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例析立体几何中的排列组合问题
春晖中学 过月圆

在数 学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应
用的观点。立体几何与排列组合综合 问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大
纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视 。立体几何中的计
数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举
立体几何中排列、组合问题的几个例子。

1 点

1．1 共面的点

例
1
（
1997
年全国高考（文））
四面体的一个顶点为
A
，从其它顶点与棱的中点中取
3
个点，使它们和点A
在同
一平面上，不同的取法有（

）
A
．
30
种
B
．
33
种
C
．
36
种
D
．
39
种
解析：四面体 有
4
个顶点，
6
条棱有
6
个中点，每个面上的
6< br>个点共面。点
A
所
在的每个面中含
A
的
4
点 组合有个，点
A
在
3
个面内，共有个组合；点
A
在
6
条棱的
3
条棱上，每条棱上有
3
个点，这
3
点与 这条棱对棱的中点共面。
所以与点
A
共面的四点组合共有
答案：
B< br>
点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属
97
文科试题中难度最大 的选
择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的
3
点与它对棱上的中点共面的情况计< br>算在内。
个。
1．2 不共面的点

例
2
（
1997
年全国高考（理））
四面体的顶点和各棱 中点共
10
个点，在其中取
4
个不共面的点，不同的取法共有
（
）
A
．
150
种
B
．
147
种
C
．
144
种
D
．
141
种

解析：从
10
个点中任取
4
个点有种取法，其中
4
点共面的情况有三类：第一类，取出的
4
个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上
的3
个点及对棱的中点，这
4
点共面有
6
种；第三类，由中位线构 成的平行四边
形，它的
4
个顶点共面，有
3
种。
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有
答案：
D
。
点评 ：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，
很好的考察了立体几何中点 共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧
及分类讨论的数学思想。
种。
2 直线

例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））
过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）
A．18对 B．24对 C．30对 D．36对
分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树
图法。
解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。
例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。
侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线；
例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1 、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5
条与其异面的直线；

例: 与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数
两遍。共有。
法二：一个四面体中有3对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构
成四面体的个数为 ：
答案：D
点评：解法一是例举法，把符合要求的所有的情况全列出来，列举时一定要按一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似笨拙的方法对数目不太大的情况常给
人以清新，大智若 愚之感，在近年高考中，这一方法经常用到；解法二是利用影
射，构造四面体解决的，有较高的技巧，在 竞赛中时常出现。
故共有异面直线。
3 平面

例4 α、β是两个平行平面，在α内取4个点，在β内取5个点，这9个点最多能
确定多少个平面？
解析：
例5（2002年全国高考）
从正方体的六个面中选3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（ ）
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
解析：
4 模型

4．1 平面多边形

例6（2004年高考·湖南卷） 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，
其中直角三角形的个数为（ ）
A．56 B．52 C．48 D．40
解析：由于正方体各个顶点的位置一样，故可研究一个顶点，比如B点 。以B为
直角顶点的三角形有：
故正方体中共有
答案：C
,
。
,,,,共6个，

点评：在中直角顶点只有一个，从直角 顶点出发考虑问题可避免重复，正方
体中各顶点位置均等，抓住这一点也是问题解决得关键。
4．2 空间多面体

例7 从正方体的八个顶点中任取四个点，所取的四个点中能构 成四面体的取法共有
____________。
5 其它

例8（2005年高考·江苏卷）
四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的 两条棱所代表的化工产
品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是
安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安
全存放的不同 方法种数为（ ）
A．96 B．48 C．24 D．0
解析：如图所示，与每条侧棱异 面的棱分别为2
条。例如侧棱SB与CD、AD棱异面。以四条侧棱为代表的化工产品分别放入四个仓库中，计
答案：B
[点评]本题用四棱锥的8条棱的关系来处理化工产品的存放种数，
种。从而安全存放的不同放法种数为（种）