小学二年级语文试卷分析-睚眦必报是什么意思

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河南省郑州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）

一、选择题
1．（5分）已知i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限为（）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

2
2．（5分）设 X～N（500，60），P（X≤440）=0.16，则P（X≥560）=（）
A． 0.16 B． 0.32 C． 0.84 D． 0.64

3．（5分）用反证法证明命题“自然数a，b，c，中恰有一个偶数”时，需假设（）
A． a，b，c都是奇数
B． a，b，c都是偶数
C． a，b，c都是奇数或至少有两个偶数
D． a，b，c至少有两个偶数

4． （5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）
=（）

A． B． 1 C． 2 D． 0

5．（5分）某餐 厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供
的全部数据，用最小二乘法 得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）
x
y

A． 50

2
25
4
35
B． 55
5
m
C． 60
6
55
D． 65
8
75
6．（5分）若函数f（x）=，则f′（x）是（）
A． 仅有最小值的奇函数
B． 仅有最大值的偶函数
C． 既有最大值又有最小值的偶函数
D． 非奇非偶函数

7．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）

- 1 -

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A． B． 4 C． D． 6

3
8．（5分）函数f（x）=x﹣3x+ 1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）
A． 1，﹣1 B． 1，﹣17 C． 3，﹣17 D． 9，﹣19

9．（5分）某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参 加某次社区服务，如果要求至少有1
名女生，那么不同的选派方案种数为（）
A． 14 B． 24 C． 28 D． 48

10．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函 数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一
个直角坐标系中，不可能正确的是（）
A． B． C．
D．

11．（5分）口袋里放有大小相同的2个红球 和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数
列{a
n
}：
为（）
A． B． C． D．
，如果S
n
为数列{a
n}的前n项之和，那么S
7
=3的概率

32
12．（5分）若 函数f（x）=x+ax+bx+c有极值点x
1
，x
2
，且f（x
1
）=x
1
，则关于x的方程3（f
2
（x））+2af（x）+b =0的不同实根个数是（）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6


二、填空题
13．（5分）的展开式中x的系数是．
3

14．（5分）设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：
ξ ﹣1 0 1

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P 0.5 q
2
则q=．

15．（5分）设A、B为两个事件，若事件 A和B同时发生的概率为
下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为．

16 ．（5分）设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为a
i
（i=1，2，3，4），P是该 四边形
内一点，点P到第i条边的距离记为，类
，在事件A发生的条件
比上述结论，体 积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S
i
（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内
的一点，点Q到第i个面的距离记为d
i
，若


三、解答题
17．（10分）设复数z=

18．（12分）已知（n∈N）的展开式中第五项的 系数与第三项的系数的比是
*
等于．
，若z+az+b=1+i，求实数a，b的值．
2
10：1．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含的项．

19．（12分）某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统
计如下：
API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，
250] （250，300] ＞300
空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染
天数 4 13 18 30 9 11 15
记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元），空气质量指数API为ω，在区
间[0 ，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当
A PI为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元．
（1）试写出S（ω）表达式；
（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；

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（3 ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列
联表，并判断 能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
2
P（K≥k
c
） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
0.001
K
c
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K=
2

非重度污染 重度污染 合计
供暖季
非供暖季
合计 100

20．（12分）学校游园活动有这 样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子
里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色 外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出
2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游 戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．

21．（12分）当n∈N时，
*
，T
n
=+++„+．
（Ⅰ）求S
1
，S
2
，T
1
，T
2
；
（Ⅱ）猜想S
n
与T
n
的关系，并用数学归纳法证明．

2
22．（12分）已知函数f（x）=lnx+x．
（Ⅰ）求h（x）=f（x）﹣3x的极值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
2（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x﹣k，k∈R，若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n）， 且
满足2x
0
=m+n，问：函数F（x）在（x
0
，F（x
0
））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切
线方程，若不能，请说明理由．



河南省郑州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题
1．（5分）已知i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限为（）
D． 第四象限 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限

考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．

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解答： 解：复数z====在复平面内对应的点
所在的象限为第四象限．
故选：D．
点评： 本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题．

