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第十四章 直角三角形的边角关系
基础知识梳理
1．锐角三角函数．
在Rt△ABC中，∠C是直角，如图所示．
（1）正切：∠A的对边与邻边的比叫 做∠A
的正切，记作tanA，即tanA=
A的对边
．
A的邻边
（2）正弦：∠A的对边与斜边的比叫做∠A
的正弦，记作sinA，即sinA=

A的对边
．
邻边
A的邻边
．
邻边
（3）余弦：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=
（4）锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
（5）锐角的正弦和余弦之间的关系．
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦
值．
即：如果∠A+∠B=90°，那么sinA=cos（90°-A）=cosB；cosA=sin（•90• °-•A）•=sinB．
（6）一些特殊角的三角函数值（如下表）．
三角函数
角
30°
sin cos tan
1

2
3

2
2

2
1

2
3

3
1 45°
2

2
3

2
60°
3

（7）已 知角度可利用科学计算器求得锐角三角函数值；同样，•已知三角函数值也可
利用科学计算器求得角度的 大小．
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（8）三角函数值的变化规律．
①当角度在0°～90°间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增
大（或减小）．
②当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（•或增大）．
（9）同角三角函数的关系．
①sin
2
A+cos
2
A=1；②tanA=
sinA
．
cosA
2．运用三角函数解直角三角形．
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对
边分别为a，b，c．
（1）三边之间的关系：a
2
+b
2
=c
2
（勾股定理）．
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．
（3）边角之间的关系：sinA=
aba
，cosA=，tanA=．
ccb

所以，在直角三角形中，只要知道除直角外的两个元素（其中至少有 一个是边），•就
可以求出其余三个未知元素．
解直角三角形的基本类型题解法如下表所示：
类型

两边
已知条件
两直角边a，b
一直角边a，斜边c

一边、一锐角
一直角边a，锐角A
斜边a，锐角A
解法
a
，B=90°-A
b
a
b=
c
2
a
2
，sinA=，B=90°-A
c
aa
B=90°-A，b=，c=
tanAsinA
c=
a
2
b
2
，tanA=
B=90°-A，a=c·sin，b= c·cosA
注意：解直角三角形需要注意的问题：
（1）尽量使用原始数据，使计算更加准确；
（2）不是解直角三角形的问题，添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题；
（3）恰当使用方程或方程组的方法解决一些较复杂的解直角三角形的问题；
（4）在选用三角函数式时，尽量做乘法，避免做除法，以使运算简便；
（5）必要时画出图 形，分析已知什么，求什么，它们在哪个三角形中，•应当选用什
么关系式进行计算；
（6）添加辅助线的过程应书写在解题过程中．
3．解直角三角形的实际问题．
解直角三角形的实际问题涉及到如下概念和术语．
（1）坡度、坡角．
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如图所示，坡面的垂直 高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i
表示，即i=
h
．
l

坡面与水平面的夹角记作α（叫做坡角），则i=
h
=tanα．
l
（2）仰角、俯角．
当从低处观测高处的目标时，视线和水平线所成的锐角称为仰角．当从高处观测低 处
的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．如图所示．

（3）方位角和方向角．
①方位角：正北方向顺时针旋转与已知射线所成的角叫做方位角．如图所示的 ∠α
（0°<α<360°）．

②方向角：正北或正南方向与已知射线所 成的锐角叫做方向角．如图14-5所示的∠
β（0°<β<90°），若∠β=30°，则方向角可记 作南偏西30°．
（4）燕尾槽的深度、燕尾角．
燕尾槽的横断面如图所示，AE是燕尾槽 的深度，AD是外口宽，BC是里口宽，∠B是
燕尾角．

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考点与命题趋向分析
（一）能力
1．通过实例认识锐角三角函数 （sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60•°角的
三角函数值；会使用计算器由 已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的
锐角．
2．运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．
（二）命题趋向分析
1．三角函数是代数与几何衔接点之一，是三角学的基础，近年来锐角三角函数常与
四边形、相似形、坐 标系、圆等相结合出题，多涉及实际应用问题，如梯子的倾斜程度、
坡度等问题．
【例1】（ 2004年河南省）如图1，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端
距地面的垂直距离MA为 a米，此时梯子的倾斜角为75°．如果梯子底端不动，顶端靠在
对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直 距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房
子的宽AB是________米．

