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2013-2014学年北京市宣武区知新教育八年级（下）《勾股定理》单元测试卷
参考答案与试题解析


一、单选题（本题满分24分，每题3分）
1．（3分）下列长度的3条线段能构成直角三角形的是（ ）
①8，15，17；②4，5，6；③7.5，4，8.5；④24，25，7；⑤5，8，17．
A． ①②④ B． ②④⑤ C． ①③⑤ D． ①
③④

分析： 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
解答： 解：①15+8=17，故能构成直角三角形；
222
②4+5≠6，故不能构成直角三角形；
222
③7.5+4=8.5，故能构成直角三角形；
222
④24+7=25，故能构成直角三角形；
222
⑤5+8≠17，故不能构成直角三角形；
故选：D．
点评： 本 题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三
边的长，只要利用勾股定 理的逆定理加以判断即可．
【来源：21·世纪·教育·网】


2．（3分）Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB+AC+BC的值为（ ）
A． 8 B． 4 C． 6 D． 无法计算

考点： 勾股定理．
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222
222
分析： 利用勾股定理将AB+AC转化为BC，再求值．
解答： 解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，
222
∴AB+AC=BC，
22222
∴AB+AC+BC=2BC=2×2=8．
故选A．
点评： 本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等
式是解题的关键．

3．（3分）如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正 方
形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值
是（ ）
222

A． 4 B．

考点： 勾股定理的证明．
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6 C． 8 D． 10
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分析： 根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，解方程组即可求得a、b，求ab
即可．
解答： 解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直
角边 为a，较短直角边为b，
22
即a+b=9，a﹣b=1，
解得a=，b=，
则ab=4．
故选：A．
点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用 ，考查了正方形面积的计算，本题
中列出方程组并求解是解题的关键．

4．（3分）三角形三边长分别为6，8，10，那么它最短边上的高为（ ）
A． 6 B． 4.5 C． 2.4 D． 8

考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 由勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形，然后由直角三角形的定义解答出
最短边上的高．
222
解答： 解：由题意知，6+8=10，所以根据勾股定理的逆定理，三角形为直角三角 形．长
为6的边是最短边，它上的高为另一直角边的长为8．故选D．
2·1·c·n·j·y

点评： 本题考查了直角三角形的判定即勾股定理的逆定理和直角三角形的性质．

5．（3分）长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，则它的面积为（ ）
2222
A． 60cm B． 64cm C． 24cmD． 48cm

考点： 矩形的性质；勾股定理．
分析： 利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得
解．
解答： 解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，
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∴另一边长为
2
=8cm，
∴它的面积为8×6=48cm．
故选D．
点评： 本题考查了矩形的性质，矩形的面积的求解，利用勾股定理列式求出另一边长是解
题的关键．

6．（3分）如图，一个底面圆周长为24m，高为5m的圆柱体，一只蚂蚁沿表面从点A到点
B所经过的最短路线长为（ ）

A． 12m B． 15m C． 13m D． 9.13m
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考点： 平面展开- 最短路径问题．
分析： 将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短解答．
解答： 解：将圆柱体的侧面展开，连接AB．如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24m，
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则AD=24×=12m．
又因为AC=5m，
所以AB==13m．
即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13m．
故选C．

点评： 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解决此类问题，一般方法 是先根据题意把立
体图形展开成平面图形，再确定两点之间的最短路径．通常情况是根据两点之间，线段 最短
的性质．本题将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键．

7．（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（ ）

A． 25 B． 12.5 C． 9 D． 8.5

考点： 三角形的面积．
专题： 网格型．
分析： 根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答．
解答： 解：如图：小方格都是边长为1的正方形，
∴四边形EFGH是正方形，S
□EFGH
=EF•FG=5×5=25
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S
△
AED
=DE•AE=×1×2=1，
S
△
DCH
=•CH•DH=×2×4=4，
S
△
BCG
=BG•GC=×2×3=3，
S
△
AFB
=FB•AF=×3×3=4.5．
S
四边形
ABCD
=S
□EFGH
﹣S
△
AED
﹣S
△
DCH
﹣S
△
BCG
﹣S
△
AFB
= 25﹣1﹣4﹣3﹣4.5=12.5．
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故选B．

点评： 本题考查的是勾股定理的运用，根据图形可 以求出此大正方形的面积和三角形的面
积，再用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，此题的解法很 多，需同学们仔细解答．

8．（3分）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（ ）
A． 42 B． 32 C． 42或32 D． 37或33

