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江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）

一、选 择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项
是符合题目要求 的，答案填写在答题卷上.
1．（5分）已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）
A． +i

2．（5分）用数学归纳法证明某命题时，左式为+cosα+cos3α+„+co s（2n﹣1）α（α≠kπ，
k∈Z，n∈N）在验证n=1时，左边所得的代数式为（）
A．
C． +cosα+cos3α
B． +cosα
D． +cosα+cos3α+cos5α
*
B． ﹣i C． +i D． ﹣i

3．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了
如表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 25 10 35
女生 5 10 15
合计 30 20 50
根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（）
参考数据：．
临界值表：
2
P（Χ≥k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

A． 97.5% B． 99% C． 99.5% D． 99.9%

4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a +2），则a的
值为（）
A． B． C． 5 D． 3

5． （5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设
发病的 牛的头数为ξ，则Dξ等于（）
A． 0.2 B． 0.8 C． 0.196 D． 0.804

6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）

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A． B． 4 C． D． 6

7．（5分）从0，1，2，3，4，5共6个数中 任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被
5整除的有（）
A． 40个 B． 36个 C． 28个 D． 60个

2
8．（5分）由抛物线y=4x与直线y=x﹣3围成的平面图形的面积为（）
A．

9．（5分）设，那么的值为（）
B． C． 64 D． 32
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣1

10．（5分）已知函数f（x） 的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）
=（）
A． ﹣e B． ﹣1 C． 1 D． e

11．（5分）将号码分别为1、2、„、 9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其
余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a， 放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码
为b．则使不等式a﹣2b+10＞0成立的事件发生的概率 等于（）
A． B． C． D．

12．（5分）下列命题中
①若f′（x
0
）=0，则函数y=f（x）在x=x
0
取得极值；
②直线5x﹣2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；
③若z∈C（C为复数集），且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3；
④定积分dx=4π．
正确的有（）
A． ①④ B． ③④ C． ②④ D． ②③④


二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.
13．（5分）复数在复平面中的第象限．

14．（5分）有5名数学实习老师， 现将他们分配到2014-2015学年高二年级的三个班实习，
每班至少1名，最多2名，则不同的分 配方案有种（用数字作答）．

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15．（5分）如图所示， EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地
扔到该圆内，用A表示事件“豆 子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴
影部分）内”，则P（B|A）=．


16．（5分）已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=l nx﹣ax（a＞），当x∈（﹣
2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于．


三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． < br>17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C
1
： （t为参数），C
2
：（θ为参数）．
（Ⅰ） 化C
1
，C
2
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C
1
上的点P对应的参数为t=，Q为C
2
上的动点，求PQ中点M 到直线C
3
：ρ（cosθ
﹣2sinθ）=7距离的最小值．

3
18．（12分）已知函数f（x）=x+x﹣16．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
19．（12分）给出四个等式：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣ 16=﹣（1+2+3+4）„．猜
*
测第n（n∈N）个等式，并用数学归纳法证明．

20．（12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀 成绩
的概率，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 3
p x y
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；
（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．


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21．（12分）班主任为了对本班学 生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男
同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分 析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排
序是：60、65、70、75、80、85、90、9 5，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、
90、93、95．
（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？
（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95
根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理 成绩y与数学成绩x之间是否具有
线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精 确到0.01）；如果不具
有线性相关性，请说明理由．
参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．
其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；
参考数据：=77.5，=85，
﹣）≈688，

≈32.4，
（ x
1
﹣）≈1050，
≈21.4，
2
2
（y
1< br>﹣）≈456；
2
（x
1
﹣）（y
1
≈23.5．
22．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx+
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（a∈R）
（Ⅱ）若a=﹣1，求证：当x＞1时，f（x）＜x．



江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在 每一小题的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.
1．（5分）已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）
A． +i


- 4 -
3
B． ﹣i C． +i D． ﹣i

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考点：
专题：
分析：
解答：
可得z=
复数代数形式的乘除运算．
数系的扩充和复数．
利用复数的除法运算法则化简求解即可．
解：i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，
==+i．
z的共轭复数=﹣i．
故选：B．
点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的定义，基本知识的考查．

2．（5分）用数学归纳法证明某命题时，左式为+cosα+cos3α+„+cos（2 n﹣1）α（α≠kπ，
k∈Z，n∈N）在验证n=1时，左边所得的代数式为（）
A．
C． +cosα+cos3α