(1) (2)
【分析一】AB=AC+CB=

ab
+．
tan75 tan45
如图2，在Rt△ACB中，∠C=90°．∠A=15•°，•∠ABC=75°，
在∠ABC内部作∠ABD=15°，则∠BDC=30°，∠DBC=60°，
设BC=1，则BD=2，DC=
3
，
∵∠A=∠ABD=15°
∴AD=BD=2
∴AC=2+
3

∴tan75°=
AC
23
==2+
3

BC
1
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222
∴AB=
BC
2
AC
2
=
1(23)
=
843
=
(62)
=
62

∴sin75°=
AC
23
62
(23)(62)
===
AB
4
62
(62)(62)
如图1所示：NB=CB=b米
∴CN=
2
b米
∴MC=CN=
2
b米
在Rt△MAC中，sin75°=
AM
a
=
MC
2b
∴
a
62
=
4
2b
∴4a=（2
3
+2）b
解得b=
2
a=（
3
-1）a
31
ab
a+=+b=（2-
3
）a+（
3
-1）a=a（米）
tan75tan45
23
∴AB=AC+CB=
【 分析二】在图1中连MN，可由MC=NC，∠MCN=60°得等边三角形MCN，作MH•⊥BN
于 H．由∠A=∠MHB=90°，∠MCA=∠MNH=75°，MC=MN．可证△MAC≌△MHN，得AM =MH．•
再证四边形MABH为矩形，可得AB=MH=AM=a米．
【解】此空应填a．
2．涉及特殊角的三角函数值的应用题是近年中考中的热点，•对学生的 综合能力要求
较高，要勤于观察生活中的数学现象，并善于将生活中的实际问题转化为数学问题并加以< br>解决．
【例2】（2004年哈尔滨市）如图，在测量塔高AB时，•选择与塔底在同一水平面 的
同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．•已知测角
器高CE=1.5m，CD=30m．求塔高AB．（答案保留根号）
【分析】由CD=30 m，可求EG=30m，考虑到∠AGF是△AEG的外角，可知EG=AG，故AG=30m，
在Rt △AGF中可求AF长．AB=AF+FB问题得以解决．
【解】由题意可知：EG=CD=30米
∵∠AEG=30°，∠AGF=60°
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∴∠EAG=30°
∴EG=AG=30米
在Rt△AFG中，sin60°=
AF

AG
∴AF=AG·sin60°=30×
∴AB=AF+FB=15
3
+
3
=15
3
（米）
2
3
（米）
2
3
答：塔高AB为（15
3
+）米．
2

【规律总结】本题发现EG=AG=30米，以及熟记特殊角三角函数值是关键．
3．近10年来含特 殊角的三角函数值的应用问题中中考中呈现上升趋势，•这类考题
往往给定一些角的三角函数值供考生选 用，且这类题多以中档解答题为主，望读者引起注
意．
【例3】（2004年沈阳市 ）某地一居民楼，窗户朝南，窗户的高度为h米，•此地一年
中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的 夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光
与地面的夹角最大为β（如图1）．小明想为自己家的窗户 设计一个直角形遮阳篷BCD，要
求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，•又能最大限度地使冬天温 度的阳光射入室
内．小明查阅了有关资料，获得了所在地区∠α和∠β的相应数据：∠α=24°36′ ，∠
β=73°30′，小明又量得窗户的高AB=1.65米．若同时满足下面两个条件：（1）•当 太阳
光与地面夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内；（2）•当太阳光与地面夹角为β
时，要想使太阳光刚好不射入室内．请你借助图形（如图2），帮助小明算一算，•遮阳篷
BCD中，B C和CD的长各是多少？（精确到0.01米）
以下数据供计算中选用:
sin24°36′=0.416 cos24°36′=0.909
tan24°36′=0.458 cot24°36′=2.184
sin73°30′=0.959 cos73°30′=0.284
tan73°30′=3.376 cot73°30′=0.296

