高考数学排列组合解题技巧总结
中考注意事项-含着泪活着
高考数学排列组合解题技巧总结
一、定义
排列：一般地，从n个不
同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n
个不同元素中任取m个元素的一
个排列.
组合：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，并成一组，叫做从n个不同元素
中任
取m个元素的一个排列.
二、学习指导
1、排列组合的本质区别在于对所取出
的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为
把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是
无序的.
2、较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组
边排列.
3、排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的
分步是解
决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧.
4、“正难则反”是处理问题常用的策略.
三、常用方法
1、 合理选择主元
例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？
例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？
分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的
元素中任选3
个元素放在3个位置上，共有$$A_5^3$$种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问
题就变得比较复杂
，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在
解决排列组合问题时，合理选择
主元，就是选择合适解题方法的突破口。
2、“至少”型组合问题用隔板法
对于“至少”型
组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不
包括首尾）中，将元素
分成n＋1份。
例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？
解
：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法
有:$$C_5^
3$$（种）
3、注意合理分类
元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）
1
的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。
例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。
解：比2015大的四位数可分成以下三类：
第一类：3×××，4×××，5×××，共有:$$3A_5^3=180$$（个）；
第二类：21××，23××，24××，25××，共有:$$4A_4^2=48$$（个）；
第三类：203×，204×，205×，共有:$$3A_3^1$$（个）
∴比2015大的四位数共有237个。
4、特殊元素（位置）用优先法
把有限制
条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）
优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
解法
1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位
置上，有$$A_
4^1$$种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有$$A_5^5$$种站法，
故站法共有：
$$A_4^1×A_5^5$$＝480（种）
解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步
先从甲以外的5个人中任选两人站在
左右两端，有$$A_5^2$$种；第二步再让剩余的4个人（含甲）
站在中间4个位置，有$$A_4^4$$种，
故站法共有：$$A_5^2×A_4^4$$=480（种）
5、分排问题用直排法
对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求
解。
例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？
解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同
的坐标共有
$$A_9^9$$种。
6、复杂问题用排除法
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采
用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出
无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在
应用此法时要注意做到不重不
漏。
例6.
四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）
A.
150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
2
解：从10个点中任取4个点有$$C_(10)^4$$种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取
出的4个点位于四面体的同一个面内，有4$$C_6^4$$种；第二类，取任一条棱上的3个点及该
棱
对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分
别平行于四面体
相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，
所以不同的取法共有：$$C
_(10)^4-C_6^4-6-3=141$$（种）。
7、
排列、组合综合问题用先选后排的策略
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。
例8.
将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少
种？
解
：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共
有：$$(C4^2×C_2^1×C_1^1)(A_2^2)=6$$（种），
第二步将这三组教师分派到3种中学任教有$$A_3^3$$种方法。
由分步计数原理得不同的分派方案共有： $$(C4^2×C_2^1×C_1^1)(A_2^2)×
A_3^3=36$$（种）。
因此共有36种方案。7、排列、组合综合问题用先选后排的策略。
8、多元问题用分类法
总结：总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘
，排组分清，加乘明
确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。
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