考点： 数学归纳法．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： 在验证n=1时，令左边n=1可得：所得的代数式为：．
*
*
B． +cosα
D． +cosα+cos3α+cos5α
解答： 解：由于左式为+cosα+cos3α+„+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N），
因此在验证n=1时，左边所得的代数式为：．
故选：B．
点评： 本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力，属于基础题．

3．（5分）为了解某班学 生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了
如表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 25 10 35
女生 5 10 15
合计 30 20 50
根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（）
参考数据：
临界值表：
2
P（Χ≥k）
k


．
0.100
2.706
0.050
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
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A． 97.5% B． 99% C． 99.5% D． 99.9%

考点： 线性回归方程．
分析： 根据 所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测
值，同所给的临界值表进行 比较，得到结论．
解答： 解：根据所给的列联表，得到Χ=
2
≈6.349＞5.024，
对照临界值表可知有97.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
故选：A．
点评： 本题考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进
行比 较，本题是一个基础题．

4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的
值为（）
A． B． C． 5 D． 3

考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
专题： 计算题．
分析： 根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区
间 关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．
解答： 解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），
∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），
∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，
∴2a﹣3+a+2=6，
∴3a=7，
∴a=，
故选A．
点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本 题主要考查曲线关于x=3对
称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分 题目．

5．（5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病 率为0.02．设
发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（）
A． 0.2 B． 0.8 C． 0.196 D． 0.804

考点： 离散型随机变量的期望与方差．
分析： 把每个牛是否得病作为一个实验，牛发病的概率是0.02，且牛是否发病相互之间没
有影响，得到发病的牛的头数为ξ服从二项分布，根据方差的公式Dξ=npq，得到结果．
解答： 解：∵由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，
∴ξ～B（10，0.02），
∴由二项分布的方差公式得到
Dξ=10×0.02×0.98=0.196．

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故选C
点评： 解决离散型 随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注
意题目中离散型随机变量服从什么 分布，若服从特殊的分布则运算要简单得多．

6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）
A． B． 4 C． D． 6

考点： 定积分在求面积中的应用．
专题： 计算题．
分析： 利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x
﹣ 2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．
解答： 解：联立方程
因此曲线y=
S=
得到两曲线的交点（4，2），
，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：
．故选C．

点评： 本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考
查学生的转化与化归能 力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键
要找准被积函数的原函数，属于定 积分的简单应用问题．

7．（5分）从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的 无重复数字的三位数，其中能被
5整除的有（）
A． 40个 B． 36个 C． 28个 D． 60个

考点： 排列、组合及简单计数问题．
专题： 排列组合．
分析： 由题意知能被5整除的三位数末位必为0或5．当末位是0时，没有问题，但当末 位
是5时，注意0不能放在第一位，所以要分类解决，①末位为0的三位数其首次两位从1～5
的5个数中任取2个排列②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，再挑十位，
相加得到 结果．

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解答： 解：其中能被5整除的三位数末位必为0或5．
2
①末位为0的三位数其首 次两位从1～5的5个数中任取2个排列而成方法数为A
5
=20，
11
② 末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C
4
种挑法，再挑十位，还有C4
种挑法，
11
∴合要求的数有C
4
•C
4
=16种．
∴共有20+16=36个合要求的数，
故选：B．
点评： 本题考查排列组合、 计数原理，是一个综合题，本题主要抓住能被5整除的三位数
的特征（末位数为0，5），还要注意分类 讨论及排数字时对首位非0的限制．

2
8．（5分）由抛物线y=4x与直线y=x﹣3围成的平面图形的面积为（）
A． B． C． 64 D． 32

考点： 定积分．
专题： 导数的综合应用．
2
分析： 由题设条件，需要先求出抛物线y=2x与直线y=4﹣x的交 点坐标，积分时可以以x
作为积分变量，也可以y作为积分变量，故本题法一以x为积分变量，法2以y 作为积分变量
分别计算出两曲线所围成的图形的面
解答： 解：联立方程组
2
，得，y
1
=﹣2，y
2
=6，
∵抛物线y=4x与直线y=x﹣3所围成的平面图形的面积，
∴S==（y+3y﹣
2
）|=；
故选：A．
点评： 本题考查 定积分，解答本题关键是确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时
选择不同的积分变量，故求解时 要注意恰当地选择积分变量达到简单解题的目的．

