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排列、组合与二项式定理单元测试卷
姓名： 班级： 学号：
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．若从集合P到集合Q={a ,b,c}所有不同的映射共有81个，则从集合Q到集合P可作的不同的
映射共有（ ）
A．32个 B．27个 C．81个 D．64个
2．某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两
个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（ ）
A．42 B．36 C．30 D．12
3．全班48名学生坐成6排，每排8人，排法总数为P，排成前后两排，每排24人，排法
总数为Q,则有（ ）
A．P>Q B．P=Q C．P4．从正方体的六个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）种
A．8 B．12 C．16 D．20
5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配
方案共有（ ）
A．
C
4
C
4
C
4
1284
B．
3C
4
C
4
C
4
1284
C．C
4
12
CCA
．
C
444
443
8 43
D
12
C
8
C
4
A
3

3
6．某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼
的外墙，现有编号为1~6的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，
不可用于办公室内，则不同的装饰效果有（ ）种
A．350 B．300 C．65 D．50
7．有8人已站成一排，现在要求其中4人不动，其余4人重新站位，则有（ ）种
重新站位的方法
A．1680 B．256 C．360 D．280
8．一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（ ）种不同的坐法
A．7200 B．3600 C．2400 D．1200
9．在
(
1

1
x
x
3< br>)
n
的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项 的二项式系
数是 （ ）
A. 462 B. 330 C.682 D.792
10 .在(
1+
a
x
)
7
的展开式中,
x
3< br>项的系数是
x
2
项系数与
x
5
项系数的等比中项,则
a
的值为( )
A.
10
5
B.
5
3
C.
25
9
D.
25
3

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．某公园现有A、B、C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有
三个成人和2个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方
可乘船，他们分乘这些船只的方法有_____________种。
12．“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如98765)，若把所有的五位渐减数
按从小到大的顺序排列，则第20个数为____________。
13．（理）某民航站 共有1到4四个入口，每个入口处只能进1人，一个小组4个人进站的方案
数为___________ _。
（文）体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球
的个数不少于其编号，则不同的放法有_____________种。
14．(文)若(12x)
2005
a
2
0
a
1
xa
2
xa
2005
2005
x
（
xR
），
则
(a
0
a
1
)(a
0
a
2
)(a
0
a
3
)(a
0
a
2005
)
＝

（用数字作答）。
（理）甲、乙、丙三人传球，第一次球从甲手中传出，到第六次球又回到甲手中的传递
方式有_________种
15．在
(1x)
3
(1x)
4
(1x)
2005
的展开式中，
x
3
的 系数为______________。
三．解答题（本大题共6题，共80分）
16．（本题满分12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字
（1）可组成多少个不同的自然数？
（2）可组成多少个无重复数字的五位数？
（3）组成多少个无重复数字的五位奇数？
（4）可组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？
（5）可组成多少个无重复数字的且大于31250的五位数？
（6）可组成多少个无重复数字的能被3整除的五位数？

17．（本题满分12分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不
同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐
厅至少还 需准备不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）







18．（本题满分12分）已知
(12x)
7
a< br>27
0
a
1
xa
2
xa
7
x
，
求（1）
a
0
a
1
a
7
的值（2）
a
0
a
2
a
4
a
6
及
a
1
a
3
a
5
a
7
的值；
（3）各项二项式系数和。








19.（本题满分14分）证明：（1）
2(1
1
n
)
n
3
，其中
nN
*
；
（2）证明：对任意非负整数
n
，
3
3n
26n1
可 被676整除。









20．（本题满分14分）已知
m,n
是正整数，
f(x)(1 x)
m
(1x)
n
的展开式
中
x
的系数为7，
（1） 试求
f(x)
中的
x
2
的系数的最小值
（2）对于使f(x)
的
x
2
的系数为最小的
m,n
，求出此时x
3
的系数
（3）利用上述结果，求
f(0.003)
的近似值（精确到0.01）










2 1．（本题满分16分）规定
C
m
x(x1)

(xm1)< br>x

m!
,其中xR,m是正整数，

且
C
0m
x
1这是组合数C
n
(n,m是正整数，且mn)的一种推广，< br>
（1）求
C
5
15
的值；
（2）组合数的两个 性质：
C
mnmmm1mm
(xR,mN
*
n
C
n
；
C
n
C
n
C
n1
是否 都能推广到
C
x
)
的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明，或不能 则说明理由；
(3) 已知组合数
C
m
xZ,m
是正整数时，< br>C
m
n
是正整数，证明：当
x
Z
.