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【分析】图中 有两个直角三角形，即△BCD和△ACD．•利用这两个直角三角形求解．另
外题中所给数据中cot 24°36′实际上是tan24°36′的倒数，今后我们会学习到．
【解】∵在Rt△BCD中，tan∠CDB=
∴BC=CD·tan∠CDB=CD·tanα
∵在Rt△ACD中，tan∠CDA=
BC
，∠CDB=∠α
CD
AC
，∠CDA=∠β
CD
∴AC=CD·tan∠CDA=CD·tanβ
∵AB=AC-BC
=CD·tanβ-CD·tanα
=CD（tanβ-tanα）
∴CD=
1.65
AB
=≈0.57（米）
tan

tan

3.3760.458
∴BC=CD·tan∠CDB≈0.57×0.458≈0.26（米）
答：BC的长约为0.26米，CD的长约为0.57米．
【规律总结】本题的解决关键是把 ∠α、∠β置于两个直角三角形中，另外要细心体
会把实际问题转化为数学模型的过程和方法．
4．运用解直角三角形知识解决实际问题是近年中考的热点题型，•主要涉及测量（特
别是底部不可到达的物体的高度的测量）、航空、航海、工程等领域，且说理性题（如船
会不会触礁，速 度应提高多少，巡逻艇能否追上走私船等）比重有所加大．这类题主要考
查学生应用相关知识解决实际问 题的能力．
【例4】（2003年青岛）如图14-11所示，•人民海关缉私巡逻艇在东海 海域执行巡逻
任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24
海里时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26•海里时的
速度追 赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问
（1）需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）
（2）确定巡逻艇追赶方向（精确到0.1°）
（参考数据：sin66.8°≈0.9191，co s66.8°≈0.3939，•sin67.•4•°≈0.•9231，
cos67.4°≈0.3 843，sin68.4°≈0.9298，cos68.4°≈0.3681，•sin70.•6•°≈0. 9432，
cos70.6°≈0.3322）．

【分析】由于已知速度 ，本题第（1）问可利用直角△ABO的各边长列方程求解，•第
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（2）问可利用sin∠AOB=
AB
，求出∠AOB的度数．
OB
【解】（1）设需要t小时才能追上，则AB=24t，OB=26t．
在Rt△ABO中，OB
2
=AB
2
+OA
2，即（26t）
2
=（24t）
2
+10
2
，解得t= ±1，t=-1不合题
意，舍去，
∴t=1，即需要1小时才能追上．
（2）在Rt△ABO中
∵sin∠AOB=
AB24t12
==≈0.9231，
OB26t13
∴∠AOB≈67.4°
即巡逻艇的追赶方向是北偏东67.4°．
解题方法与技巧
1．数形结合思想．
3sin

cos

，求的值．
4sin

cos

3
【分析】利用数形结合思想，将已知条件tanα=用图形表示．
4
【例1】已知t anα=
【解】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，设BC=3k，AC=4k， 则
AB=
AC
2
BC
2
=
(4k)
2< br>(3k)
2
=5k．
BC3k3AC4k4

， == cosα=
AB5k5AB5k5
34

55
=-7. ∴原式=
34

55
∴sinα=


方法2：转化思想
【例2】已知tanα=
3sin

cos

，求的值．
4sin

cos

sin

的式子，•再利用
cos

【分析】可将所求式子的分子、分母都除以cos，转化为含有
s in

进行转化求解．
cos

sin

cos

【解】将式子的分子、分母都除以cosα，得
sin

cos

tanα=
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3
1
tan

1
4
原式＝＝-7 < br>
3
tan

1
1
4
3
【规律 总结】因为tanα=所以α不等于90°，所以cosα≠0，因此分子分母可以
4
同时除以 cosα．实现转化的目的．

方法3：方程思想
【例3】去年 某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便
A、B两地师生的交往，学校准 备在相距2千米的A、B•两地之间修筑一条笔直的公路（即
图中的线段AB），经测量，在A地的北偏 东60°方向，B地的西偏北45°的C处有一个半
径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不 会穿过公园？为什么？
【分析】过C作AB的垂线段CM，把AM、BM用含x的代数式3
x，x表示，利用AM+MB=2
列方程得，
3
x+x=2，解出CM 的长与0.7千米进行比较，本题要体会设出CM的长，列方
程解题的思想方法．
【解】作CM⊥AB，垂足为M，设CM为x千米，在Rt△MCB中，
∠MCB=∠MBC=45°，则MB=CM=x千米．
在Rt△AMC中，∠CAM=30°，∠ACM=60°
tan∠ACM=
AM

