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复杂管网数学模型及其分析方法 - 工程设计
简介： 这里将介绍基于管网基本定理 的复杂管网数学模型分析法，
该方法也称节点法。利用该方法可以将复杂管网的邻接矩阵将简单管
道与复杂管网的分析方法统一起来。同时给出非线性矩阵方程的迭代
解法初始参数的计算方法。关键字 ：非线性管网 节点法 水力分析 复
杂管网分析方法有多种，近年新出现的有图论法和有限元法[3] [4]。
两种方法各有所长，图论法将复杂的管网处理为相应的“网络图”，并
建立相应的数学 模型以适用范围各不相同管网水力计算。有限元法通
过局部的管元分析得出管网的数学模型。管网水力分 析的基础是管段
的水力学模型。常用的数学模型是采用Darcy-Weisbach 公式和
Hazen-Williams 公式。这两个公式原用于管道沿程水力损失的计算，
公式来源 于理论研究和实验得到的结果。这两个公式的应用基础是大
量实验统计得出的参数。Darcy- Weisbach 公式一般采用
Colebrook-White、Swamee-Jain 实验公式和 Moody 图表来求出沿程
损失系数f[2]。文献[1]论述了水力模型的基本形式和 管网中管件的定
理，该理论统一了局部损失和沿程损失的数学模型。这里进一步讨论
在复杂管网 中，基于该定理并利用节点分析方法给出Kirchhoff 第一
定律和第二定律的表示方法及其应用。1.管网模型1.1. 管道模型 按
文献[1]介 绍的：定理1：任何管件的组合，其组合后的管件，以管件
断面的流量和压力水头表示的数学模型具有幂 函数的形式。 （1）
式中：a, b为不会等于零的实系数；hf为管段的水头损失；q是管段内的流量。换言之，对于管段两端，记上游端水头为H2，下游端水

头为H1，即： （2）1.2. 复杂管网模型 对于复杂管网，这里所说
的复杂是指有多环、多水源、多出流口的管网 ，对于这种管网可以用
与一般管道同样形式的矩阵公式来表示。记：式中： H为管段的节
点水 头矢量；q为管网的管段流量；n为管网中的管段数量。为了有
利于统一表达式，记管段两端的水头为H 1，H2 。对于简单管段有：
（4）容易看出这种变形为采用线性方程组提供了方便。当第t次计
算时，令： （5）式中： 管段在第t-1时的流量，在第t-1次计算
时它是已知量； 是管段在第t时的假定 流量。q是有方向的矢量，其
方向是由管段端点2指向端点1。换言之，端点2水头大于端点1的
水头，这样水才能从端点2流到端点1，流量的值才可能是正值。从
数学的角度理解，假定H1，H2 ，q为不为零的实数，H1，H2前面的
正负号可以表示为管段的端点i在流量指向的方向。对于如图1 所示
的管网，可以用管网邻接矩阵A表示。图1. 一个简单复杂管网图对
于图1按节点及管段 编号来关联，行是管段，列是节点。①节点与1
管段、2管段相连接，因假定管段的水流方向是由节点编 号大端流向
节点编号小端。①节点的邻接向量是。同理：②节点的邻接向量是，
易知：容易得到 矩阵：通常将以上矩阵称为管网的邻接矩阵，2.节点
分析法 如令：图1中与矩阵等式 （6）对应的是以下矩阵： （7）
对①节点有：对②节点有：表明矩阵等式可以表示节点流量守恒定 律。
根据流量守恒定律和能量守恒定律，有的学科也称为Kirchhoff 第一
定律和第二定律。管网系统的两个定律可表达为： （8）这也是节
点分析法的关键方程组。其中： （9）式中： Ac 节点与管段的邻

接矩阵；Af 节点与已知水头的邻接矩阵；Hc管段的节点水头矢量；
Hf 已知节点水头矢量。而且，是式（4）在 管网中的矩阵表达。以图
1的管网为例有：而且，采用计算机程序自动搜索分析，容易得到以
上 矩阵。同时，用矩阵表示的是：=（10）矩阵运算后可表示成以下
方程： （11）其中H6是已知 水塔的水头。式（10）表明矩阵方法
可以表示节点能量守恒定律。以上分析虽然是针对图1的实例进行 ，
但没有设立管网联接及出流的特殊性条件，故所介绍的分析结果具有
一般性。显然，这种结果 也可以通过采用“图论法”和有限元法进行分
析得到。3.方程的解法 矩阵方程（8）是复杂管网的数 学模型，对此
模型的求解可以得到管网的水力学参数。如将Y(q)看作一个常数，该
方程就是 一个线性方程组，可将此线性方程组称为非线性方程（8）
的伴随方程。注意到管网在第t-1时的流量 为q(t-1)，在第t-1次计算
时Y(q(t-1))是已知量；q(t)是管网在第t时的流量。 实际上是在迭代运
算中令：Y(q(t)) = Y(q(t-1))因大多数管网它们的管段内流速v都在1~3
ms之内。经验证明这样种情况下， 令流速v=1作为t=0的初值比较
合理。这时，矩阵方程（8）实际迭代时t为：式中：Ai为i管段 的
断面面积；n为管网的管段数。当在te时，迭代中，当 时，认为方
程解为： i=1,…,n ；k=1,…,m；m为管网的节点数。其中， 为一相
对小的数，工程上，一般取就 行了。的值越小计算机的运算时间就越
长。由方程（8）变形得到方程： （12）式中，Hc 管段 的节点水
头矢量，是待求的未知量；Hf为已知节点水头矢量。q=是管段内的
流量矢量，是待 求的未知量；d是管网的出水量矢量，是已知量。用

线性方程组的解法容易经3~4次迭 代得到方程（12）的解。4.结论 复
杂管网可以用矩阵的形式表示，并可用节点法建立其矩阵方程。其方
程为： （12）此方程是一个非线性方程，解此方程可用迭代法进行
计算。迭代的初始参数及计算方法如下：当 时，认为方程解为：
i=1,…,n ；k=1,…,m；n为管网的管段数，m为管网的节点数。[1] 李
鸣，管网基本定理及其数学模型[J]，节水灌溉，2001 (1)8-11[2] Haestad
Methods, Thomas M. Walski, Advanced Water Distribution Modeling and
Management [M], Haestad Press, 2003[3] 石 继，张丰周，魏永曜，图
论法用于供水管网水力计算的研究 [J]，水利学报，1999 (2)[4] 康跃
虎，微灌系统水力学解析和设计[C]，陕西科学技术出版社，1999.4
［作者简介］李鸣，男，48 岁，高级工程师。感谢长江水利委员会
刘东同志对本文早期研究工作的支持。