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“排列、 组合”常考问题
[题型分析·高考展望] 该 部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，知识点并不多，但
解决问题的方法十分灵活，主要容是分类 加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、
二项式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考试题主 要以选择题和填空题的方式呈现，考
查排列、组合的应用.
常考题型精析
题型一 排列问题
例1 (1)(2015·)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业 留言，那么
全班共写了________条毕业留言(用数字做答).
(2)即将毕业的6名 同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能
站最右边，则不同的站法种数为_ _______.
点评 求解排列问题的常用方法：
(1)特殊元素(特殊位置)优先法；
(2)相邻问题捆绑法；
(3)不相邻问题插空法；
(4)定序问题缩倍法；
(5)多排问题一排法.
变式训练1 (1)(2014·)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数
为( )
A.144
C.72
B.120
D.24
(2)(2015·)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A.144个 B.120个

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C.96个
题型二 组合问题
D.72个
例2 在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成
一支 特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法.
(1)至少有2名外籍搜救队队员；
(2)至多有3名外籍搜救队队员.








点评 (1)先看是否与排列顺序有关，从而确定是否为组合问题.
(2)看是否需要分类、分步，如何确定分类标准.
(3)判断是否为“分组”问题，避免重复.
变式训练2 (1)(2014·)在8奖券中有一、二、三等奖各1，其余5无奖.将这
8奖券分配给4个人，每人2，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)




(2)从3名骨科、4名脑外科和5名科医生中选派5人组成一个抗震 救灾医疗小组，则骨科、
脑外科和科医生都至少有1人的选派方法种数是____________.( 用数字作答)



题型三 排列与组合的综合应用问题
例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒.

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(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？








点评 (1)排列、组合混合问题一般“先选后排”.
(2)对于较复杂的排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过
程进行分步 ，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”.
(3)关于“至少”“至多”等计 数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，
找出其对立事件来求解.
变式训练3 (1)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种.(用数字作答)

(2)(2014·)设集合A＝{ (x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
)|x
i
∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x
1
|＋|x
2
|＋|x
3
|＋|x4
|＋|x
5
|≤3”的元素个数为( )
A.60
C.120
B.90
D.130





高考题型精练
1.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )

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A.243
C.261
B.252
D.279
2.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不
同值的个数是( )
A.9
C.18
B.10
D.20
3.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A.3×3!
C.(3！)
4

B.3×(3！)
3

D.9!
4.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A.60种
C.65种
B.63种
D.66种 5.(2015·模拟)现有16不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4，从中任取3，
要求这3卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1，不同取法的种数为( )
A.232
C.472
B.252
D.484
6.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种
1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )

A.96
C.60
B.84
D.48
7.将序号分别为1,2,3,4,5 的5参观券全部分给4人，每人至少1，如果分给同一人的2参观
券连号，那么不同的分法种数是___ _____.
8.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相 邻)，那么
不同的排法共有______种.
9.“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“ 法治中国”“先看病后付费”成为社会关注的
5个热点.小王想在2015年国庆节期间调查一下社会对 这些热点的关注度.若小王准备从中选

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取4个热点分别进 行调查，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查
热点的种数为________ .
10.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3 443,94 249等.显然2位
回文数有9个，11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,11 1,121，…，191,202，…，999.
则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N
*
)位回文数有________个.
11.5名 乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团
体比赛，则入 选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有
________种. < br>12.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格，每格涂一种颜色，相邻
两格 涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