CM
∴AM=CM·tan60°=
3
x千米
∵AM+BM=2千米
∴
3
x+x=2

∴x=
3
-1
≈1.732-2=0.732
∴CM长约为0.732千米，大于0.7千米
∴这条公路不会穿过公园．

方法4：建模思想
【例4 】如图所示，一艘轮船以20里时的速度由西向东航行，•途中接到台风警报，
台风中心正以40里时的 速度由南向北移动，距离台风中心20
10
•里的圆形区域（包括
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边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A•正南方向的B处，且
AB= 100里．
（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，•试 求轮
船最初遇到台风的时间；若不，请说明理由．
（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于 东偏北30°方向，相距60里的D港驶去，
为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？（取 整数，
13
≈3.6）
【分析】本题是航海问题，把航海问题抽象成纯数学问题，建立起“解直角三角形”
的“数学模型”．
【解】（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时，轮船位于C
处，台风中心移到E处，连结CE，则有
AC=20t，AE=AB- EB=100-40t，EC=20
10

在Rt△ACE中，AE
2
+AC
2
=EC
2
∴ （20t）
2
+（100-40t）
2
=（20
10
）2
∴t
2
-4t+3=0
△=（-4）
2
-4×1×3=4>0
∴途中会遇到台风
解方程①得t
1
=1，t
2
=3

∴最初遇到台风的时间为1小时．
（2）设台风抵达D港的时间为t小时，此时台风中心至M 点，过D作DF⊥AB，垂足
为F，连结DM．
在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60°
∴DF=30
3
，FA=30
又FM=FA+AB-BM=130-40t
MD=20
10

∴（30
3
）
2
+（1 30-40t）
2
=（20
10
）
整理，得4t
2
-26t+39=0
解之得t
1
=
2
13131313
，t
2
=
44
13131313
小时，到D港的速度为60÷≈25.5（海
44
10
∴台风抵达D港的时间为
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里时）．
因此为使台风抵达D港之前轮船到D港，轮船应提高6海里时．

方法5：说理性问题的解法
【例5】如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从 M到N的走向为南偏东30°，
在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆 形区域为居民区，•取
MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB=400m，通过计 算回答，如果不改
变方向，输水路线是否会穿过居民区？
【分析】说明输水路线是否 穿过居民区，应过A作MN的垂线段AH，计算出AH的长，
然后把AH与500m比较大小．
【解】过A作AH⊥MN，垂足为H
∵MK∥BG
∴∠GBH=∠KMH=30°
又∵∠GBA=75°，∠HBA=45°
∴∠BAH=45°
∴AH=BH
设AH为xm，则BH=xm，在Rt△MHA中，

∠HMA=∠KMA-∠KMB=60°-30°=30°．
∵tan∠HMA=
AH

MH
∴MH=
x
x
==
3
x
tan30
3
3
∵MB=MH-BH
∴
3
x-x=400 解得x=200（
3
+1）
∴AH≈546.4m>500m
答：输水路线不会穿过居民区．
【规律总结】此 题是说理性问题，这类题要求学生对基本概念、基本定理、基本思路
有清醒的认识，能根据实际问题进行 相关的计算，并利用计算所得结果说明问题的原因、
依据．

方法6：探索性问题
【例6】某学校为了改善教职工居住条件，•准备在教学楼（正楼）的正 南方向建一座
住宅楼（正楼），要求住宅楼与教学楼等高，均为15.6米，已知该地区冬至正午时分太 阳
高度最低，太阳光线与水平线的夹角为30°，如果住宅楼与教学楼间相距19.2米，如图
1所示．
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（1）此时住宅楼的影子落在教学楼上有多高？（精确到0.1米）
（2）要使住宅楼的影子刚好落在 教学楼的墙角，则两楼间的距离应是多少？•（精确
到0.1米）
【分析】（1）如 图所示，设冬至正午太阳最低时，住宅楼顶A•点的影子落在教学楼上
的C处，那么CD的长就是影子落 在教学楼上的高度．
（2）如图2所示，BC的长就是两楼间的距离．

(1) (2)
【解】（1）如图1所示，作CE⊥AB于E，
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，EC=19.2，
∴AE=EC·tan30°=19.2×

3
19.21.732
≈≈11.1
3
3
CD=EB=AB-AE
≈15.6-11.1=4.5（米）
∴住宅楼的影子落在教学楼上约有4.5米高
（2）如图2所示，
在Rt△ABC中，∠ACB=30°
BC=
AB
15.6
=≈15.6×1.732≈27.0（米）
tan30
3
3
∴要使冬至正午的太阳能够照到教学楼的墙角，两楼间的距离至少应为27.0米．
【规律总结】此题 为探索性题，结论没有直接给出，需要通过观察、分析、比较、概
括、推理、判断等活动，逐步确定结论 ．

