三角纸折法-柯南图片

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贵州省贵阳市2015届高三上学期8月摸底数学试卷（文科）

一、选择题：本 大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．（5分）复数z=3﹣2i，i是虚数单位，则z的虚部是（）
A． 2i B． ﹣2i C． 2 D． ﹣2

2．（5分）设集合A={x∈N|3＜x＜7}，B={x∈N|4＜x＜8}，则A∩B=（）
A． {5，6} B． {4，5，6，7} C． {x|4＜x＜7} D． {x|3＜x＜8}

3．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x ）的图象如图所示，则f（﹣
2）=（）

A． ﹣3 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 2

2
4．（5分）抛物线y=﹣8x的准线方程为（）
A． x=2 B． x=﹣2 C． y=2 D． y=﹣2

5．（5分）下列判断错误的是（）
22
A． “am＜bm”是“a＜b“的充分不必要条件
3232
B． 命题“∀∈R，x﹣x﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x﹣x﹣1＞0”
C． 命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”
D． 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

6．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）

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A． f（x）=x
2
B． C． f（x）=x
2
D． f（x）=sinx

7．（5分）已知等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
3
=7a
1
，则数列{a
n
}的 公比q的值为（）
A． 2 B． 3 C． 2或﹣3 D． 2或3

8．（5分）设实数x、y满足约束条件，则3x+2y的最大值是（）
A． 6

B． 5 C． D． 0
9．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数
A． 向左平移
C． 向左平移
个单位
个单位
B． 向右平移
D． 向右平移
个单位
个单位
的图象（）

10．（5分）已知两个平面垂直，给出下列四个命题：
①一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的任意一条直线．
②一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线．
③一个平面内的任一条直线必垂直另一平面．
④在一个平面内一定存在直线平行于另一平面．
其中正确命题的个数是（）
A． 0 B． 1 C． 2

D． 3

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11 ．（5分）已知圆C：x+y=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于
2的概率为（）
A．

12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）
B． C． D．
22
=f（c），则abc的取值范围是（）
A． （1，10） B． （5，6） C． （10，12）


二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
D．
13．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（，），则该幂函数的解析式为．
< br>14．（5分）在等差数列{a
n
}中，a
4
+a
10
=6，则此数列前13项的和是．

15．（5分）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣ 6，且||=1，||=2，则与的夹角
为．

16．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为．



三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

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17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求cos（B+C）+cos2A的值；
（2）若，求b•c的最大值．

18．（12分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面 ABCD，
F为BE的中点．
（1）求证：DE∥平面ACF；
（2）若CE=1，AB=，求三棱锥E﹣ACF的体积．


19．（1 2分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交
通指数T．其范围 为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，
6）轻 度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳
市交 通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图
所示．
（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？
（2）用分层抽样的方法从轻 度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次
抽取的三个级别路段的个数；
（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．


20．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为， 过
椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．
（1）求椭圆的方程；
（2）若|AB|+|CD|=．求直线AB的方程．

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21．（12分）设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
2
（2）设F（x）=ax+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性．


选做题（共1小题，满分10分）
22．（10分）如图，已知AP是⊙O的切线 ，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两
点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点 ．
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．



选做题（共1小题，满分0分）
23．已知切线C的极坐标方程是ρ= 2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐
标系，直线L的参数方程为（t为参数）．
（1）写出直线L与曲线C的直角坐标系下的方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换，得到曲线C′，判断L与切线C′交点的个数．


选做题（共1小题，满分0分）
24．设函数f（x）=|x﹣a|
（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x |0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．



贵州省贵阳市2015届高三上学期8月摸底数学试卷（文科）

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参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要 求的.
1．（5分）复数z=3﹣2i，i是虚数单位，则z的虚部是（）
A． 2i B． ﹣2i C． 2 D． ﹣2

考点： 复数的基本概念．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 根据复数的有关概念，即可得到结论．
解答： 解：复数的虚部为﹣2，
故选：D
点评： 本题主要考查复数的概念，比较基础．

2．（5分）设集合A={x∈N|3＜x＜7}，B={x∈N|4＜x＜8}，则A∩B=（）
A． {5，6} B． {4，5，6，7} C． {x|4＜x＜7} D． {x|3＜x＜8}

考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 根据集合A、B中元素的范围，分别求出集合A、B，再由交集的元素求出A∩B．
解答： 解：由题意得，A={x∈N|3＜x＜7}={4，5，6}，B={x∈N|4＜x＜8} ={5，6，7}，
则A∩B={5，6}，
故选：A．
点评： 本题考查交集及其运算，注意集合中元素的范围，属于基础题．