高二排列、组合与二项式定理测试卷参考答案
一：选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
(1). D (2). A (3). B (4). B (5). A (6). B (7). D (8). A (9). A (10). C
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
(11). 18 (12). 76542 (13). (理)840（文）10 (14). （文）2003 （理）22 (15).
C
4
2006

三．解答题（本大题共6题，共80分）
16．（1）解：可组成6+5
65 6
2
56
3
56
4
56
5
= 46656个不同的自然数
（2）可组成
A
1553
5
A
5
或A
6
A
4
600
个无重复数字的五位数
（3）可组成
A
1
A
1
A
3
3 44
288
个无重复数字的五位奇数
（4）可组成
A
4
5
(A
43
5
A
4
)216
个无重复数字的 能被5整除的五位数
（5）可组成
2A
4
3A
32
5< br>
4
2A
3
1325
个无重复数字的且大于31250 的五位数？
（6）可组成
A
544
5
(A
5
 A
4
)216
个无重复数字的能被3整除的五位数？
17．解：在5种不 同的荤菜中取出2种的选择方式应有
C
2
5
10
种，设素菜为x
种，则
C
22
x
C
5
200
解得
x7
，

至少应有7种素菜
18．令
x1，则
a
0
a
1
a
7
1

令
x1
，则
a
0
a
1
a
2
a
3
a
6
a
7
2187< br>
令
x0
，则
a
0
1

于是
a
1
a
2
a
3
a
7
2

a
1
a
3
a
5
a
7
1094
；
a
0
a
2
a
4< br>a
6
1093

各项二项式系数和
C
0
C
1
C
7
2
7
777
128

19．（1）证明：
(1
1
n
)
n
1C1
1
2
1
2
n

n
C
n< br>(
n
)
2
（当且仅当
n1
时取等号） 当
n1
时，
(1
1
n
n
)23
显然成立
当
n2
时；
(1
1
n
)
n
C
01
1
2
1
n
1
n
C
n

n
C
n

n
2


C
n

n
n


2
n(n 1)1n(n1)(n
2!
n
2

2)1
3!
n
3



n(n1)

211
n !
n
n

2
1nn11nn1n21nn121111
2!nn

3!nnn



n!nn

nn

2

2!

3!

n!

2
1
12

1
23



1
n(n1)

2(1
1
2
)(
1
2

1
3
)

(
1
n1

1
n
)3
1
n
3

综上所述：
2(1
1
n
)
n
3
，其 中
nN
*

（2）证明：当
n0,n1
时
3
3n
26n1
=0，显然676|
(3
3n
26n 1)

当
n2
时，
3
3n
26n1
=
2 7
n
26n1(126)
n
26n1126nC
2n
n
26
2


C
n
n
 2626n1


C
22

C
33n23n 2n
n

26
n

26

C
n
26
n
=
676(
C
n

26
C
n

26
C
n
)
0(mod676)

综上所述：676|
(3
3n
26n1)

(nN)

20．解：根据题意得：
C
11
m
 C
n
7
，即
mn7
（1）
x
2
的系数为
C
2
C
2
m(m1)
mn

2

n(n1)
2

m
2
n
2mn
2

将(1)变形为
n7m
代入上式得：
x
2
的系数为
m
2
7m21(m
7
)2

35
24

故当
m3或4时，
x
2
的系数的最小值为9
（1） 当
m3,n4或m4,n3时，
x
3
的系数为为
C
3
3
C
3
4
5

（2）
f(0.003)2.02

21．解：（1）
C
5
16 )

(19)
15

(15)(
5!
 C
5
19
11628

（2）性质：
C
mC
nm
n
不能推广，例如
x2
时，
C
1
1
n
2
有定义，但
C
2
2
无意义；
性质：
C
mm1mmm1m*
n
C
n
C
n1
能推广，它的推广形式为
C
x
C
x
C< br>x1
,xR,mN
，
证明如下：
当
m1
时，有
C
10
x1C
1
x
C
x
< br>x1
；
当
m2
时，有
C
mm1
(x 1)

(xm1)x(x1)

(xm2)
x
C
x

x
m!

(m1)!

x(x1)

(xm2)xm1x(x1)

(xm(m1)!
(
m
1)
2)(x1)
m
m!< br>C
x1

（3） 当
xm
时，组合数
C
m
x
Z
；

当
x0
时，
xm10


x(x1 )(xm1)(xm1)(x1)(x)
C
m
x
m!
(1)
m

m!
(1)
m
Cm
xm1
Z