方法7：开放性问题
【例7】某处有一天线，高度超过10 米，底部四周有铁丝网围墙，•使得不能直接到
达天线底部，数学小组的同学们只有测倾器和测量长度用 的量绳，请你为他们设计一个能
测得天线高度的方案（包括测量方法，并推导计算公式）．
【分析】本题是一道开放性试题，是近年来有关解直角三角形的中考试题中，开放程
度很高的题目，着重 考查学生如何借助解直角三角形知识解决这类测量问题．
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解题中要注意测量工具所能测得的数据，以免审题失误．
【解】如图所示，测倾器离 地面b米，在点B处测得天线顶端仰角为α，从B•点向前
走a米，到达点C，在点C处测得天线顶端仰 角为β，设AG为x米．
在Rt△AGC中，CG=
AGx


tan

tan

AGx


tan

tan

在Rt△AGB中，BG=
∵BC=BG-CG
∴

x
x
-=a
tan

tan

∴x=
atan


tan


11
ta n

tan

()
tan

tan

a
=
∴AM=AG+GM=
atan


tan

+b
tan

tan

【规律总结】对于开放性问题，一般都有多种解题方法 ，首先应对解直角三角形知识
有关的基本图形非常熟悉，然后才能给出设计方案，选择适合自己的解题方 法，灵活巧妙
地解答问题．

方法8：综合性问题
【例 8】如图所示，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A•为顶点的∠MAN的两边分别
交射线OP于M 、N两点，且∠MAN=∠POQ=α（α为锐角），当∠MAN以点A为旋转中心，AM
边从与AO重 合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN保持不变）时，M、N两点在射线
OP上同时以不同的速度 向右平移，设OM=x，ON=y（y>x≥0），△AOM•的面积为S，且cos
α，OA是方程2 z
2
-5z+2=0的两个根．
（1）当∠MAN旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N移动的距离；
（2）求证：AN
2
=ON·MN；
（3）试求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．
（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范
围．
【分析】本 题把解直角三角形与一元二次方程、相似三角
形、平移、旋转、函数等知识糅合在一起，形成一道综合性 很
强的考题．本题从解一元二次方程入手，逐步挖掘隐含条件，

构造直角三角形，将其转化为解直角三角形问题．
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【解】（1）解方程2z
2
-5z+2=0，得z
1
1=
2
，z
2
=2
∵α为锐角
∴O ∴OA=2，cosα=
1
2

∴α=60°，即∠POQ=∠MAN=60°
∴ON=OA=2，如图14-20所示．
当AM旋转到AM′时，点N移动到N′
∴∠M′N′A=30°，∠OAN′=90°，
在Rt△OAN′中，ON′=2AO=2×2=4，
∴MN′=ON′-ON=4-2=2
∴点N移动距离为2
（2）如图1所示，在△OAN和△AMN中，∠AON=∠MAN，∠ANO=∠MNA，
∴△AON•∽△MAN，∴
AN
MN
=
ON
AN
，∴AN
2
=ON·MN

(1) (2)
（3）如图2所示，
过A作AH⊥OP于点H．
∵MN=ON- OM=x-y，
∴AN
2
=ON·MN=y（y-x）=y
2
-xy
在Rt△AOH中，OH=OA·cos60°=2×
1
2
=1
∴AH=OA·sin60°=
3

∴HN=ON-OH=y-1
在△ANH中，
AN
2
=AH
2
+HN
2
=（
3
）
2
+（y-1）
2
=y
2
-2 y+4，
∴y
2
-xy=y
2
-2y+4，整理得y=< br>4
2x
．
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∵y>O
∴2-x>O
∴x<2
又∵x≥O
∴x的取值范围是O≤x<2
（4）如图2所示，在△AOM中，OM边上的高AH为，
∴S=
11
3
OM·AH=·x·
3
=x
22
2
∵S是x的正比例函数，
∴S随x的增大而增大
∴O≤S<
3

3
>O
2
【规 律总结】本题通过作OM边上的高AH，从而将其转化为解直角三角形问题，在解
有关综合性问题时，要 注意挖掘隐含条件，合理运用相应知识，构造直角三角形，利用直
角三角形的边角关系沟通各知识点间的 联系．

