制造浪漫歌词-乔迁之喜主持词

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湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题 共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）给出下列两个推理：
①在△ABC中，若D为BC的中点，则
若M为△ BCD的重心，则=（+
=（
+
+），由此推测：在空间四面体ABCD中，
）．
②无根不循环小数都是无理数，因为e=2.75„是无限不循环小数，所以e是无
理数．
对于上述两个推理，下列判断正确的是（）
A． ①是类比推理，②是归纳推理 B． ①是类比推理，②是演绎推理
C． ①是归纳推理，②是演绎推理 D． ①是演绎推理，②是类比推理

2．（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面α的法 向量为，对于原命题“若•=0，
则l∥α”，下列判断正确的是（）
A． 原命题为真，否命题为真
C． 原命题为假，否命题为真

3．（5分）已知复数z=3﹣2i﹣
A． 第一象限

B． 原命题为假，否命题为假
D． 原命题为真，否命题为假
，则复数z对应复平面上的点Z位于（）
C． 第三象限 D． 第四象限
2
B． 第二象限
4．（5分）已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒） 的函数关系是α=
（t≥0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）
A． 20π弧度秒 B． 10π弧度秒 C． 8π弧度秒

5．（5分）“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）单调递增”（）
x
t
D． 5π弧度秒
A． 充分不必要 B． 必要不充分
C． 充分且必要 D． 既不充分也不必要

6．（5分）从某5人中选派3人分别参加数 学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲、
乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）
A． 24种 B． 36种 C． 42种 D． 48种

7．（5分）某中 学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（℃）之间的
关系，随机统计了近期某4天 的有关数据如下表示：
最高气温x（℃） 10 4 ﹣2 ﹣8
用电量y（度）20 44 56 80

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据回归分析，上述 4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=﹣3.2，由回
归方程可以预报最高气温为 6℃时当天的用电量约为（）
A． 32度 B． 34度 C． 36度 D． 38度

8．（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，
连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）
A．

9．（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F
1
、F
2
，点P为双曲线C与椭圆的一
B． C． D．
个交点，且满足|PF
1
|=2|PF
2
|，则双曲线C的渐近线方程是（）
A． y=±x B． y=±x C． y=±x D． y=±x


二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10．（5分）某射手每次射击命中 目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为
X，则随机变量X的方差D（X）=．

11．（5分）在（2

12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z+az+b=，则|a+bi|=．

22
13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax+（a﹣2）y=1的曲线是 双曲线；命
题q：∃x
0
＞0，x
0
+a﹣1=0，若“p∧（￢q ）”为真命题，则a的取值范围是．

x
14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函 数f（x）=e（sinx﹣cosx）的最小值是．

15．（5分）设椭圆+=1（a＞ b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直
2
﹣）的展开式中，含x项的系数是 ．
62
线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．


三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16 ．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相
互独立，且每人各 次射击互不影响．
（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．

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17．（12分）如图，在 三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，A
1
A ⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A
1
B
1
，CC
1
的 中点．
（Ⅰ）用基向量，，表示向量；
（Ⅱ）若AB=AC=AA
1
=1 ，求直线DE与平面AB
1
C
1
所成角的正弦值．

< br>*
18．（12分）已知数列{a
n
}满足：a
1
=1，a< br>n+1
•a
n
﹣2a
n
+1=0（n∈N）．
n
（Ⅰ）猜测数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；
（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2．

19 ．（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，
将 调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．
（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在 犯错误的概率不超过多少的前提
下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计
男
女
总计 40
（Ⅱ）从该 班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X
的分布列和数学期望．
参考公式：K=
临界值附表：
2
P（K≥k
0
） 0.5
k
0
0.455
2
．
0.4
0.708
0.25
1.323
0.15
2.072
0.1
2.706
0.01
6.635

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20．（13分）在平面直角坐标系中 ，已知三定点A（1，2），B（1，﹣2）和P（3，2），O为
坐标原点，设满足|+|=•+2的 动点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（ α为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线
段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时 ，|FT|•（1﹣cos2α）是否为定值？
若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

21．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数．
（Ⅰ）当a= 1时，计算由曲线y=f（x）﹣lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取范围；
（Ⅲ）若f（x）有两个不同 的极值点x
1
，x
2
，当x＞0时，比较与
的大小．



湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每 个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）给出下列两个推理：
①在△ABC中，若D为BC的中点，则
若M为△BCD的重心，则=（+
=（
+
+），由此推测：在空间四面体ABCD中，
）．
②无根不循环小数都是无理数，因为e=2.75„是无限不循环小数，所以e是无
理数．
对于上述两个推理，下列判断正确的是（）
A． ①是类比推理，②是归纳推理 B． ①是类比推理，②是演绎推理
C． ①是归纳推理，②是演绎推理 D． ①是演绎推理，②是类比推理

考点： 类比推理．
专题： 推理和证明．
分析： 根据类比推理，演绎推理的定义，对两个推理进行判断即可得出正确选项．
解答： 解：平面结论推广到空间是类比推理，三段论是演绎推理，
故选B．
点评： 考查类比推理，演绎推理的定义，理解定义，运用定义，套准定义是解题的关键．

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2．（5分）在空间中，设直线l的方 向向量为，平面α的法向量为，对于原命题“若•=0，
则l∥α”，下列判断正确的是（）
A． 原命题为真，否命题为真 B． 原命题为假，否命题为假
C． 原命题为假，否命题为真 D． 原命题为真，否命题为假

考点： 四种命题．
专题： 简易逻辑．
分析： 根据命题的条件与结论，判定命题是否为真，再根据逆命题的定义写出逆命题判
定逆命 题的真假；然后根据命题与其逆否命题的同真性判定，否命题与逆否命题的真假即可．
解答： 解：“若•=0，则⊥，得到l∥α，或l⊂α，所以原命题为假命题，
若l∥α”则⊥，得到•=0，所以逆命题为真命题，从而否命题为真，
故选：C．
点评： 本题考查四种命题的真假关系．命题与逆否命题同真、同假．

3．（5分）已知复数z=3﹣2i﹣，则复数z对应复平面上的点Z位于（）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
解答： 解：∵z=3﹣2i﹣==3﹣
2i+1﹣2i=4﹣4i，
∴复数z对应复平面上的点Z的坐标为（4，﹣4），位于第四象限．
故选：D．
点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是
基础题．

4．（5分）已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α=
（t≥0） ，则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）
A． 20π弧度秒 B． 10π弧度秒 C． 8π弧度秒

考点： 实际问题中导数的意义．
专题： 导数的综合应用．
分析： 直接利用函数的导数的几何意义求解即可．
解答： 解：由题意可得α′=
=10π．
t
2
D． 5π弧度秒
，车轮 启动后第1.6秒时的瞬时角速度：

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故选：B．
点评： 他考查函数的导数的应用，注意导数的几何意义是解题的关键，考查计算能力．

5．（5分）“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）单调递增”（）
A． 充分不必要 B． 必要不充分
C． 充分且必要 D． 既不充分也不必要

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 简易逻辑．
分析： 根据充分条件和必要条件的定义结合条件求出对应的等价条件，进行判断即可．
解答： 解：由＞1得0＜a＜1，
若函数f（x）=（3﹣2a）单调递增，
则3﹣2a＞1，
解得a＜1，
故“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）单调递增”的充分不必要条件，
故选：A
点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系以及指数函数的性质
是解决本题的关键．

6．（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲 、
乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）
A． 24种 B． 36种 C． 42种 D． 48种

考点： 排列、组合的实际应用．
专题： 计算题；排列组合．
分析： 根据题意，分2种情况讨论：①、甲乙两人中有1人参加竞赛，可以分3 步进行分
析先在甲乙中选取1人，在剩余3人选取2人，将选出的人对应三科竞赛；求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得这种情况下的参赛方案数目；②、甲乙都不参加竞赛，只
需将剩余 3人，对应参加三科竞赛，有排列数公式可得这种情况下的参赛方案数目；最后由
分类计数原理计算可得 答案．
解答： 解：根据题意，分2种情况讨论：
①、甲乙两人中有1人参加竞赛， 2
先在甲乙中选取1人，有2种选法；在剩余3人选取2人，有C
3
=3种选法； 将选出的人对
3
应三科竞赛，有A
3
=6种情况，
则此时有2×3×6=36种选法；
②、甲乙都不参加竞赛，
3
只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有A
3
=6种情况，
则一共有36+6=42种不同的参赛方案；
故选C．
点评： 本题考查排列、组 合的应用，解题时注意分析“甲、乙两人至多选1人参赛”的
条件，明确分类讨论的思路．
x
x
x