2
2． （5分）设X～N（500，60），P（X≤440）=0.16，则P（X≥560）=（）
A． 0.16 B． 0.32 C． 0.84 D． 0.64

考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
分析： 利用正态分布的对称性即可得出．
22
解答： 解：∵μ=500，σ=60，即 σ=60．
根据正态分布的对称性P（X≥μ﹣3σ）=P（X≤μ﹣3σ）=0.16．
故选A．
点评： 正确理解正态分布的对称性是解题的关键．

3．（ 5分）用反证法证明命题“自然数a，b，c，中恰有一个偶数”时，需假设（）
A． a，b，c都是奇数
B． a，b，c都是偶数
C． a，b，c都是奇数或至少有两个偶数
D． a，b，c至少有两个偶数

考点： 反证法．
专题： 推理和证明．
分析： 直接利用反证法的定义，写出结果即可．
解答： 解：用反证法证明命题“自然数a，b，c，中恰有 一个偶数”时，需假设：a，b，c
都是奇数或至少有两个偶数．
故选：C．
点评： 本题考查反证法的定义，利用反证法证明命题的步骤，基本知识的考查．

4．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）

A． B． 1 C． 2 D． 0

考点： 导数的运算．
专题： 导数的概念及应用．

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分析： 利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出f′（5），将切点坐标代入切线方程求
出f（5）．
解答： 解：f′（5）=﹣1
将x=5代入切线方程得f（5）=﹣5+8=3，
所以f（5）+f′（5）=3+（﹣1）=2，
故选：C
点评： 本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率．

5．（5分）某餐厅的原 料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供
的全部数据，用最小二乘法得出y 与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）
x 2 4 5 6 8
y 25 35 m 55 75

A． 50 B． 55 C． 60 D． 65

考点： 线性回归方程．
专题： 应用题；概率与统计．
分析： 计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结
论．
解答： 解：由题意，==5，==38+，
∵y关于x的线性回归方程为=8.5x+7.5，
根据线性回归方程必过样本的中心，
∴38+=8.5×5+7.5，
∴m=60．
故选：C．
点评： 本 题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，
这是线性回归方程中最常 考的知识点．属于基础题．

6．（5分）若函数f（x）=，则f′（x）是（）
A． 仅有最小值的奇函数
B． 仅有最大值的偶函数
C． 既有最大值又有最小值的偶函数
D． 非奇非偶函数

考点： 简单复合函数的导数．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 先求导，转化为二次函数型 的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数
的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可．

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解答： 解：∵函数f（x）=
∴f（x）=cos2x+cosx=2cosx+cosx﹣ 1=
得最小值
′
′2
，
，当cosx=时，f（x）取
′
；当cosx=1时，f（x）取得最大值2．
′′
′
且f（﹣x）=f（x）．即f（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数．
故选C．
点评： 熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的
奇偶性是解题的关键．

7．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）
A． B． 4 C． D． 6

考点： 定积分在求面积中的应用．
专题： 计算题．
分析： 利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线 y=，直线y=x
﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．
解答： 解：联立方程
因此曲线y=
S=
得到两曲线的交点（4，2），
，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：
．故选C．

点评： 本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考
查学生的转化与化归能 力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键
要找准被积函数的原函数，属于定 积分的简单应用问题．

3
8．（5分）函数f（x）=x﹣3x+1在闭区间[﹣ 3，0]上的最大值、最小值分别是（）
A． 1，﹣1 B． 1，﹣17 C． 3，﹣17 D． 9，﹣19


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考点： 函数的最值及其几何意义．
专题： 计算题．
3
分析： 求导，用导研究函数f（x）=x﹣3x+1在闭区间 [﹣3，0]上的单调性，利用单调性求
函数的最值．
2
解答： 解：f′（x）=3x﹣3=0，x=±1，
3
故函数f（x）=x﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是增函数，在[﹣1，0]上是减函数
又f（﹣3）=﹣17，f（0）=1，f（1）=﹣1，f（﹣1）=3．
故最大值、最小值分别为3，﹣17；
故选C．
点评： 本题考点是导数法求函数 最值．此类解法的步骤是求导，确定极值点，研究单调性，
求出极值与区间端点的函数值，再比较各数的 大小，选出最大值与最小值．

9．（5分）某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加 某次社区服务，如果要求至少有1
名女生，那么不同的选派方案种数为（）
A． 14 B． 24 C． 28 D． 48