3．（5分）已知f（x） 是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣
2）=（）

A． ﹣3 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 2

考点： 函数奇偶性的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数奇偶性的性质结合函数图象即可得到结论．
解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，
故选：B
点评： 本题主要考查函数值的计算，根据函数的奇偶性以及函数图象进行转化时解决本题
的关键．

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2
4．（5分）抛物线y=﹣8x的准线方程为（）
A． x=2 B． x=﹣2 C． y=2 D． y=﹣2

考点： 抛物线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
22
分析： 抛物线y=﹣8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y=﹣8x的准线方程．
2
解答： 解：抛物线y=﹣8x的开口向左，2p=8，
∴抛物线y=﹣8x的准线方程为x==2
故选A．
点评： 本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

5．（5分）下列判断错误的是（）
22
A． “am＜bm”是“a＜b“的充分不必要条件
3232
B． 命题“∀∈R，x﹣x﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x﹣x﹣1＞0”
C． 命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”
2
D． 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

考点： 命题的真假判断与应用；复合命题的真假；特称命题．
专题： 简易逻辑．
分析： 利用 充要条件判断A的正误；命题的否定判断B的正误；四种命题的逆否关系判断C
的正误；复合命题的真假 判断D的正误；
22
解答： 解：“am＜bm”，说明m≠0，可以得到“a＜b”，但是 反之不成立，所以判断命题
是充分不必要条件，所以A正确；
3232
命题“∀∈R ，x﹣x﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x﹣x﹣1＞0”，满足全称命题的否定是特
称命题的形式， 所以B正确；
命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”，符号逆否 命题的
定义，所以C正确；
若p∧q为假命题，则p，q至少一个是假命题，所以D错误．
故选：D．
点评： 本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件、命题的否定、四种命题的关系，基
本知识的考查．

6．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）

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A． f（x）=x
2
B． C． f（x）=x
2
D． f（x）=sinx

考点： 程序框图．
专题： 操作型．
分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作
用是输出满足条件①f （x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数
图象与x轴有交点．逐 一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．
22
解答： 解：∵A：f（x）=x、C：f（x）=x，不是奇函数，故不满足条件①
又∵B：的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②
而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，
故D：f（x）=sinx符合输出的条件
故答案为D．
点评： 根据流程图（或 伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处
理方法是：：①分析流程图（或伪代码 ），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又
要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据 比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）
⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数 学模型③解模．

7．（5分）已知等比数列{a
n
}的前n项和为Sn
，且S
3
=7a
1
，则数列{a
n
}的公比 q的值为（）
A． 2 B． 3 C． 2或﹣3 D． 2或3

考点： 等比数列的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据等比数列的通项公式表示出S
3
等于前三项相加，让其值等于7a
1
，根据a
1
不等于
0 ，消去a
1
得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值．
解答： 解：由S
3
=7a
1
，
2
则a
1
+a< br>2
+a
3
=7a
1
，即a
1
+a
1
q+a
1
q=7a
1
，
22
由a
1
≠0，化简得：1+q+q=7，即q+q﹣6=0，

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因式分解得：（q﹣2）（q+3）=0，
解得q=2或q=﹣3，
则数列{a
n
}的公比q的值为2或﹣3．
故选C
点评： 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一
道基础题．

8．（5分）设实数x、y满足约束条件，则3x+2y的最大值是（）
A． 6 B． 5 C． D． 0

考点： 简单线性规划．
专题： 数形结合．
分析： ①画可行域②z=3x+2y为目标函数纵截距倍③画直线0=3x+2y，平移直线过（1， 1）
时z有最大值
解答： 解：画可行域如图，z为目标函数z=3x+2y，
可看成是直线z=3x+2y的纵截距倍，
画直线0=3x+2y，平移直线过A（1，1）点时z有最大值5
故选B．

点评： 本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，
这类 问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．

9．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数
A． 向左平移个单位 B． 向右平移个单位
的图象（）

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C． 向左平移个单位 D． 向右平移个单位

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 计算题．
分析： 先把y=sin（2x+）整理为sin2（x+）；再根据图象平移规律即可得到 结论．（注
意平移的是自变量本身，须提系数）．
解答： 解：因为：y=sin（2x+）=sin2（x+）．
）相右平移个单位得到函数y=sin2x根 据函数图象的平移规律可得：须把函数y=sin2（x+
的图象．
故选：D．
点评： 本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．

