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《二次根式》复习
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一、 二次根式的有关概念
1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被
开放数
a
≥0.

2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有
开得尽方的因数或因式.
例:二次根式
1
,12, 30,x2,40x
2
,a
2
b
中,是最简二次根式的有
2
____________________ ________.
下列各式中是最简二次根式的是 ( )
(A)
18a
(B)
x
2
(C)
m
2
n
2
(D)
3xy

2
3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,
那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
例:下面与
2
是同类二次根式的是 ( )
(A)
3
(B)
12
(C)
8
(D)
21

下列根式中与
a
是同类二次根式的是 ( )
(A)
2a
(B)
3a
2
(C)
1
(D)
a
4

a
二、 二次根式的性质
1. 非负性：二次根式
a
中被开方数
a
≥0，且
a
≥0.
2.

a

2

(
a
≥0).
(a≥0)
3.
a
2
a
.
(a﹤0)
三、 二次根式的运算

1. 乘法公式:
ab
(
a
≥0,
b
≥0).
2. 积的算术平方根:

ab
(
a
≥0,
b
≥0).
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3. 除法公式:
ab
a
b

(
a
≥0,
b
﹥0).
4. 商的算术平方根:
a

(
a
≥0,
b
﹥0).
b
5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,
再将 合并.
四、 典例研习
【例1】 x取怎样的数时,下列二次根式有意义?


1
(2)
(1)2x1
； .
x1
【变式探究】
1.
x1
在实数范围内有意义,则
x
的取值范围是 .
2.使式子
4x
无
意义的
x
的取值是 .
3.
使式子
有意义的x的取值范围是 .
4.能
使式子
x2
1
4x
有意义的
x< br>的取值范围是 .
5.若
6. 2
xy1

y3

0
,则
xy< br>的值为______________.
2
x11x

x y

,则
xy
的值为 ( )
(A)
1
(B)
1
(C)
2
(D)
3

【例2】若
a< br><1,化简

a1

2
1
等于 ( )
(A)
a2
(B)
2a
(C)
a
(D)
a

【变式探究】
7.计算:

32

2
3

3
.
8.已知
a
<
b
,化简二次根式
a
3
b
正确的结果是 ( )
(A)
aab
(B)
aab
(C)
aab
(D)
aab

9.若

a2

2
2
a20
,则
a
的取值范围为___________________ __.
10.实数
a,b,c
在数轴上的点如图所示,
化简
a

ab

2
c

bc

2
b

_____________.
c
0
a
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a
2

_____________. 11.若
a4a4b30,
则
b
2
【例3】计算(1)
27



【变式探究】
1
2

13

1812
； (2)


2412

.
3
3
62

12.下列计算中:①
236
,②
1
2
2
,③
32221
,④
14772
, 2
25a8a
,⑧
93
,正确的⑤
233255,⑥
60523
,⑦
9a
是_________________ ____________________.(填写序号即可)
13.计算
2a8a
(
a
≥
0
).
14.化简:
(1)
12



(5)
8
188
3
(2) (3)
15
2

5
m
3

(4)

1
m
32
9

1

188
(6)
2



2

2
2

2





15.计算:
(1)




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
1
1
1



(3)
4812
12
(2)
15



27


4< br>32
12



3
3

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【综合训练】
1. 实数
a,b,c
在数轴上的点如图所示,
化简
a
2
a
0
b
b
2


ab

2< br>
_____________.
A C
B
2.如图所示,数轴上表示2、
5
的对应点分别是C、B,
点C是AB的中点，则点A表示的数是 （ ）
2
5

(A)
5
(B)
25
(C)
45
(D)
52

2a
2
2ab
3.已知
6
的整数部分为
a
,小数部分为
b
,则代数式的 值为____________.
2
abb
4.如果
a
3
a
2
aa1
那么实数
a
的取值范围是 ( )
(A)
a1
(B)
a0
(C)
0
≤
a
≤
1
(D)
1
≤
a
≤
0

0
a
12aaa2a1
的值. 6.已知 ,求




5.化简:
(1)
1
23
22
a1

a
2
a
x
2
4 x4

2x
(2)
x2x3

2
x
2
10x25

(其中
2
≤
x
≤
2
)





6.设
a,b,c
是△ABC三边的长,化简


abc

2


bac

2
的结果.
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