严明的纪律-心术2

高一数学公式：方差公式
对学过的知识一定要多加练习，这样才能进步。因此，查字典数学网为大家整理了高一数学公式：方差公式，供大
家参考。
一.方差的概念与计算公式



例1 两人的5次测验成绩如下：
X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;
Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。

方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是
消除符号影响
方差即偏离平方的均值，记为D(X )：
直接计算公式分离散型和连续型，具体为：
这里 是一个数。推导另一种计算公式
得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均
方差，方差描述波动
二.方差的性质


1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);
2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);
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证：
特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)

3.若X 、Y 相互独立，则
证：记
则



前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为

当X、Y 相互独立时，
故第三项为零。
特别地



独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
方差公式：


平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)n (n表示这组数据个数，x1、
x2、x3……xn表示这组数据具体数值)
方差公式：S2 =〈(M-x1)2+(M-x2)2+(M-x3)2+…+(M-xn)2〉
╱n
三.常用分布的方差
1.两点分布
2.二项分布



X ~ B ( n, p )
引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点
分布)
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3.泊松分布(推导略)
4.均匀分布





另一计算过程为
5.指数分布(推导略)
6.正态分布(推导略)
7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n(n-2);

8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n(n-2);
正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程
度(随机波动)，这与图形的特征是相符的。
例2 求上节例2的方差。


解 根据上节例2给出的分布律，计算得到
工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。



方差的定义：


设一组数据x1,x2,x3······xn 中，各组数据与它们
的平均数x(拔)的差的平方分别是(x1-x拔)2，(x2-x
拔)2 ······(xn-x拔)2，那么我们用他们的平均数
s2=1n【(x1-x拔)2+(x2-x 拔)2+·····(xn- x拔)2】来
衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。

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