什么是创新-电脑图标有阴影

选修2-3：排列组合常见题型
可重复的排列（求幂法）
重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。
在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。
【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
【解析】：（1）
3
（2）
4
（3）
4

4
33
相邻问题（捆绑法）
相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
【例1】
A,B,C,D ,E
五人站成一排，如果
A,B
必须相邻且
B
在
A
的右边，那么不同的排法种数有
4
【解析】：把
A,B
视为一人， 且
B
固定在
A
的右边，则本题相当于4人的全排列，
A
4< br>24
种
练习：（2012辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
(A)3×3！ (B) 3×(3！)
3
(C)(3！)
4
(D) 9！
【解析】：C
相离问题（插空法 ）
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再 把规定的相离的几个元素插入上
述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
5
2
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为
A
5
种，再用甲乙去 插6个空位有
A
6
种，不同的排法种数是
52
A
5
A
6
3600

【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法
111
【解析】：
A
7
A
8
A
9
=504

【例3 】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三
盏， 也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
【解析】：把此问题当作一个排队模型，在 6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
C
5
= 10
种方法。
1 11第 1 页 共 11 页
3

说明：一些不易理解的排列 组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒
模型可使问题容易解决.
【例4】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？ 【解析】：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一
把椅子去插空，于是有A
3
4
=24种.
练习1：(2014辽宁)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144 B.120 C.72
【解析】：D
练习2： 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车
方法有多少 种？
【解析】：先排好8辆车有A
8
8
种方法，要求空车位置连在一起，则 在每2辆之间及其两端的9
18
个空档中任选一个，将空车位置插入有C
1
9
种方法，所以共有C
9
A
8
种方法.
D.24
练习3: 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工
程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6
项工程的不同排法种数是
【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有
A
5
2
＝20种不同排法。
元素分析法（位置分析法）
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
【例1】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
【解析】：老 师在中间三个位置上选一个有
A
3
种，4名同学在其余4个位置上有
A
4
种方法；所以共有
14
A
3
A
4
72
种。.
14
练习1： 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
16
25
【解析】 法一：（从元素分析）
A
5
A
6
3600
法二：（从位置分析）
A
6
A
5
3600

766
法三：
A
7
A
6
A
6
36 00

2 11第 2 页 共 11 页

练习2：（2010山 东理）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、
节目乙不能排在第 一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
（A）36种 （B）42种 (C)48种 （D）54种
【解析】：B

多排问题（单排法）
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后< br>排，有多少种不同排法？
6
【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可 看成6个不同的元素排成一排，共
A
6
720
种
2（2）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有
A
4
种，某1个元 素排在后半段的四个
15
125
位置中选一个有
A
4
种，其 余5个元素任排5个位置上有
A
5
种，故共有
A
4
A
4
A
5
5760
种排法.
定序问题（缩倍法）
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
【例1】.
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边 （
A,B
可以不相邻）那么不同的
排法种数是（ ）
5
A
5
【解析】：
60
种
2

A
2
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 多少种不同的插法？
A
9
9
3
【解析】：法一：
6
法二：
A
9

A
6
练习：．从1，2，3，…，9九个数 字中选出三个不同的数字a，b，c，且a＜b＜c，作抛物线
y＝ax
2
＋bx＋c，则不同的抛物线共有 条（用数字作答）．
3
A
9
3
【解析】：
C
9
84
种
3
A

3



3 11第 3 页 共 11 页

标号排位问题（不配对问题）

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，
依次即可完成.（常用树状图）
【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个
方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
【解析】B
练习：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，
则4张贺年卡不同的分配方式共有( )
（A）6种
【解析】B
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）
A 10种 B 20种 C 30种 D 60种
【解析】B
不同元素的分配问题（先分堆再分配） 注意平均分堆的算法。

【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3） 分成每组都是2本的三个组；
（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
（5） 分给5人每人至少1本。
222
2111
C
6
C
4
C
2
C
6
C
4
C
3
C
2
5
222
CCC
【解析】：（1）
CCC
（2）
CCCA
（3） （4） （5）
A
5

642
3
4
A
3
A
4
（B）9种 （C）11种 （D）23种
1
6
2
5
3
3

1
6
2
5
3
3
3
3
练习：将4名大学生分配到3个乡镇去当村官， 每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种
211
C
4
C
2
C
1
3
【解析】：
A
3
3 6
2
A
2

【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）
（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
4 11第 4 页 共 11 页