10．（5分）已知两个平面垂直，给出下列四个命题：
①一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的任意一条直线．
②一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线．
③一个平面内的任一条直线必垂直另一平面．
④在一个平面内一定存在直线平行于另一平面．
其中正确命题的个数是（）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 阅读型；空间位置关系与距离．
分析： 由面面垂直的性质定理：如果两平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直
线垂 直于另一个平面，则可判断①③均错；由线面平行的判定定理，可知只要该直线平行于交
线，即可判断④ 正确；可以找到一条直线垂直于另一条直线，这无数条直线可以平行，即可判
断②正确．
解答： 解：对于①，由于两平面垂直，则若一个平面内的已知直线垂直另一平面内的任意
一条直线，
则该直线垂直于另一个平面，且必垂直于它们的交线，可已知直线不一定垂直于交线，故①
错；
对于②，一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线，比如都是平行线，故②对；
对于③，由于两平面垂直，则一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一平面，只有它垂直
于交线，
才成立，故③错；
对于④，在一个平面内一定存在直线平行于另一平面，只要改直线平行于交线即可，故④对．
则②④正确．
故选C．
点评： 本题主要考查面面垂直的性质定理，考查线面垂直 、平行的判定和性质，记熟这些
定理是迅速解题的关键，属于基础题．


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11．（5分 ）已知圆C：x+y=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于
2的概 率为（）
A． B． C． D．
22

考点： 几何概型．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取 一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，
根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概 型概率公式得到结果．
解答： 解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上 随机的取一
个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条
直线交直线l与一点，
∵圆心到直线的距离是=5，
∴在这条垂直于直线l的半径 上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，
弦长之间组成的直角三角形得到符合条件 的弧长对应的圆心角是60°
根据几何概型的概率公式得到P==
故选A．
点评： 本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定测度是关键．

12．（5 分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）
=f（c），则abc的取值范围是（）
A． （1，10） B． （5，6） C． （10，12） D．

考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数
的图像与性质．
专题： 作图题；压轴题；数形结合．
分析： 画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．
解答： 解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，

则abc=c∈（10，12）．
故选C．


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点评： 本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（，），则该幂函数的解析式为y=

考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 设出幂函数的解析式，由图象过点（，），求出这个幂函数的解析式．
解答： 解：设幂函数的解析式为y=x，α∈R，
∵图象经过点（，），
∴（）=，
∴α=，
∴这个幂函数的解析式为y=；
故答案为：y=．
点评： 本题考查了用待定系数法求函数解析式的问题，是基础题．

14．（5分）在等差数列{a
n
}中，a
4
+a
10
=6，则此数列前13项的和是39 ．

考点： 等差数列的性质．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 直接利用等差数列的性质结合已知求得a
7
=3，然后由S
13=13a
7
得答案．
解答： 解：在等差数列{a
n
}中，由 a
4
+a
10
=6，得2a
7
=6，a
7
=3．
∴S
13
=13a
7
=13×3=39．
故答案为：39．
点评： 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的和，是基础题．

15．（5分）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹 角
为．
α
α
．

考点： 数量积表示两个向量的夹角．
专题： 计算题．
分析： 由条件可得求得
求出θ的值．
解答： 解：设与的夹角为θ，∵向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，
||=2，

- 12 -
=1，再由两个向量的夹角公式求出cosθ=，再由θ的范围

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∴++=1++4=6，∴=1．
∴cosθ==，再由θ的范围为[0，π]，可得 θ=，
故答案为 ．
=1，是解题的关键，属于中档题． 点评： 本题主要考查两个向量的夹角公式，求出

16．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为．


考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 图表型．
分析： 几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是
边长 是1的正方形，四棱锥的高是，根据求和几何体的对称性得到几何体的外接球的直径
是，求出表面积及球 的表面积即可得出比值．
解答： 解：由三视图知，几何体是一个组合体，
是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，
四棱锥的底面是边长是1的正方形，
四棱锥的高是，斜高为，
1×=2
，
- 13 -
这个几何 体的表面积为8×
∴根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是

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∴外接球的表面积是4×π（）2=2π
= 则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为
故答案为：．
点评： 本题考查由三视图求几何 体的体积，考查由三视图还原直观图，考查正多面体与外
接球之间的关系，本题是一个考查的知识点比较 全的题目．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求cos（B+C）+cos2A的值；
（2）若，求b•c的最大值．