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答案精析
专题8 概率与统计
第35练 “排列、 组合”常考问题
常考题型精析
例1 (1)1 560 (2)480
解析 (1)依题意两两彼此给对方写一条毕业留言 相当于从40人中任选两人的排列数，所以
全班共写了A
2
40
＝40×39 ＝1 560条毕业留言.
(2)方法一 (位置分析法)
先从其他5人中安排2人分别站 在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第
1步，从除明明外的5人中选2人分别站在最 左边和最右边，有A
2
5
种站法；第2步，余下4
4
人(含明明)站 在剩下的4个位置上，有A
4
知共有A
2
4
种站法.由分步乘法计数 原理，
5
A
4
＝480(种)
不同的站法.
方法二 (元素分析法)
先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将明明排在除最左边 、最
5
右边外的任意位置上，有A
1
4
种站法；第2步，余下5人站 在剩下5个位置上，有A
5
种站法.
5
由分步乘法计数原理，知共有A
1
4
A
5
＝480(种)不同的站法.
方法三 (反面求解法)
5
6人没有限制的排队有A
6
6
种站法，明明站在最左边或最右边时 6人排队有2A
5
种站法，因此
5
符合条件的不同站法共有A
66
－2A
5
＝480(种).
变式训练1 (1)D (2)B
解析 (1)剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，
因此任何两人不相邻的坐法种数为A
3
4
＝4×3×2＝24.
( 2)由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A
3
4
＝72个；若万位 是4，则有2×
A
3
4
个＝48个，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.
例2 解 (1)方法一 (直接法)
由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类：
3
·C
2
种组队方法； ①有2名外籍队员，共有C
74
2
·C
3
种组队方法； ②有3名外籍队员，共有C
74
1
·C
4
种组队方法. ③有4名外 籍队员，共有C
74
2
C
3
＋C
1
·
4< br>根据分类加法计数原理，知至少有2名外籍搜救队队员共有C
3
C
2
7
·
4
＋C
7
·
47
C
4
＝301 (种)
不同的组队方法.
方法二 (间接法)

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由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜
救队 队员”，可分为2类：
41
①只有1名外籍搜救队队员，共有C
7
C
4
种组队方法；
0
②没有外籍搜救队队员，共有C
5
7
C
4
种组队方法.
4150
所以至少有2名外籍搜救队队员共有C
5
11
－C
7
C
4
－C
7
C
4< br>＝301(种)不同的组队方法.
(2)方法一 (直接法)
由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类：
3
①有3名外籍搜救队队员 ，共有C
2
7
C
4
种方法；
2
②有2名外籍搜救 队队员，共有C
3
7
C
4
种方法；
1
③有1名外 籍搜救队队员，共有C
4
7
C
4
种方法；
④没有外籍搜救队队员，共有C
5
7
种方法.
2
C
3
＋C
3
C
2
＋C
4
C
1
＋C
5
＝455(种)由分类加法计数原理，知至多有3名外籍搜救队队员共有C
7474 747
不同的组队方法.
方法二 (间接法)
由题意，知“至多有3名外籍搜救队 队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”.
1
C
4
种组队方法，所 以至少有3名外籍搜救队队员因为至少有4名外籍搜救队队员，共有C
74
14
共有C
5
11
－C
7
C
4
＝455(种)不同组队方法.
变式训练2 (1)60 (2)590
解析 (1)把8奖券分4组有两种分法，一种是分 (一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，
无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A
4
另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，
4
种分法；
2422
另 两组无奖，共有C
2
3
种分法，再分给4人有A
4
种分法，所以不同 获奖情况种数为A
4
＋C
3
A
4
＝24＋36＝60.
(2)分三类：①选1名骨科医生，
132231
则有C
1
3(C
4
C
5
＋C
4
C
5
＋C
4
C
5
)＝360(种).
2
(C
1
C
2
＋C
2
C
1
)＝210(种)； ②选2名骨科医生，则有C34545
3
C
1
C
1
＝20(种). ③选3名骨科 医生，则有C
345
∴骨科、脑外科和科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋ 20＝590.
例3 解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问 题转化为
“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三 组，
然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子，由分步乘法计数原理，
212
共有C
1
4
C
4
C
3
A
2
＝144(种).
(2)“恰有1个盒有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至 多放1个球，也即另外
3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒有2个球”与“恰有1个盒不放球 ”是同一
件事，所以共有144种放法.