311122
C
5< br>C
2
C
1
C
5
C
4
C
2< br>33
A
A
【解析】：+ ＝150，选A
3
3
2
2
A
2
A
2
练习1：四个不同球放入编号为1，2，3， 4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
【解析】：144
练习2：5人到一个5 层居民楼调查，每人随机选一层，且选每个楼层可能性相等，则恰好只有3个楼
层有人调查，且没有被调 查的2层不相邻的安排方法有多少种？
【解析】（1）、先将5人分组，可分为3+1+1或2+2+1
（2）、将3组排成一列，会产生4个空，对这4空选2个进行插空。
3111
C< br>5
C
2
C
1
C
5
2
C
3< br>2
C
1
32
即共有
()A
3
C
4
900
种排法。
22
A
2
A
2
练习3 ：（2016合肥一模理10）某企业的4名职工参加职业技能考核,每名职工均可从4个备选考核项
目 中任意抽取一个参加考核,则恰有一个项目未被抽中的概率为
97
2781
B. C. D.
1616
64256
211
C
4
C
2
C
1
3< br>A
4
2
A
2
9
【解析】
P
，选A

4
16
4
A.

练习4：（2015 合肥三模理8）某校计划高一年级四个班级开展研学旅行活动，初选了A,B,C,D四条不同
路线，每 个班级只能在这四条线路中选择一条，且同一线路最多只能有两个班级选择，则不同的选择方
案有( )
A．240种 B．204种 C．188种 D．96种
【解析】答案B。
选4条线路时有
A
4
4
种
1 12
C
2
C
2
32
4
C
2
C1

4
C
2

, 选3条线路时有种, 选2条线路时有
AA
44
种.
22
A
2
A
2
相同元素的分配问题（隔板法）
【例1】： 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆
至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，
6
故共有不同的分配方案为
C
9
84
种.
【例 2】把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其
编号 数，则有多少种不同的放法？
【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17
5 11第 5 页 共 11 页

2
个球分成3份，转化为每份 至少一球，运用隔板法，共有
C
16
120
种放法。
练习1：（ 2012合肥二模理9）50台完全相同的校车发放给10所学校，每校至少2台，则不同发放方
案有_ ___种。
【解析】：
C
39

练习2：如图为7

3方格，每个方格均为正方形，则图中共有多少个矩形?
9



【解析】：
C
8
C
4

22





















练习3:（1）三元一次方程
xyz10
所有正整数解有多少个?
（2）三元一次方程
xyz10
所有非负整数解有多少个?
【解析】：（1）
C
9
（2）
C
12

【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个
中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有
C
4
种方法。
2、注意到小球都是相 同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相
同的白球、5个相同的黑 球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有
C
3
、2
2
2
3
C
4
2
、
C
52
种方法。 3、由分步计数原理可得
C
4
3
C
32
C
4
2
C
5
2
=720种
多面手问题（ 分类法---选定标准）
【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、
日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日
语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
44313
【解 析】：
C
5
C
4
C
5
C
2
C< br>4
C
5
C
2
C
4
C
5
C
4
C
5
C
4
C
5
C
2C
1
C
4

走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）
【例】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台
阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
6 11第 6 页 共 11 页

【解析】 ： 插空法解题：考虑走3级台阶的次数：
1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；
2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；
3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
1
（a）两次三级台阶挨着：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有
C
6
6
种
2
（b）两次三级不挨着：相当于把这两个不挨 着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有
C
6
15
种
4）有3次（不可能）
5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶 放到3级台阶形成得空
12
中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种
C
5
C
5
15
走法；
6）有5次（不可能）
故总共有：1+6+15+15=37种。
练习：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )
（A）34种
【解析】：C
（B）55种 （C）89种 （D）144种
排数问题（注意数字“0”）

【例1】（2016年四川高考）用数字1，2，3， 4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
（A）24 （B）48 （C）60 （D）72
【解析】：D
练习：（2013山东理）试用0,1,……,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为
A．243 B．252 C．261 D．279
【解析】：
91010998
252 选 B
（ ） 练习：（2010四川10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数 的个数
是（ ）
A.72 B.96 C.108 D.144
【解析】：C
【例2】从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数， 使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多
少种？
7 11第 7 页 共 11 页 < /p>

【解析】：将
I

1,2,3,100

分 成四个不相交的子集，能被4整除的数集
A

4,8,12,100
；能
97

，能被4除余2的数集
C

2,6,,9 8

，能被4除余3的数被4除余1的数集
B

1,5,9,集
D

3,7,11,
易见这四个集合中每一个有25个元素；从A
中任取两个数符合要；从
B,D
99

，
中各取一个 数也符合要求；从
C
中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合
2112
要求的取法共有
C
25
种.
C
25
C
25
C
25
涂色问题
【例 1】用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂
不同颜 色，则不同的涂色方法有多少种？

①

③
④

②


分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4 种方法，接着给③号涂色方法有3种，由
于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原 理，不同的涂色方法有
5434240