9．（5分）设，那么的值为（）
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣1

考点： 二项式定理．
专题： 计算题．
5
分析： 令x=1，可得 a
0
+a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
5
= 1，再令x=﹣1可得 a
0
﹣a
1
+a
2
﹣a
3
+a
4
﹣a
5
=3．解得
a
0
+a
2
+a
4
和 a
1
+a
3
的值，即可求得要求式子的值．
5
解答： 解：令x=1，可得 a
0
+a
1
+a
2
+a
3< br>+a
4
+a
5
=1，再令x=﹣1可得 a
0
﹣a< br>1
+a
2
﹣a
3
+a
4
﹣a
5=3．
两式相加除以2求得 a
0
+a
2
+a
4
=122，两式相减除以2可得 a
1
+a
3
=﹣121，
故=，

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故选A．
点评： 本题主要 考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，
选择合适的数值代入，属于中档 题．

10．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′ （1）+lnx，则f′（1）
=（）
A． ﹣e B． ﹣1 C． 1 D． e

考点： 导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．
专题： 计算题．
分析： 已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；
解答： 解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）
∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，
解得f′（1）=﹣1，
故选B；
点评： 此题主要考查导数的加法与减法的法则 ，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，
把f′（1）看成一个常数，就比较简单了；

11．（5分）将号码分别为1、2、„、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其
余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码
为b．则 使不等式a﹣2b+10＞0成立的事件发生的概率等于（）
A． B． C． D．

考点： 等可能事件的概率．
专题： 计算题．
分析： 本题是一个 等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有
9×9种结果，满足条件的事件是 使不等式a﹣2b+10＞0成立的，即2b﹣a＜10，列举出当当
b=1，2，3，4，5，6，7 ，8，9时的所有的结果，得到概率．
解答： 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9=81种结果，
满足条件的事件是使不等式a﹣2b+10＞0成立的，即2b﹣a＜10
当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，
当b=6时，a有7种结果
当b=7时，a有5种结果
当b=8时，a有3种结果
当b=9时，a有1种结果
∴共有45+7+5+3+1=61种结果
∴所求的概率是
故选D．


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点评： 本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数
时， 因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏．

12．（5分）下列命题中
①若f′（x
0
）=0，则函数y=f（x）在x=x
0
取得极值；
②直线5x﹣2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；
③若z∈C（C为复数集），且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3；
④定积分dx=4π．
正确的有（）
A． ①④ B． ③④ C． ②④ D． ②③④

考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 综合题；推理和证明．
分析： ①若f′（x
0
）=0，且在x=x
0的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x
0
取得极值判断即可；
②求出导数f′（x），由切线的斜率等于f′（x
0
），根据三角函数的值域加以判断即可 ；
③|z+2﹣2i|=1表示圆，|z﹣2﹣2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原 定特性即
可求出最小值；
④令y=
积的．
解答： 解：①若f′（x0
）=0，且在x=x
0
的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x
0
取得极值，故不正确；
②若直线与函数的图象相切，则f′（x
0
）=2.5，即2cos（2x
0
+）=2.5，显然x
0
不存 在，故
，则x+y=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面
22
②正确；
③|z+2﹣2i|=1的几何意义是以A（﹣2，2）为圆心，半径为1的圆，| z﹣2﹣2i|的几何意义
是圆上一点到点B（2，2）的距离，连接AB并延长，显然最小值为AB﹣ 1=4﹣1=3，故③正确；
④令y=，则x+y=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆， 定积分
2
22
dx
表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的，故定积分dx= ×π×4=4π，故
④正确．
故选：D
点评： 本题以命题的真假为载体考查函数 的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复
数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道中档题 ．

二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.
13．（5分）复数


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在复平面中的第四象限．

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考点： 复数的代数表示法及其几何意义．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 化简复数为a+bi的形式，然后判断即可．
解答： 解：复数
即复数对应点为：（
=
）在第四象限．
==．
故答案为：四．
点评： 本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．

14．（5分）有5 名数学实习老师，现将他们分配到2014-2015学年高二年级的三个班实习，
每班至少1名，最多 2名，则不同的分配方案有90种（用数字作答）．