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< br>7．（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（℃）之间的
关系 ，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：
最高气温x（℃） 10 4 ﹣2 ﹣8
用电量y（度）20 44 56 80
据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系， 计算得回归直线的斜率b=﹣3.2，由回
归方程可以预报最高气温为6℃时当天的用电量约为（）
A． 32度 B． 34度 C． 36度 D． 38度

考点： 线性回归方程．
专题： 概率与统计．
分析： 首先求出x，y的平均数，根据所给的线 性回归方程知道b的值，根据样本中心点
满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次 方程，解方程求出a值，再
将x=6代入可得答案．
解答： 解：由表格知样本中心点为
则回归方程是=﹣3.2x+a，
将（1，50）点代入得：a=53.2，
则回归方程是=﹣3.2x+53.2，
则当x=6时，y的预测值为，
，
故选：B．
点评： 本题考查回归分 析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均
数，是一个运算量比较小的题目．

8．（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，
连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）
A． B． C． D．

考点： 条件概率与独立事件．
专题： 概率与统计．
分析： 设已知第一次取出的是白球为事件A，第二次也取到白球为事件B，先求出n（A），
n（AB）的种数，然后利用条件概率公式进行计算即可．
解答： 解：设第一次抽到白球为事件A，第二次抽到白球为事件B，
则n（A）=
所以P（B|A）=
=12，n（AB）=
==．
=6，
点评： 本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．

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9．（5分）已知双曲线C 与椭圆+=1有相同的焦点F
1
、F
2
，点P为双曲线C与椭圆的一
个交点，且满足|PF
1
|=2|PF
2
|，则双曲线C的渐近线方程是（）
A． y=±x B． y=±x C． y=±x D． y=±x

考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 通过椭圆、双曲线的定义直接计算即可．
解答： 解：由椭圆定义可知：|PF
1
|+|PF
2
|=6，
又∵|PF
1
|=2|PF
2
|，∴3|PF
2
|=6，即|PF2
|=2，
由双曲线定义可知：|PF
1
|﹣|PF
2
|=2a，
又 ∵|PF
1
|=2|PF
2
|，∴|PF
2
|=2a，即a =1，
由已知，双曲线的焦半距c=2，则b=，
∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，
故选：A．
点评： 本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10．（5分）某射手每 次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为
X，则随机变量X的方差D（X ）=1.6．
考点： 离散型随机变量的期望与方差．
专题： 概率与统计．
分析： 根据题意可判断n次独立重复试验问题，X服从B（10，0.8），二项分布问题，根
据方差求解即可．
解答： 解：∵根据题意可判断：X服从B（10，0.8），
∴则随机变量X的方差D（X）=10×0.8×0.2=1.6，
故答案为1.6
点评： 本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的
放出 ，同时考查了计算能力，属于中档题

11．（5分）在（2﹣）的展开式中，含x项的系数是﹣192．
62

考点： 二项式系数的性质．
专题： 二项式定理．
2
分析： 写出二项展开式的通项，由x的次数为2求得r值，则含x项的系数可求．
解答： 解：∵
由3﹣r=2，得r=1．
∴含x项的系数是﹣
故答案为：﹣192．
2
=，
×2=﹣192．
5

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点评： 本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．

12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z+az+b=，则|a+bi|=5．

考点： 复数求模．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 把z=1 ﹣i代入z+az+b=，整理后利用复数相等的条件求得a，b，再由复数模的
计算公式得答案．
解答： 解：由z=1﹣i，且z+az+b=，得
2
（1﹣i）+a（1﹣i）+b=1+i，即﹣2i+a﹣ai+b=1+i，
∴a+b﹣（a+2）i=1+i．
，解得a=﹣3，b=4．
故a+bi=﹣3+4i．
∴|a+bi|=．
2
2
2
故答案为：5．
点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件及复数模的求法，是
基础题．