根据共用了多少种颜色讨论，分别计 算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法
种数。
【例2】（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4
；
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有
A
；
（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有
A
4
；
（5）②与④同色、③与⑥同色，则有
A
4
；
所以根据加法原理得涂色方法总数为5
A
4
=120
【例3】（2 003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域
不得使用同 一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
2
分析：依题意至少要用3种颜色
1 5
3
3
当先用三种颜色时，区域2 与4必须同色，区域3与5必须同色，故有
A
4
种；
4
当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有
A
4
种；
若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有
A
4
种，
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
⑤
⑥

②
①
④
③
8 11第 8 页 共 11 页

故用四种颜色时共有2
A
4
种。
由加法 原理可知满足题意的着色方法共有
A
4
+2
A
4
=24+2

24=72
根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域 同色与不同色入手，分别计算出两种
情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
【例 4】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个
区域涂 不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
分析：可把问题分为三类：
4
四格涂不同的颜色，方法种数为
A
5
；
34
4
12
有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为
2 C
5
A
4
；
2
两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为
A
5
，
2
3
1
4
2122
因此，所求的涂法种数为
A
5
2C
5
A
4
A
5
260


【例5】将一个四棱锥
SABCD
的每个顶点染上一种 颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5
种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？

D
解：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，
A
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ S
C
解答略。
B


【例6】用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂
不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
解：（1）使用四颜色共有
A
4
种
（2）使用三种颜色涂色，则必 须将一组对边染成同色，故有
C
4
C
2
A
3
种，
（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有
A
4
种
41122
因此，所求的染色方法数为
A
4
C
4
C
2
A
3
A
4
84
种
2
4
112
【例7】四棱锥
PABCD
，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个 面上，要求相邻不同色，有多少种涂
法？

P


1
2

5

D



3
C

4
A

B
9 11第 9 页 共 11 页

解：这种 面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5
相当于底面 ；根据共用颜色多少分类：
（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有
A
4
种；
（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有
C
2
A
4
；
314
故满足题意总的涂色方法总方法交总数为
A
4
C
2
A
4
72

3
14

最短线路问题：分解与合成
【例1】如图所示是一个由边长为1个单位的12个正方形组成的
34
棋盘，规定每次只能沿正方形的
边运动，且只能走一个单位，则从
A< br>走到
B
的最短路径的走法有 种
B

A


【解析】35.要想从
A
走到
B
的 路径最短，只需走7个单位，并且这7个单位中，有3个横单位和4个
3
35
种 竖 单位；在这7各单位中，只要3个横单位确定，走法就确定；所以
B
的最短路径的走法有
C
7
练习：（2016新课标II理5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合 ，再一起到位于G
处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为【答案】 B


（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
【解析】：选B.由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为
C
4
6
，再从F处到G处最
1
短路径的条数为
C
3
3
，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
6318
。
2
环排问题
【例1】5人A,B,C,D,E围桌而坐，有多少种坐法？

4
【解析】
A
4
。
围桌与坐成一排不同点在于，坐成圆形无 首尾之分，所以固定一人A
，并从此位置把
圆形展成直线，其余4人共有排法
A
4
4


1
一般地，n个不同元素作圆形排列，共有
A
n
n
1
种排法。



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变式：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石图?

5
A
6
解：
2
.设6个不同钻石为，
a ,b,c,d,e,f
。与围桌而坐情，情形不同点在于：
A
2
钻石圈可以 翻转，
a,b,c,d,e,f
与
f,e,d,c,b,a
在本题中一样，

部分合条件问题排除法
在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．
【例1】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有( )
A．70 个B．64 个 C．58 个D．52 个
【解析】
选 C．分析正方体8个顶点，从中每次取四点，理论上 可构成
C
8
个四面体，但6个
4
表面和6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所

以四面体实际共有
C
8
4
－12＝58个，


【例2】正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．
【解析】 从7个点中取3点的取法有
C
7
种，但有三组三点共线不能构成三 角形，故所求三角形有
3
C
7
－3＝32个．
3
“至多”“至少”问题（间接法或分类）

例1、从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲、乙各一台，则不同的取法有多少种？
【解析】不分条件有
C
9
种，全是甲
C
4
种，全是 乙
C
5
种，共有
C
9
-
C
4
-< br>C
5
=70种
练习1：【2015上海理8】在报名的
3
名 男教师和
6
名女教师中，选取
5
人参加义务献血，要求男、女教
师都 有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
55
C
6
1266120.
【解析】：
C
9
3
3
33
3
3
练习2：（2009全国Ⅱ理）甲、乙两 人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不
相同的选法共有（ ）
A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种
222
【解析】：
C
4
C
4
C
4
=30，选C



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