考点： 排列、组合的实际应用．
专题： 计算题；转化思想．
分析： 法一：用直接法，4人中至少有1名女生包括1女3男 及2女2男两种情况，计算各
种情况下的选派方案种数，由加法原理，计算可得答案；
法二： 用排除法，首先计算从4男2女中选4人的选派方案种数，再计算4名都是男生的选派
方案种数，由排除 法，计算可得答案．
解答： 解：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，
1322
故不同的选派方案种数为C
2
•C
4
+C
2
•C
4
=2×4+1×6=14；

44
法二：从4男 2女中选4人共有C
6
种选法，4名都是男生的选法有C
4
种，
4 4
故至少有1名女生的选派方案种数为C
6
﹣C
4
=15﹣1=14 ．
故选A．
点评： 本题考查简单的排列组合，建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接 法即排除法，
以避免直接的分类不全情况出现．

10．（5分）设f′（x）是函 数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一
个直角坐标系中，不可能正确的 是（）

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A． B． C．
D．

考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．
专题： 压轴题．
分析： 本题可以考虑 排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，
不具有单调性，但y=f（x）和y =f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样
的函数．
解答： 解析：检验 易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义
域内，不具有单调性，但y=f （x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具
有这样的函数，故选D．
点评： 考查函数的单调性问题．

11．（5分）口袋里放有大小相同的2个红球 和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数
列{a
n
}：
为（）
A． B． C． D．
，如果S
n
为数列{a
n}的前n项之和，那么S
7
=3的概率

考点： 等可能事件的概率．
专题： 常规题型；概率与统计．
分析： S
7
=3说明共摸球七次，只有 两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，
故可以用独立事件的概率乘法公式求解．
解答： 解：由题意S
7
=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，
因为每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是
所以只有两次摸到红球的概率是=
故选B
点评： 本题考查独立事件的概率乘法公 式，考查学生分析解决问题的能力，确定S
7
=3说明
共摸球七次，只有两次摸到红球 是关键．


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12．（5分）若函数f（x）=x+ ax+bx+c有极值点x
1
，x
2
，且f（x
1
）=x< br>1
，则关于x的方程3（f
2
（x））+2af（x）+b=0的不同实根个数 是（）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

考点： 函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．
专题： 综合题；压轴题；导数的综合应用．
2
分析： 求导数f′（x），由题意知x
1< br>，x
2
是方程3x+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方
2
程3（f（x））+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．
22
解答： 解：f′（x）=3x+2ax+b，x
1
，x
2是方程3x+2ax+b=0的两根，不妨设x
2
＞x
1
，
2
由3（f（x））+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x
1
=f （x
1
），x
2
＞x
1
=f（x
1
），
如下示意图象：
如图有三个交点，
故选A．
32

点评： 考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．

二、填空题
13．（5分）的展开式中x的系数是24．
3

考点： 二项式系数的性质．
专题： 计算题．
分析： 求出
3
的通项公式为 T
r+1
=，令 ，求出
r的值，即可求得x的系数．
解答： 解：由于的展开式的通项公式为
T
r+1
=
令
=
3
，
3
，解得 r=2，故 T
4
=24 x，故展开式中x的系数是24，
故答案为：24．
点评： 本题考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求
出通项公式为
T
r+1
=

，是解题的关键，属于中档题．
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14．（5分）设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：
ξ ﹣1 0 1
P 0.5 q
2
则q=．

考点： 离散型随机变量及其分布列．
专题： 计算题；阅读型．
分析： 根据随机变量的概率非 负不大于1，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等
于1，列出方程和不等式，解方程组即可．
解答： 解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，
0.5+1﹣q+q=1 ①
0≤1﹣q≤1 ②
q≤1③
∴解一元二次方程得q=或1，
而1代入②③不合题意，舍去，
故答案为：．
点评： 本题主要考查了分布列的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这 与求变量的
分布列是一个相反的过程，但是两者都要用到分布列的性质，属于中档题．
15．（5分）设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为
下，事件B发生的概率为，则 事件A发生的概率为．

考点：
专题：
分析：
解答：
，在事件A发生的条件
2
2
条件概率与独立事件．
计算题；概率与统计．
根据题意，结合条件概率公式加以计算即可得到事件A发生的概率．
解：根据题意，得
，P（AB）=，P（A|B）= ∵P（A|B）=
∴=，解得P（B）==
故答案为：

