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向量在轴上的射影的辨析



上海市宜山路655弄4号121室 陈振宣


向量在轴上的 射影是向量加减运算化归为实数运算的理论基础.对此各种版本的书
上存在两种完全不同的定义，因而产 生了一些混乱，造成了广大师生的困惑.
一、问题呈现
下面以人教社的两种教材为例做些讨 论，并从此引出澄清混乱的办法，请专家与广
大师生讨论指正.
《普通高中课程标准实验教科书（B版）》数学4必修（以下简称课标本）P115：
3.向量在轴上的正射影
已知向量
则向量
和轴(图1).作过点分别作轴的 垂线，垂足分别为
叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，
称做在轴上的 数量或在轴的方向上的数量.
在轴上正射影的坐标记作向量的方向与轴的正向所成的角为则由
三角中的余弦定义有


图1 图2
例1 已知轴（图2）：
(1)向量
(2)向量
，在上的正射影
在上的正射影
；
.

解：(1).
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(2)
.
上述向量在轴上的正射影的定义是向量，但例1中
求
量，这样是否自相矛盾？
《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学必修第一册（下）》（以下简称大纲
本）P136页:
如图3，，，过点
B
作垂直于直线

叫做向量在方向上的投影，当为 锐角时（图3（1）），它是正值；当为
钝角时（图3（2）），它是负值；当
是；当时，它是 .
时（图3（3）），它是0.当时，它
，垂足为，则
在上的射影，无论写法还是结果却都是数

图3
该书虽未给向量在轴上的射 影下定义，但上述“
高里德凡著《矢算概论》P17-P18对此的表述如下：
10.矢量的分量及射影 可以区别正负方向的无限直线称为轴.例如在解析几何中，
直线及是轴,因为在它们上面具有正负方向.
的垂足(图4).如果A点位于
叫做向量在方向上的
投影”,已隐含向量在轴上的投影 是数量.可见课标本与大纲本的定义是完全不同的.
A点在S轴上的射影是自A点至射影轴S所作垂线
射影轴上，那么，它的射影与其本身重合.
矢量在S轴上的分量是矢量
成（图5a）.用表示矢量的分量：
.
，它由矢量的两端A及B在S轴上的射影所构
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矢量在S轴的 射影是带有正号或负号的分量的模.究为正号或负号，那就决定于
矢量的分量的方向与S轴的方向一致或 者不一致.为与矢量的分量区别，矢量的射影
用表示：
或.
的射影是正： 如果在射影轴上，取自左至右为正方向，那么在图5a中，矢量
.
而在图5b中，矢量的射影是负：
.
由射影的定义可知，它们是数量.

补助定理设是轴的正方向的单位矢量，那么任意矢量在S轴上的分量等于这矢
. 量的射影乘轴 的单位矢量
这本书明确提出：“矢量在S轴的射影是带有正号或者负号的分量的模”，并断
言“ 由射影的定义可知它们是数量”.这与向量在轴上的射影是向量之说是完全不同的.
华罗庚的《高等数 学引论》第一卷第一分册对向量在坐标上的射影并未下过定义，
但有一段如下的说明(P40)： 以下所讨论的矢量仅指自由矢量，一个自由矢量的长度是
.方向由
显然各是矢量在轴上的投 影的长度，而
决定.
是矢量与
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轴所成的角度，称（
由“各是矢量在
）为矢量的方向余弦.”
轴上的投影的 长度”，可知正是在
轴上的射影的数量，是在轴上的分向量的数量，它们是数量不是向量.
其他国外教材的翻译之作更加混乱，这里不再一一列举了.
二、问题辨析
造成这样 混乱的原因，窃以为是忽视轴上的向量（即一维向量）
心概念所致。要澄清其中的是非，应从直线坐标系 的理论谈起.
数轴上原点为，单位向量，数轴上任意一点
的数量记作
与以原点为始点，
的数量这一核
为终点的向量成一一对应.向量

说 穿了，的数量即||加上正号或负号即得，当与同向，取正号；
与反向，取负号.点P与原点O重合即为 零.
有了这一核心概念，可以建立直线坐标系如下：
在轴
向量
上取一点为 原点，并取一点E得单位向量
的数量称为点的坐标，即
，
=
上任意一点
.
与
成一一对应，向量
1.从点到数
已知点
而=
在
.
上的位置，如的数量=（∈R），则点的坐标记为（），
2.从数到点
已知点的坐标 为P（），则以原点
右侧截取一点
为圆心，||为半径，在上截取一点，
；当=0当＞ 0时，在原点
时，点
；当＜0时，在原点左侧截取一点
与原点O重合.
根据实数的连续性，知直线坐标系上的点与实数一一对应.
定理1 设直线坐标系上任意两点，的坐标分别为()，（），则
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的数量
[证明] ∵
又
∴
∴ .
，
，
.
，
.
定理2 设直线坐标系上任意三点A，B，C，则
.
[证明] 设A，B，C三点的坐标分别为A，B，C

，
.
这一定理称为夏尔定理(Chasles)，是解析几何的奠基定理，与向量射影定理相结 合
可以推出平面直角坐标系基本定理，从而方便地推出两点间的距离公式、斜率公式、分
点公式 、三角形面积公式等直至解析几何的所有公式.
为了给出向量在
如图6，平面向量
的 射影分别为，，
轴上的射影的定义，先从平面向量的直交分解谈起：
的始点A，终点B在轴上的射影分别为
在轴上的分向量称为

的数量记作

同理，

如果应用数量积概念，易见
，
设与的夹角为，与的夹角为，则
.
，由余弦函数的定
（为轴上的单位向量）.
（为轴上的单位向量）.
，，在轴上
，则
在轴上的射影，记作
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义，有
而
若记A，B两点的坐标分别
.
，则由向量射影定理（合向量在轴上的
射影等于其各分向量在同一轴上的射影之和），得
，

同理，

这就是平面直角坐标系的基本定理.
通过类比推理，易得空间直角坐标系的基本定理



其中
，
是向量
分别是
的方向余弦，而
在轴上射影的数量，在
，
轴上射影的数
量，在轴上射影的数量，这为空间向量的加减运算化归为实数运算提供了理论基础，
也为空间解析几何的发展奠定了基础，还为维空间提供了直观模型.
可见澄清关于向量在轴上的射影 的有关概念及其符号体系对于教材建设的意义是
重大的.以上的改革方案是粗略的，限于水平也是不完善 的，请大家讨论指正.
本文在成文过程中曾与张奠宙教授、华宣积教授、杨象富特级老师通过电话、书 信
讨论，在此向他们深致谢意.

参考文献：
[1]普通高中课程标准 实验教科书（数学4必修B版）.人民教育出版社，2004年9
月第一版.
[2]全日制普 通高级中学教科书（试验本）数学必修第一册（下）.人民教育出版社，
1997年4月第一版.
[3]高里德凡著.矢算概论.高等教育出版社，1959年12月上海版第8次印刷.
[4]华罗庚.高等数学引论(第一卷第一分册).科学出版社，1974年6月第一版.

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