考点： 计数原理的应用．
专题： 计算题；排列组合．
分析： 根据题意，先把5名实习老师分成三组，一组1人，另 两组都是2人，计算其分组
的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案．
解答： 解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种方法，
再将3组分到3个班，共有•A
3
=90种不同的分配方案，
3
故答案为：90．
点评： 本题考查排列、组合的综合运用，注意此类题目一般顺序为先组合、再排列．

15．（5分 ）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地
扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴
影部分）内”，则P（ B|A）=．


考点： 条件概率与独立事件．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 根据几何概型计算公式，分别算出P（AB）与P（A），再由条件概 率计算公式即可算
出P（B|A）的值．
解答： 解：根据题意，得

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P（AB）===
∵P（A）==
∴P（B|A）=
故答案为：
=
点评： 本题 给出圆内接正方形，求条件概率P（B|A），着重考查了几何概型和条件概率计算
公式等知识，属于中 档题．

16．（5分）已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=ln x﹣ax（a＞），当x∈（﹣
2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于1．

考点： 奇偶性与单调性的综合．
专题： 综合题；函数的性质及应用．
分析： 根据函数的奇偶性，确定f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，求导函数，确定函数
的单调性，求出 最值，即可求得a的值．
解答： 解：∵f（x）是奇函数，x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，
∴f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，
当x∈（0，2）时，f′（x）=﹣a，
令f′（x）=0得x=，又a＞，∴0＜＜2，
令f′（x）＞0，则x＜，∴f（x）在（0，）上递增；令f′（x）＜0，则x＞，
∴ f（x）在（，2）上递减，∴f（x）
max
=f（）=ln﹣a•=﹣1，∴ln=0，得 a=1．
故答案为：1．
点评： 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，
属于中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． < br>17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C
1
： （t为参数），C
2
：（θ为参数）．
（Ⅰ） 化C
1
，C
2
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C
1
上的点P对应的参数为t=
﹣2sinθ）=7距离的最小值．

- 12 -
，Q为C
2
上的动点，求PQ中点M到直线C3
：ρ（cosθ

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考点： 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： （Ⅰ）曲线C
1
： （t为参数），利用sint+cost=1即可化为普 通方程；
22
C
2
：
（Ⅱ）当t=
（θ为参数），利用co sθ+sinθ=1化为普通方程．
时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，< br>22
直线C
3
：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到 直线的距离公式与三角函数的单调
性即可得出．
解答： 解：（Ⅰ）曲线C
1
：
∴C
1
为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．
C
2
：（θ为参数），化为．
（t为参数），化为（x+4）+（y﹣3）=1，
22
C
2
为中心是坐标 原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，
直线C
3
：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，
M到C
3
的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，
． 从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值
点评： 本题考查了参数方程化为普通方程、 点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、
椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力 ，属于中档题．

3
18．（12分）已知函数f（x）=x+x﹣16．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的综合应用．
分析： （1）求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，即切线的斜率，然后由直线
方程的点斜式得答 案；
（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．
3
解答： 解：（1）由f（x）=x+x﹣16，得
22
f′（x）=3x+1，∴f′（2）=3×2+1=13，
∴曲线y=f（x ）在点（2，6）处的切线方程为y﹣6=13（x﹣2），即13x﹣y﹣20=0；
（2）设切点为（

），，
- 13 -

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∴切线方程为
∵切线经过原点，
∴
∴，x
0
=﹣2．
，
，
则f′（﹣2）=13，
∴所求的切线方程为y=13x；
切点为（﹣2，﹣26）．
点评： 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关 键是区分切线所经过的点
是否为切点，是中档题．

19．（12分）给出四个等式 ：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）„．猜
*
测第n（n∈N）个等式，并用数学归纳法证明．