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点评： 本题给出事件A、B同时发生 的概率和A发生的条件下B发生的概率，求事件A的概
率，着重考查了条件概率及其应用的知识，属于基 础题．

16．（5分）设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为a
i
（i=1，2，3，4），P是该四边形
内一点，点P到第i条边的距离记为，类
比上述结论， 体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S
i
（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内
的一点，点Q到第i个面的距离记为d
i
，若

考点： 类比推理．
专题： 计算题．
分析： 由 可得a
i
=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个
等于．
定 点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同
理对三棱值得 体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．
解答： 解：根据三棱锥的体积公式
得 ：
即S
1
H
1
+2S
2
H
2
+3 S
3
H
3
+4S
4
H
4
=3V，
∴，

，
即 ．
故答案为：．
点评： 本题主要考 查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理
解类比推理的意义，掌握类比推理 的方法．平面几何的许多结论，可以通过类比的方法，得到
立体几何中相应的结论．当然，类比得到的结 论是否正确，则是需要通过证明才能加以肯定的．

三、解答题
17．（10分）设复数z=，若z+az+b=1+i，求实数a，b的值．
2

考点： 复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．
专题： 计算题．
2
分析： 先将z按照复数代数形式的运算法则，化为代数形式，代入 z+az+b=1+i，再根据复
数相等的概念，列出关于a，b的方程组，并解即可．

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解答： 解：z=
22
====1﹣i
z+az+b=（1﹣i）+a（1﹣i）+b=a+b﹣（a+2）i=1+i
∴解得
点评： 本题考查了复数代数形式的混合运算，复数相等的概念，属于基础题．

1 8．（12分）已知（n∈N）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是
*
10：1．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含的项．

考点： 二项式系数的性质．
专题： 计算题．
分析： （1）利用二项展开式 的通项公式求出二项展开式的通项，求出第五项的系数与第三
项的系数，根据已知条件列出方程，求出n 的值，将n的值代入二项式，给二项式中的x赋
值1，求出展开式中各项系数的和．
（2）令 二项展开式的通项中的x的指数为，求出r的值，将r的值代入通项求出展开式中
含的项．
解答： 解：由题意知，展开式的通项为

则第五项系数为C
n
•（﹣2），第三项的系数为C
n
•（﹣2）
则有，化简，得n﹣5n﹣24=0
2
4422
解得n=8或n=﹣3（舍去）
8
（1）令x=1，得各项系数的和为（1﹣2）=1
（2）令，则r=1
故展开式中含的项为
点评： 求二项展开式的特定项问题一般借助的工具是二项展开式的通项 公式；求二项展开
式的各项系数和问题，一般通过观察，通过赋值的方法来解决．

19．（12分）某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统
计如下：

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API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，
250] （250，300] ＞300
空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染
天数 4 13 18 30 9 11 15
记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元），空气质量指数API为ω，在区
间[0 ，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当
A PI为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元．
（1）试写出S（ω）表达式；
（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；
（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列
联表， 并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
2
P（K≥k
c
） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
0.001
K
c
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K=
2

非重度污染 重度污染 合计
供暖季
非供暖季
合计 100

考点： 独立性检验．
专题： 综合题；概率与统计．
分析： （1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经 济损失；在区间（100，300]对企业造
成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损 失为500元，当API为200时，造成
的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济 损失为2000元，可得函数关系式；
（2）由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；
（3） 根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临
界值进行比较，即 可得出结论．
解答： 解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（10 0，300]对企业
造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当AP I为200时，造
成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可 得S（ω）
=；
（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元”为事件A；
由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，
∴P（A）=；
（2）根据以上数据得到如表：
非重度污染 重度污染合计

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供暖季 22
非供暖季 63
合计 85
K的观测值K=
22
8
7
15
30
70
100
≈4.575＞3.841
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．
点评： 本题考查概率知识，考查列联表 ，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利
用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值 较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．