考点： 余弦定理；基本不等式；二倍角的余弦．
专题： 计算题．
分析： （ 1）把所求式子第一项的角B+C变为π﹣A，利用诱导公式化简，第二项利用二倍
角的余弦函数公式化 简，得到关于cosA的关系式，把cosA的值代入即可求出值；
22
（2）利用余弦定理 表示出cosA，将已知cosA的值代入，整理后利用基本不等式b+c≥2bc
进行变形，把a的值 代入可求出bc的范围，即可确定出bc的最大值．
解答： 解：（1）∵cosA=，且A+B+C=π，
∴cos（B+C）+cos2A
=cos（π﹣A）+cos2A
2
=﹣cosA+2cosA﹣1
=﹣+2×
=﹣；
﹣1
（2）由根据余弦定理得：cosA=，又cosA=，
∴
∴
又∵，∴
，
，
，
当且仅当b=c=时，bc=，
则bc的最大值是．

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点评： 此题考查了余弦定理，二倍角 的余弦函数公式，诱导公式，以及基本不等式的应用，
熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

18．（12分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面 ABCD，
F为BE的中点．
（1）求证：DE∥平面ACF；
（2）若CE=1，AB=，求三棱锥E﹣ACF的体积．


考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 计算题；证明题；空间位置关系与距离．
分析： （1）连接OF，由中位线定理，得到OF∥DE，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（2）在△ EBC中，求得△CEF的面积，再由线面垂直的性质和判定，得到AB⊥平面BCE，再由
三棱锥E﹣ ACF的体积即三棱锥A﹣ECF的体积，运用棱锥的体积公式即可得到．
解答： （1）证明：连接OF．由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD中点．
又F为BE的中点，所以OF∥DE．
又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，
所以DE∥平面ACF；
（2）因为在△EBC中，BC⊥CE，F为BE的中点，CE=1，BC=，
所以．
又因为底面ABCD是正方形，EC⊥底面ABCD，
所以AB⊥BC，AB⊥CE， BC∩CE=C，
所以AB⊥平面BCE，
所以三棱锥E﹣ACF的体积．

点评： 本题考查直线与平面平行的判断和垂直的判定和性质定理的运用，考查棱锥的体积
的计 算，注意三棱锥体积可用等积法，属于中档题．


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19．（12分）交通指数是指交通拥 堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交
通指数T．其范围为[0，10]，分别有五 个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，
6）轻度拥堵；T∈[6，8）中 度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳
市交通指挥中心选取了市区20 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图
所示．
（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？
（2）用分层抽样的方法从轻 度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次
抽取的三个级别路段的个数；
（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．


考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： （1）由频率分布直方图可知底×高=频率，频数×20=个数，即可得出结论；
（2）根据分层抽样 ，交通指数在[4，10）的路段共18个，抽取6个，求出抽取的比值，继
而求得路段个数．
（3）考查古典概型，一一列举所有满足条件的基本事件，利用概率公式求得．
解答： 解： （1）由直方图得：这20个路段中，轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20=6个，
中度拥 堵的路段有（0.25+0.2）×1×20=9个，严重拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20=3个． ﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）由（1）知：拥堵路段共有6+9+3=18个，按分 层抽样，从18个路段选出6个，依次抽
取的三个级别路段的个数分别为，即从交通指数在[4，6），
[6，8），[8，10]的路段中分别抽取的个数为2，3，1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（3）记选出的2个轻度拥堵路段为A
1
，A
2
，选出的3个中度拥堵路段为 B
1
，B
2
，B
3
，选出的1
个严重拥堵路段为C
1
，则从这6个路段中选出2个路段的所有可能情况如下：（A
1
，A
2
），（A
1
，
B
1
），（A
1
，B< br>2
），（A
1
，B
3
），（A
1
，C
1
），（A
2
，B
1
），（A
2
，B
2
），（A
2
，B
3
），（A
2
，C
1），（B
1
，B
2
），（B
1
，
B
3
），（B
1
，C
1
），（B
2
，B
3），（B
2
，C
1
），（B
3
，C
1
），共15种情况．其中至少有一个轻度拥堵路段的
情况有：（A
1
，A
2< br>），（A
1
，B
1
），（A
1
，B
2
），（A
1
，B
3
），（A
1
，C
1
） ，（A
2
，B
1
），（A
2
，B
2
），（ A
2
，B
3
），（A
2
，
C
1
） ，共9种．
所以所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
点评： 本题主要考查了频率分布直方图的应用、分层抽样和古典概型的概率的求法，属于
基础题．


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2 0．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过
椭圆由焦点 F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．
（1）求椭圆的方程；
（2）若|AB|+|CD|=．求直线AB的方程．