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2
种方法. (3)确定2个空盒有C
4
312
4个球放进2个盒子 可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C
4
C
1
A< br>2
种方法；第二
22
C
2
C
2
4
C
24
C
2
22312
类有序均匀分组有
2
·A2
种方法.故共有C
4
(C
4
C
1
A
2
＋
2
·A
2
2
)＝84(种).
A
2
A
2
变式训练3 (1)480 (2)D
解析 ( 1)分类讨论：A、B都在C的左侧，且按C的左侧分别有两个、三个、四个、五个字
母这4类计算，再 考虑右侧情况.
3132245
所以共有：2(A
2
2
·A
3
＋C
3
A
3
·A
2
＋C
3
A
4
＋A
5
)＝480.
(2)在x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
这五个数中，因为xi
∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x
1
|< br>＋|x
2
|＋|x
3
|＋|x
4
|＋|x
5
|≤3的可能情况有“①一个1(或－1)，四个0，有C
1
②两个1(或
5
×2种；
2
－1)，三个0，有C
2
5
×2种；③一个－1 ，一个1，三个0，有A
5
种；④两个1(或－1)，一个
131
－1(或1 )，两个0，有C
2
5
C
3
×2种；⑤三个1(或－1)，两个0， 有C
5
×2种.故共有C
5
×2＋
2
×2＋A
2< br>＋C
2
C
1
×2＋C
3
×2＝130(种)，故选D . C
55535
高考题型精练
12
1.B [无重复的三位数有：A< br>3
9
＋A
2
A
9
＝648个.
则有重复数字的三位数有：900－648＝252个.]
aa13
2.C [由于lg a－lg b＝lg(a>0，b>0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为有A
2< br>5
＝20种，又与相
bb39
39
同，与相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A
2
5
－2＝20－2＝18，选C.]
13
3.C [把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)
4
种.]
4.D [满足题设的取法可分为三类：
一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中， 任意取4个，有C
4
5
＝5(种)；
二是两个奇数加两个偶数其和为偶数， 在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取
2
2个，有C
2
5
·C
4
＝60(种)；
三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，
所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种).]
2
5.C [分两类：第 一类，含有1红色卡片，共有不同的取法C
1
4
C
12
＝264(种 )；
3
第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C
3
12
－3C
4
＝220－12＝208(种).
由分类加法计数原理知不同的取法有
264＋208＝472(种).]
6.B [可依次种A、B、C、D四块，当C与A种 同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；
当C与A所种花不同时，有4×3×2×2＝48( 种)种法，由分类加法计数原理知不同的种法
总数为36＋48＝84.]
7.96

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4
种分解析 将5参观券分成4堆，有2个联号 有4种分法，每种分法再分给4人，各有A
4
法，∴不同的分法种数共有4A
4
4
＝96.
8.60
解析 可先排C、D、E三人，共A
3
5
种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计
数原理知满足条件的排法共有A
3
5
＝60(种).
9.72
解析 先从“光盘行动”“网络反腐”“法 治中国”“先看病后付费”这4个热点中选出3
1
个，有C
3
4
种不 同的选法.在调查时，“雾霾治理”的安排顺序有A
3
种可能情况，其余3个热
313
点的安排顺序有A
3
3
种，故不同调查顺序的种数为C
4
A
3
A
3
＝72.
10.(1)90 (2)9×10
n

解析 从左右对称入手考虑.
(1)4位回文数第1、 4位取同一个非零数有C
1
第2、3位可取0，有10种选法，
9
＝9(种) 选法，
故有9×10＝90(个)，即4位回文数有90个.
(2)首位和末位不能取0，故 有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，
中间数也有10种选法，故2n＋1(n ∈N
*
)位回文数有9×10
n
个.
11.48
1·
2
·
2
·
1
·
1
·解析 ①只有1 名老队员的排法有C
2
C
3
A
3
②有2名老队员的排法有C
2
C
3
C
2
A
2
3
＝36种；< br>2
＝12种.
所以共48种.
12.解 如图所示，将4个小方格依次编号 为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取
一种颜色涂上，有5种不同的涂法.

2
＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有 A
4
不同的涂法.由分步乘法计数原理可知，有5×12×3＝180(种)不同的涂法； < br>②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4
个小方 格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知.有5×4×4＝80(种)不同的涂法.
由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法.