中考试题归类解析
（一）锐角三角函数
【例1】（2003，大连）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则B的值为（ ）
A．
4343
B． C． D．
5534
BC3


AB5
【思路分析】由勾股定理可知AB=5，根据锐角三角函数的定义可知cosB=
解：答案B
【例2】（2003，南京）在△ABC中，∠C=90°，tanA=1，那么cotB等于（ ）
A．
3
B．
2
C．1 D．
3

3
【思路分析】由互为余角的三角函数关系可知：cotB=tanA=1
解：答案C
【规律总结】本题也可由tanA=1得到∠A=45•°，•所以∠B=•45•°，•
故cotB=cot45°＝1
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【例3】（2003，黄冈）已知∠A为锐角，且cosA≤
1
，那么（ ）
2
A．0°∠A≤60° B．60°≤A∠90°
C．0°∠A≤30° D．30°≤A∠90°
【思路分析】锐角三角函数的余 弦值随角度的增大而减小，因为∠A为锐角，所以
O1
，即cos90° 2
解：答案B
22
【例4】（2004，山西）计算：sin48°+sin42°-tan44• °·•tan45•°·•tan46•°
=_______．
【思路分析】利用互为余函数的关系化为同角函数，再利用同角三角函数公式就可求
出值．
22
【解】sin48°+sin42°-tan44°·tna45°tan46°
22
=sin48°+cos48°-tan44°·cot44°tan45°
=1-1×1
=0
故应填：0
【规律总结】解决这样的问题一是要善于互化函数，往公式上靠，二是特殊角的三角
函数值要记住．
【例5】（2004，宁波）计算：（

-3）°-（
1
- 232
）+（-1）-sin45°
2
【思路分析】按运算法则和运算顺序直接计算即可．
【解】（

-3）°-（
1
-232
）+（-1）-sin45°
2
=1-
2
2
1
3
+（-1）-（）< br>1
2
2
()
2
1

2
=1-4-1-
=-4
1

2
【规律总结】在中考题中象这 样代数值的运算和三角函数值的运算结合在一起的比较
多．

（二）解直角三角形
【例1】已知如图所示，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．
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【求证】S
△
ABC
=
111
absinc=bcsinA=casinB．
222
【思路分析】要求面积关键是作高，构造出直角三角形利用锐角三角函数的定义加以
理解．
【证明】过A点作AD⊥BC垂足为D
在Rt△ABD中，sinB=
AD

AB
∴AD=AB·sinB=c·sinB
11
AD·BC=ac·sinB
22
11
同理可证，S=absinc=bcsinA
22
∴S=
【例2】如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=_____．
【思路分析】先利用勾股定理求出AC长再利用相似比就可求出BC
【解】∵AC
2
=AD
2
+DC
2
而AD=3 CD=4
∴AC=
3
3
4
2
=5
Rt△CDA∽Rt△BDC

ADAC
=
CDBC
ACCD5420

BC=
AD33
20
故应填：
3

【规律总结】：本题也可以利用射影定理去解．
【例3】一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C， 周围4.8海里范围内是水产养
殖场，渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛 C•在北偏东60°方
向，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘船是否有进入养殖场的危 险．
【思路分析】是否有进入养殖场的危险就是看C点
到BD的距离是多少，•如果 大于4．8海里就没有进入
养殖场的危险，否则就有危险．
【解】过C点作BD的垂线与BD交于E点
∠BAC=60°-45°=15°
∠BCA=45°-30°=15°
在Rt△CBE中，
sin∠CBE=
CE