考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1），2a=4，又a=b+c，解得：
222
，即可求出椭圆的方程；
，（2） 分类讨论，将直线AB，CD方程代入椭圆方程中，求出|AB|，|CD|，利用|AB|+|CD|=
求出k，即可求直线AB的方程．
解答： 解：（1）由题意知，2a=4，又a=b+c，解得：
222
，所以椭圆方程
为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）①当两条弦 中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知|AB|+|CD|=7，不满
足条件；
②当两弦斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），
则直线CD的方程为．
2222
将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得（3+4k）x﹣8kx+4k﹣12=0，
则，所以．
同理，．
所以==
解得k=±1，所以直线AB方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

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点评： 本题考查椭圆非常，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，
属于中档题．

21．（12分）设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
2
（2）设F（x）=ax+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 导数的综合应用．
分析： （1）求导函数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最小值；
（2）分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数F（x）的单调性．
解答： 解：（1）求导函数，可得f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得x=．
∵当x
∴当x=时，
（2）F（x）=ax+lnx+1（x＞0），
2
时，f′（ x）＜0；当
．„（6分）
时，f′（x）＞0，
（x＞0）．
①当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时， 令F′（x）＞0，得2ax+1＞0，解得
令F′（x）＜0，得2ax+1＜0，解得
2< br>2
；
．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．„（12
分）
点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，
属于中档题．

选做题（共1小题，满分10分）
22．（10分）如图，已知AP是⊙O的切线 ，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两
点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点 ．
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．


考点： 圆內接多边形的性质与判定．
专题： 计算题；证明题；压轴题．

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分析： （1）要证明四点共圆，可根据圆内接四边形判定定理：四边形对角互补，而由AP
是 ⊙O的切线，P为切点，易得∠APO=90°，故解答这题的关键是证明，∠AMO=90°，根据垂
径定理不难得到结论．
（2）由（1）的结论可知，∠OPM+∠APM=90°，只要能说明∠OP M=∠OAM即可得到结论．
解答： 证明：（Ⅰ）连接OP，OM．
因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP．
因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC．
于是∠OPA+∠OMA=180°．
由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形M的对角互补，
所以A，P，O，M四点共圆．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．
由（Ⅰ）得OP⊥AP．
由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．
又∵A，P，O，M四点共圆
∴∠OPM=∠OAM
所以∠OAM+∠APM=90°．

点评： 本题是考查同学们推理能力、逻辑思 维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是
一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们注 意熟练掌握：1．射影定理的内容
及其证明； 2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理 的内容及其证明；4．圆内
接四边形的性质与判定；

选做题（共1小题，满分0分）
23．已知切线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极 轴为x轴的正半轴建立平面直角坐
标系，直线L的参数方程为（t为参数）．
（1）写出直线L与曲线C的直角坐标系下的方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换，得到曲线C′，判断L与切线C′交点的个数．

考点： 直线的参数方程；伸缩变换．
专题： 坐标系和参数方程．

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分析： （1 ）由直线L的参数方程
222
消去参数t得直线L的直角坐标方程．由公式
ρ=x+y 得曲线C的直角坐标方程．
（2）曲线C经过伸缩变换变为代入直角坐标方程即可得到曲线C′的方程 ，
由于直线L恒过点（1，2），点（1，2）在椭圆内部，可得直线L与椭圆相交．
解答： 解：（1）由直线L的参数方程消去参数t得直线L的直角坐标方程为：
，
22222
由公式ρ=x+y得曲线C的直角坐标方程为x+y=4；
（2）曲线C经过伸缩变换得到曲线C′的方程为，
由于直线L恒过点（1，2），点（1，2）在椭圆内部，∴直线L与椭圆相交，
故直线与椭圆有两个交点．
点评： 本题考查了参数方程极坐标化为普通方程、伸缩变换、直 线与椭圆的位置关系，考
查了计算能力，属于基础题．

选做题（共1小题，满分0分）
24．设函数f（x）=|x﹣a|
（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x |0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．

考点： 绝对值不等式的解法．
专题： 不等式．
分析： 对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；
对第（2）问， 先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+
展开后利用基 本不等式可完成证明．
解答： 解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，
①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得
故；
，
）”，
②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，
故1＜x＜2不是原不等式的解；

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③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得
故．
∪．
，
综合①、②、③知，原不等式的解集为
（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣ 1+a≤x≤1+a，
∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，
∴得a=1，∴+=a=1．
）=2+（）
=1，得
，
时，m+2n=4，
又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+
当且仅当即 m=2n时，等号成立，此时，联立+
故m+2n≥4，得证．
点评： 1．已知不等式的解 集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再
把结果与已知解集对比即可获得参数的值 ．
2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．



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