考点： 数学归纳法；归纳推理．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
*222n﹣12n﹣1
分析： 由已知猜测：第n（n∈N）个等式为：1﹣2+3﹣4+„ +（﹣1）•n=（﹣1）（1+2+„+n）
=（﹣1）
n﹣1
．利用数学归纳法证 明即可．
解答： 解：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）„．
*222n﹣12n﹣1
猜测第n（n∈N）个等式为：1﹣2+3﹣4+„+（﹣1）•n= （﹣1）（1+2+„+n）=（﹣1）
n﹣1
．
下面利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，1=1，成立；
（2）假设当n=k（k∈N）时，等式1﹣2+3﹣4+„+（﹣1）•k=
成立．
则当n=k+1时，左边=1﹣2+3﹣4+„+（﹣1）•k+（﹣1）•（k+1）=
（﹣1）• （k+1）=（﹣1）
k2k
222k﹣12k2
*222k﹣12
+
k
=（﹣1）•=
右边，
∴当n=k+1时，等式成立．
*222n﹣ 12n﹣1
综上可得：第n（n∈N）个等式为：1﹣2+3﹣4+„+（﹣1）•n=（﹣1）（1+ 2+„+n）=
（﹣1）
n﹣1
成立．
点评： 本题考查了数学归纳法应用，考查了观察分析猜想归纳能力与计算能力，属于中档
题．


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2 0．（12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩
的概率， 第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得
优秀成绩相互独立 ．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 3
p x y
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；
（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题： 概率与统计．
分析： （Ⅰ）用A
i
表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．由题 意得P（A
1
）
=，P（）=，由此能求出该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率． 从而能够
求出p，q的值．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望Eξ．
解答： 解：用A
i
表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．
由题意得得P（A
1
）=，P（）=，
）=1﹣=

（ Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为P=1﹣P（
P（）=（1﹣P（A
1
））（1﹣P（A
2
））（1﹣P（A3））=（1﹣p）（1﹣q）=
得p=，q= ． 及P（A
1
A
2
A
3
）=P（A
1
） P（A
2
）P（A
3
）=pq=
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0， 1，2，3，
P（ξ=0）=，
，P（ξ=2）P（ξ=1）=××+××+××=
=××+××+××=
ξ
p
i

0

+1×
1

+2×
，
2

+3×
3

=． ∴E（ξ）=0×
∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为．
点评： 本题考查离散随机变量 的概率分布列和数学期望，是历年2015届高考的必考题型之
一．解题时要认真审题，注意排列组合知 识和概率知识的灵活运用．


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21．（12分）班主任为了对本班学 生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男
同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分 析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排
序是：60、65、70、75、80、85、90、9 5，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、
90、93、95．
（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？
（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95
根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理 成绩y与数学成绩x之间是否具有
线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精 确到0.01）；如果不具
有线性相关性，请说明理由．
参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．
其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；
参考数据：=77.5，=85，（x
1< br>﹣）≈1050，
2
（y
1
﹣）≈456；
2
（x< br>1
﹣）（y
1
﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．

考点： 线性回归方程．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： （Ⅰ）按分层抽样原理，计算应抽取的男生、女生各是多少；
（Ⅱ）根据题目中的公式，计算相关系数 r，判断线性相关性；求出线性回归方程中的系数，
得出回归方程．
解答： 解：（Ⅰ）按男女生分层抽样的结果是，
女生应抽取
男生应抽取
（人），
（人）；„（4分）
（Ⅱ）变量y与x的相关系数是
r===≈0.99；„（6分）
可以看出，物理与数学成绩是高度正相关；„（8分）

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【若以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图，
从散点图可以看出这些点大至分布在一条直线附近，并且在逐步上升，
所以物理与数学成绩是高度正相关；】
设y与x的线性回归方程是
根据所给的数据，可以计算出
，
b===0.66，
a=﹣b=85﹣0.66×77.5=33.85；„（10分）
所以y与x的回归方程是．„（12分）
点评： 本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了线性相关系数的计算问题，是基础
题目．

22．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx+
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若a=﹣1，求证：当x＞1时，f（x）＜x．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）设，证明F（x）在（1，+∞）上为增函数，即可
3
2
（a∈R）
得出结论．
解答： （Ⅰ）解：f（x）的定义域为x＞0„（1分）
„（2分）
若a≤0时，f'（x）≥0恒成立，即f（x）的单调区间为（0，+∞）„（4分）
若a ＞0时，令f'（x）＞0，得
即f（x）的单调区间为
（Ⅱ）证明：设
„（5分）
，减区间为„（6分）
„（7分）
则
∴F（x）在（1，+∞）上为增函 数，且
即F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立„（11分）

„（8分）
„（10分）
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∴当x＞1，„（12分）
点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造
函数，求导数是关键．



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