考点： 勾股定理．
分析： 本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在R t△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和
CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可 将△ABC的周长求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用 勾股定理可将BD和
CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
解答： 解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
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BD=
在Rt△ACD中，
CD=
==9，
==5
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；

（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=
在Rt△ACD中，CD=
=
=
=9，
=5，
∴BC=9﹣5=4．
∴△ABC的周长为：15+13+4=32 ∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的
周 长为32．
故选C．
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点评： 此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两 种情况进行讨论，
易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
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二、填空题（本题满分24分，每题3分）
9．（3分）直角三角形两直角边的长为8和6，则斜边长为 10 ，斜边上的高为 4.8 ．

考点： 勾股定理．
分析： 先利用勾股定理求出斜边长，再利用面积公式可求出斜边上的高．
解答： 解：∵直角三角形的两直角边分别为6和8，
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∴斜边==10，
设斜边上的高为h，S
△
=×6×8=×10×h，
则h=4.8．
故答案是：10；4.8．
点评： 本题考查的是勾股定理及三角形的面积公式，熟知在任何 一个直角三角形中，两条
直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
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10．（3分）以边长为2的正方形的对角线为边长的新正方形的面积是 8 ．

考点： 勾股定理．
分析： 正方形两边和一对角线构成一直角三角形，根据勾股定理求出对 角线的长，正方形
面积等于边长×边长，依此求出面积．
2-1-c-n-j-y

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解答： 解：边长为2的正方形对角线长为=2，
以该正方形对角线为边长的新正方形的面积是2×2=8．
故答案为：8．
点评： 本题主要考查正方形的性质，同时考查了正方形面积的计算等知识点．

11．（3分）木 工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，
这个桌面 合格 （填”合格”或”不合格”）．



考点： 勾股定理的应用．
分析： 只要算出桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm是否符合勾股定理即可，根据勾股定理直接解答．
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解答： 解：==68cm，故这个桌面合格．
点评： 本题考查的是勾股定理在实际中的应用，需要同学们结合实际掌握勾股定理．
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12．（3分）有一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆 底部12m处，旗杆折断
之前有 24 米高．

考点： 勾股定理的应用．
专题： 计算题．
分析： 根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．
解答： 解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面9m折断，且旗杆
与地面是垂直的，
∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
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根据勾股定理，折断部分的旗杆为：=15m，
∴旗杆折断之前高度为15m+9m=24m．
故答案为：24．
点评： 本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．

13．（3分）等腰△ABC的腰长AB=AC=10，底边上的高AD=6，则底边BC= 16 ．

考点： 勾股定理；等腰三角形的性质．
分析： 根据勾股定理即可求出BD的长，根据等腰三角形的三线合一得BC=2BD．
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解答： 解：在Rt△ABD中，BD=
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC=2BD=16．
故答案为：16．
=8．

点评： 本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握等腰三角形的三
线合一及勾股定理在直 角三角形中的表达式．
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14．（3分）如图，∠ABC=90°，CB=15，AC=17，则阴影部分的面积是 25.12 ．


考点： 勾股定理．
分析： 根据勾股定理可求AB的长，再根据圆的面积公式，即可得到阴影部分的面积．
解答： 解：∵∠ABC=90°，CB=15，AC=17，
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∴AB==8，
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故阴影部分的面积是3.14×（8÷2）÷2=25.12．
故答案为：25.12．
点评： 考查了勾股定理和圆的面积计算，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角
边长 的平方之和一定等于斜边长的平方．



15．（3分）如图所示，一个梯 子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙
角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下
落了 0.5 米．
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2


考点： 勾股定理的应用．
专题： 应用题．
分析： 由题意知，AB=DE=2.5米，CB=1 .5米，BD=0.5米，则在直角△ABC中，根据AB，
BC可以求AC，在直角△CDE中，根据 CD，DE可以求CE，则AE=AC﹣CE即为题目要
求的距离．
解答： 解：在直角△ABC中，已知AB=2.5米，BC=1.5米，
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∴AC==2米，
在直角△CDE中，已知CD=CB+BD=2米，DE=AB=2.5米，
∴CE==1.5米，
∴AE=2米﹣1.5米=0.5米．
故答案为：0.5．
点评： 本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，本题中在直角△ABC中和直角△CDE
中 分别运用勾股定理是解题的关键．