BC

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CE=BC·sin∠CBE
=10×
1

2
=5（海里）
∵4.8<5
∴没有进入养殖场的危险．
【规律总结】这种类型题关键是要构建直角三角形计算距离，再根据距离大 小来判断
是否有危险．

中考试题集萃
（一）填空题
1．（2004，宁波）sin45°=________．
1
，则sin（90°-A）=_______．
3
3
3 ．（2004，芜湖）在直角三角形ABC中，∠C=90°，已知sinA=，则cosB=________ ．
5
2．（2004，衡阳）∠A为锐角，若cosA=
4．（2 004，常州）若∠α′的余角是30°，则∠α′=_______°，sin∠α′=________．
5．（2004，江西）在△ABC中，若AC=
2
，BC=
7，AB=3，则cosA=________．
6．（2004，沈阳）在Rt△ABC 中∠C=90°，tanA=
2
，AC=4，则BC=_______．
3
7．（2004，上海）在△ABC中，∠A=90°，设∠B=θ，AC=b，则AB=______．（用b 和
θ的三角比表示）
8．（2004，深圳）计算：3tan30°+cot45° -2tan45°+2cos60°=________．
9．（2004，西宁）某人沿倾斜角为β的斜坡走了100m，则他上升的高度是______m．
10．（2004，潍坊）某落地钟钟摆的摆长为0.5m，来回摆动的最大夹角为20°，已知
在钟摆 的摆运过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则b-a=_______m（不
取近 似值）．
（二）选择题
1．小强和小明去测量一座古塔的高度（如图）他 们在离古塔60m•的A处，用测角仪
器测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5m，则 古塔BE的高为（• ）
A．（20
3
-1.5）m B．（20
3
+1.5）m
C．31.5m D．28.5m
2．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2
倍，则锐角A的正切值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没
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有变化
3．用科学计算器计算锐角α的三角函数值时，•不能直接计算出来的三角函数值是
（ ）
A．cotα B．tanα C．cosα D．sinα
4．计算sin30°·cot45°的结果是（ ）
A．
1
332
B． C． D．
2
264
2
5．
(tan301)
=（ ）
A．1-
33
B．
3
-1 C．-1 D．1-
3

33
12
，则tanA等于（ ）
13
513125
A． B． C． D．
1312512
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，cosA=
7．已知α为锐角，tanα=
3
，则cosα等于（ ）
A．
1
233
B． C． D．
2
223
8．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ）
A．
1
233
B． C． D．
2
223
9．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，CA=4，那么sinA等于（ ）
A．
3434
B． C． D．
4355
1
，tanB=
3
，AB=10，
2
（三）解答题
1．（2004，芜湖）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=
• 求△ABC的面积．





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2．（2004，大连）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D是AB的中点，
• 中柱CD=1m，∠A=72°，求跨度AB的长（精确到0.01m）．


< br>3．（2004，南京）如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰
角为4 5°，从地面B点测得C点的仰角为60°，已知AB=20m，点C和直线AB在同一铅垂
平面上，求 气球离地面的高度．（结果保留根号）．



4．（2004， 贵阳）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一
楼是高6m的小区超市，超市以 上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新
楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为3 2°时，问：
（1）超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？
（2）若要使 超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（•结果保留整数，•参考数据：
sin32°≈
53 1065
，cos32°≈，tan32°≈）
1001258





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5．（2004，济南）如图表示一山坡路的横截面，•CM•是一段平路，•它高出水平地面
24m，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100m，•把山坡
路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到0.01m）
（1）求山坡路AB的高度BE．
（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？
（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，c os12°=0.9781）









答案:
一、填空题
1．
138b
232
2． 3． 4．60°， 5． 6． 7．b·cos或
353tan

223
8．
3
9．100sinβ 10．
1
（1-cos10°）•
2
二、选择题
1．B 2．D 3．A 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．C
三、解答题
1．
25
3

3
2．3.93m
3．解：作CD⊥AB，垂足为D，
设气球离地面的高度是xm
在Rt△CBD中，∠CAD=45°
∴AD=CD=x
在Rt△CBD中，∠CBD=60°
∴cot60°=
BD

CD
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∴BD=
3

3
3
x
3
∵AB=AD-BD，∴20=x-
∴x=30+10
3
．
答：气球离地面的高度是（30+10
3
）m．
4．（1）如图设CE=x米，则AF=（20-x）米，tan32°=
∵11>6，∴居民住房的采光有影响．
（2）如图：tan32°=
两楼应相距32米．
AF
，即20-x=15·tan32°x=11
EF
AB8
，BF=20×=32
BF5

5．（1）在Rt△ABE中
BE=ABsin∠BAE
=100sin5°
=100×0.0872=8.72（米）．
（2）在Rt△CBH中
CH=CF-HF=15.28
CH

sinCBH
15.28
=≈73.497
sin12
BC=
在Rt△DBI中
DB=
DI15.28
=≈175.229
sinDBI
sin5
22
∴DB- BC≈175.229-73.497=101.732≈101.73（米）．
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