20．（12分）学校游园活动有这样一个游戏项 目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子
里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同， 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出
2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球 放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： （I）设“在X次游戏中摸出i个白球”为事件A
i
（i=，0，1，2，3 ），“在1次游
戏中获奖”为事件B，则B=A
2
∪A
3
，求出相应 的概率，再相加即可求得结果；
（II）在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，根据上面的结 果，代入公式得到结果，写
出分布列，求出数学期望．
解答： （I）解：设“在X次游戏中 摸出i个白球”为事件A
i
（i=，0，1，2，3），“在1
次游戏中获奖”为事件 B，则B=A
2
∪A
3
，
又P（A
3
）=，P（A
2
）==，
且A
2，A
3
互斥，所以P（B）=P（A
2
）+P（A
3
） =+=
（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.
所以X的分布列是
X 0
P
X的数学期望E（X）=0×

+1×+2×
；

1

=．
2

点评： 本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事
件和 相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．

21．（12分）当n ∈N时，
（Ⅰ）求S
1
，S
2
，T
1
，T
2
；
（Ⅱ）猜想S
n
与T
n
的关系，并用数学归纳法证明．

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*
，T
n
=+++„+．

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考点： 数学归纳法；数列的求和．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： （Ⅰ）由已 知直接利用n=1，2，求出S
1
，S
2
，T
1
，T
2
的值；
（Ⅱ）利用（1）的结果，直接猜想S
n
=T
n
，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；
②假设n=k时，S
k
=T
k
，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可．
解答： 解：（Ⅰ）∵当n∈N时，
T
n
=+++„+．
，T
1
==，T
2
=+=（2分）
*
，
∴S
1
=1﹣=，S
2
=1﹣+﹣=
*
（Ⅱ）猜想：Sn
=T
n
（n∈N），即：
1﹣+﹣+„+
*
﹣=+++„+
（n∈N）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S
1
=T
1
（6分）
*
②假设n=k时，S
k
=T
k
（k≥1，k∈N）， < br>即：1﹣+﹣+„+
则：S
k+1
=S
k
+
=
=
=
+
+
+
+„+
+
﹣
+„+
+
+
+（
+„+
*
﹣=
=T
k
+
﹣
﹣
+
+
﹣
++„+（8分）
（10分）
（11分）
）
=T
k+1
，
由①，②可知，对任意n∈N，S
n
=T
n
都成立．（14分）
点评： 本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考
查逻 辑推理能力，计算能力．

2
22．（12分）已知函数f（x）=lnx+x．
（Ⅰ）求h（x）=f（x）﹣3x的极值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
2（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x﹣k，k∈R，若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n）， 且
满足2x
0
=m+n，问：函数F（x）在（x
0
，F（x
0
））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切
线方程，若不能，请说明理由．

考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点
切线方程．
专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）求导数，利用极值的定义，求h（x）=f（x）﹣3x的极值；

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（Ⅱ）根据题意写出g（x）再求导数 ，由题意知g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，转化
为a≤2x+，再利用基本不等式求右边的 最小值，即可求得实数a的取值范围；
（Ⅲ）先假设F（x）在（x
0
，F（x0
））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x﹣kx．结合
2
题意列出 方程组，利用换元法导数研究单调性，证出ln＜在（0，1）上成立，
从而出现与题设矛盾，说明原假 设不成立．由此即可得到函数F（x）在（x
0
，F（x
0
））处的切
线不能平行于x轴．
解答： 解：（Ⅰ） 由已知，
，
所以h（x）
极小值
=h（1）=﹣2，
2
，令=0，得

（Ⅱ）因为g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x﹣ax，属于g′（x）=+2x﹣a
由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤（2x+）
min
< br>又x＞0，2x+≥2
故（2x+）
min
=2
，当且仅当x=
，所以a≤2
2
时等号成立
（Ⅲ）设F（x）在（x
0
，F（ x
0
））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x﹣kx
结合题意，有
①﹣②得2ln﹣（m+n）（m﹣n）=k（m﹣n）
所以k=
由④得k=
﹣2x
0
，
﹣2x
0

所以ln=„⑤

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设u=∈（0，1），得⑤式变为lnu﹣=0（u∈（0，1）），
设y=lnu﹣（u∈（0，1）），可得y′=＞0，
所以函数y=lnu﹣在（0，1）上单调递增，
因此，y＜y|
u=1
=0，即lnu﹣＜0，也就是ln＜此式与⑤矛盾
所以函数F（x）在（x
0
，F（x
0
））处的切线不能平行于x轴．
点评： 本题给出含有对数符号的基本初等函数函数，讨论了函数的单调性并探索函数图象
的切 线问题，着重考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．



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