16．（3分）（2012•庆阳）在直线l上依次摆 放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三
个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形 的面积依次是S
1
，S
2
，S
3
，S
4
， 则
S
1
+S
2
+S
3
+S
4
= 4 ．
【版权所有：21教育】



考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质．
专题： 规律型．
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分析： 运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据
此即可解答．
解答：
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
222
∵AB=AC+BC，
222
∴AB=AC+ED=S
1
+S
2
，
即S
1
+S
2
=1，
同理S
3
+S
4
=3．
则S
1
+S2
+S
3
+S
4
=1+3=4．
故答案为：4．
点评： 运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正
好是 之间的正方形的面积．
21教育名师原创作品


三、解答题（本题满分52分）
17．（10分）根据所给条件，求下列图形中的未知边的长度．

（1）求图1中BC的长．
（2）求图2中BC的长．

考点： 勾股定理．
分析： （1）直接根据勾股定理求出BC的长即可；
（2）先根据勾股定理求出BD的长，再求出BC的长即可．
解答： 解：（1）∵△ABC是直角三角形，AC=8，AB=17，
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∴BC===15；

（2）∵△ABD是直角三角形，AB=3，AD=4，
∴BD===5；
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∵△BCD是直角三角形，CD=13，
∴BC===12．
点评： 本题考查的 是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和
一定等于斜边长的平方是解答此题 的关键．

18．（8分）在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海 里处有一艘船
向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度．

考点： 勾股定理的应用．
分析： 在RT△ABC中，利用勾股定理求出BC的长度，从而根据速度公式可得出船航行
的速度．
解答： 解：由题意得，AC=7海里，AB=25海里，
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在RT△ABC中，BC==24海里，
∵航行了2小时，
∴船航行的速度=24÷2=12海里时．
答：此船的航行速度为：12里时．

点评： 此题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是利用勾股定理求出AM的长度，
注意掌 握勾股定理的表达式．
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19．（8分）如图所 示，在月港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°方问以每小时8海
里的速度前进，乙渔船沿南偏 东30°方向以每小时15海里的速度前进，两小时后，甲船到
达M岛，乙船到达P岛．求P岛与M岛之 间的距离．


考点： 勾股定理的应用．
专题： 计算题．
分析： 由题意知，△BMP为直角三角形，在直角三角形中运用勾股定理求解．
解答： 解：△BMP为直角三角形，
且由题意知BM=8×2=16，BP=15×2=30，
222
故MP=16+30=256+900=1156，
即MP=34海里．
答：P岛与M岛之间的距离为34海里．
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点评： 本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，解本题的关键是正确的运用勾股定理求
解．
< br>20．（8分）洋洋想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多2米，当他
把绳 子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．

考点： 勾股定理的应用．
分析： 根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理
即 可求得AB的长，即旗杆的高．
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解答： ：解：如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，
在Rt△ABC中，BC=5米，
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AB+BC=AC，
222
∴x+5=（x+2），
解得x=
∴AB=
，
．
米．
222
∴旗杆的高

点评： 此题考查了学生利用勾股定理解 决实际问题的能力，解题的关键是从实际问题中整
理出直角三角形，难度不大．
【出处：21教 育名师】


21．（8分）如图，已知AB=5，BC=12，CD=13，DA =10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面
积．
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考点： 勾股定理．
分析： 连接AC，先根据AB⊥BC，AB=5，BC=1 2求出AC的长，再判断出△ACD的形
状，根据三角形的面积公式即可得出结论．
解答： 解：连接AC，过点C作CE⊥AD于点E，
∵AB⊥BC，AB=5，BC=12，
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∴AC===13，
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∵CD=13，
∴AC=CD=13，
∵AD=10，
∴AE=AD=5，
∴CE===12．
∴S
四边形
ABCD< br>=S
△
ABC
+S
△
ACD
=AB•BC+AD•C E=×5×12+×10×12=30+60=90．

点评： 本题考查的是勾股定理，熟 知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和
一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

22．（10分）如图，长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B到点 C的距
离是5厘米，自A至B在长方体表面的连线距离最短是多少？


考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： 求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法 ，就是将长方体侧面展开，然后利
用两点之间线段最短解答．
【来源：21cnj**m】
解答： 解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如
第1个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
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∴AB===25；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB===5；
只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
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∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB===5；
∵25＜5＜5，
∴自A至B在长方体表面的连线距离最短是25．



点评： 此题主要考查平面展开图的最短距离，注意长方体展开图的不同情况，正确利用勾
股定理解决问题．














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