方法，注意分类时 应不重不漏；（2）排列与组合的混合型问题，用分类加法
或分步乘法计数原理解决；（3）元素相邻， 可以看作是一个整体的方法；（4）元素不相邻，
可以利用插空法；（5）间接法，把不符合条件的排列 与组合剔除掉；（6）穷举法，把不符合
条件的所有排列或组合一一写出来。
1．（2006 年天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得
放入每个盒子里的球的个 数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
2．（2007年广东深圳）5人站成一排,甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数 ( )
A． 18 B．24 C． 36 D． 48
3．以一个正方体顶点为顶点的四面体共有（ ）
A．70个 B．64个 C．58个 D．52个

8

4．有甲、乙、丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承
担这三项任务，不同的选法总数有（ ）
A．1260种 B．2025种 C．2520种 D．5040种
5．（20 06年全国II卷）5名志愿者分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，
则不同的分法有（ ）
A．150种 B．180种 C．200种 D．280种
6．为配制 某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染
料的添加顺序不可以相邻 。现研究试验所有的不同添加顺序对染色效果的影
B
响，总共要试验的次数为 （用数字作答）
7．如图，A、B、C、D为海中的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连
A
接起来，不同的建桥方案共有 种。
8．在平面直角坐标系
xoy
中，已知点A（1,1）、B（－2，－2）、C（3,5）、
D
C
D（－1,1 ）、E（1，－1）、O（0,0），则过这6个点可以组成的不同的三角
形的个数为
9．（2006年江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球
排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。
10．在一张节目表上原有6个节目 ，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节
目，求共有多少种安排方法?






11.四面体的顶点和各棱的中点共10个点， 在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有多
少种？



12. 某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到4件次品
全部测出为止，则最后一件次品恰好在第6次检测时被测出，这样的检测方案有多少种？

10.4 排列与组合的综合问题

●知识梳理
1.排列、组合都是研 究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间
的主要区别在于是否要考虑选出元素的 先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑
顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的 元素进行排队，因此，分析解决排列组
合问题的基本思维是“先组，后排”.
2.解排列组合的应用题，要注意四点：
（1）仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要 按元素的性质分类，按事件发生的
过程进行分步.
（2）深入分析、严密周详，注意分清是乘 还是加，既不少也不多，辩证思维，多角度
．．

9

分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错.
（ 3）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，
把复杂问题分解成若 干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决.
（4）由于排列组合问题的答案一般数 目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应
着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或 遗漏，也可采用多种不同的方法求
解，看看是否相同.在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则 易出现遗漏或重复.
●点击双基
1.（2004年福建，理6）某校高二年级共有六个班级 ，现从外地转入4名学生，要安排
到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为
2
A.A
6
C
2
4
B.
1
22
A
6
C
4

2

2
C.A
6
A
2
4

2
D.2A
6

解析：将4名学生均分成两组，方法数为
2
法数为A
6
，∴合要求的安排方法数为
1
2
C
4< br>，再分配给6个年级中的2个，分配方
2
1
22
C
4
·A
6
.
2
答案：B
2.从5名学生中选出4名分别参加数学、 物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、
化学竞赛，则不同的参赛方案种数为
A.24 B.48 C.120 D.72
43
解析：若不含A，则有A
4< br>若含有A，则有C
3
C
1
A
3
C
1
A
3
4
种；
4
·
2
·
3
种.∴A
4
+C
4
·
2
·
3
=72.
答案：D
3.5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为
A.480 B.240 C.120 D.96
22
解析：先 把5本书中的两本捆起来（C
5
），再分成四份（A
4
，∴分法种数为C5
·A
4
4
）
4
=240.
答案：B 4.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数
字的 四位数，其中能被5整除的四位数共有_____________个.（用数字作答）
解析：①四位数中包含5和0的情况：
112
C
1
（A
3
3
·C
4
·
3
+A
2
·A
2）=120.
②四位数中包含5，不含0的情况：
23
C
1
3
·C
4
·A
3
=108.
③四位数中包含0，不含5的情况：
23
C
3
C
1
4
A
3
=72.
综上，四位数总数为120+108+72=300.
答案：300
5.市内某公 共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，
则恰好有5个连续空座位 的候车方式共有_____________种.（用数字作答）
解析：把四位乘客当作4个元素作全 排列有A
4
4
种排法，将一个空位和余下的4个空位

10

22
作为一个元素插空有A
5
种排法.∴A
4
4< br>·A
5
=480.
答案：480
●典例剖析
【例1】 从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，
乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?
解法一：问题 分成三类：（1）甲、乙两人均不参加，有A
4
（2）甲、乙两人有且仅
4
种 ；
43432
有一人参加，有2C
3
（3）甲、乙两人均参加，有C
2
4
（A
4
－A
3
）种；
4
（A
4
－2A
3
＋A
2
）
种.故共有252种.
4< br>解法二：六人中取四人参加的种数为A
6
，除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位< br>34
置的有C
1
因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A
2
2
A
5
种，
4
减去了两次.故共有A
6
－32
C
1
2
A
5
＋A
4
=252种.
评述：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理.
【例2】 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次
品为止. 若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
134
解：C
1
4
（C
6
C
3
）A
4
=576 ，第5次必测出一次品，余下3件在前4次被测出，从4件
13
中确定最后一件品有C
1
4
种方法，前4次中应有1正品、3次品，有C
6
C
3
种 ，前4次测试
中的顺序有A
4
4
种，由分步计数原理即得.
评述： 本题涉及一类重要问题，即问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先
选元素（即组合）后排列 .
思考讨论

用类似的方法，讨论如下问题.
某种产品有5件不同的正品 ，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到4件次品
全部测出为止，则最后一件次品恰好在第6次 检测时被测出，这样的检测方案有多少种？
提示：问题相当于从10件产品中取出6件的一个排列，第 6位为次品，前五位有其余
3件次品，可分三步：先从4件产品中留出1件次品排第6位，有4种方法； 再从5件正品
2
中取2件，有C
5
种方法；再把3件次品和取出的2件正品排 在前五位有A
5
5
种方法.所以检
2
测方案种数为4×C
5
·A
5
5
=4800.
【例3】 在一块并排10垄的田地中，选 择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种
植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不 小于6垄，则不同的种植方法共有
多少种？
解：依题意，A、B两种作物的间隔至少6垄，至 多8垄.（1）间隔6垄时，有3×A
2
2
种；

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