22
13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax+（a﹣2）y=1的曲线是 双曲线；命
题q：∃x
0
＞0，x
0
+a﹣1=0，若“p∧（￢q ）”为真命题，则a的取值范围是[1，2）．
考点： 复合命题的真假．
专题： 简易逻辑．
分析： 若p∧（￢q）为真，则p真，q假，然后分别求出p，q为真命题的等价条件即可．
解答： 解：∵“p∧（￢q）”为真命题，
∴p真，q假，
若命题p为真，则a（a﹣2）＜0，即0＜a＜2，
若命题￢q为真，∀x＞0，x+a﹣1≠0，则1﹣a≤0，即a≥1，
∴，
解得1≤a＜2
故a的取值范围为[1，2）．
故答案为：[1，2）．
点评： 本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系．
< br>x
14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）=e（sinx﹣cosx）的最小值是 ﹣1．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 导数的综合应用．
分析： 求出函数f（x）的导数，求得f（x）在（﹣1，1）内的单调区间，即可得到极小
值，也为最小值．
x
解答： 解：函数f（x）=e（sinx﹣cosx）的导数为
xx
f′（x）=e（sinx﹣cosx）+e（cosx+sinx）

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=2esinx（x∈[﹣1，1]），
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，即f（x）在（0，1）递增，
由f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0，即f（x）在（﹣1，0）递减．
即有x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为﹣1．
故答案为：﹣1．
点评： 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键．

15．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直
x线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．

考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 通过设点A（﹣a，0），B（a，0）， M（m，n），利用k
AM
•k
BM
=﹣及
即得结论．
解答： 解：设点A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），
则k
AM
•k
BM
=•==﹣，
，计算
∵，
∴n=b（1﹣
22
）=（a﹣m），即
22
=﹣=﹣，
∴=，则e====，
故答案为：．
点评： 本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16 ．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相
互独立，且每人各 次射击互不影响．
（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．

考点： 相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．

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专题： 概率与统计．
分析： （Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得他们都没有击中目标的概率，
再用 1减去此概率的值，即为所求．
（Ⅱ）由条件根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得 甲命中目标2次，且
乙命中目标3次的概率．
解答： 解：（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，由题意可得他们都没有击中目标的概率为（1
﹣）•（1﹣）=，
=． 故至少有一个命中目标的概率为1﹣
（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，则甲命中目标2次 ，且乙命中目标3次的概率为
•••••（1﹣）=．
点评： 本题主要考查相互独立事件的 概率乘法公式，以及n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率公式，事件和它的对立事件概率之间的关系 ，属于基础题．
17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，A
1
A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A
1
B
1
，CC
1
的中点．
（Ⅰ）用基向量，，表示向量；
（Ⅱ）若AB=AC=AA
1
=1，求直线DE与平面AB
1
C
1
所成角的正弦值．


考点： 直线与平面所成的角；空间向量的基本定理及其意义．
专题： 空间向量及应用．
分析： （Ⅰ）利用向量的分解和合成表示向量．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的数量积求出线面间的正弦值
解答： 解：（Ⅰ）
=
=
=


（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标 系，则点B
1
（1，0，1）C
1
（0，1，1）D（，0，1），E
（0，1，2）
设为平面AB
1
C
1
的法向量，则

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因为
取x=1，则
则，
因为，则
所以直线DE与平面AB
1
C
1
所成的角的正弦值为

点评： 本题主要考查空间向量的分解合成和空间直角坐标系在立体几何中得应用，属常考
题型、中档题．

*
18．（12分）已知数列{a
n
}满足：a
1
=1，a
n+1
•a
n
﹣2a
n
+1=0（n∈N）．
n
（Ⅰ）猜测数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；
（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2．

考点： 数学归纳法；数列递推式．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： （Ⅰ）先猜想通项公式，利用数学归纳法证明．
（Ⅱ）先假设（Ⅱ）假设，且，因为 a
n
，a
k
＞0，利用两式子加和后的
式子退出与已知矛盾，得出原 命题成立．
解答： 解：（Ⅰ）由已知，，又a
1
=2，则a
2
=2﹣
a
3
=2﹣，a
4
=2﹣，由此可猜想：
证明：（1）当n=1时，，所以猜想正确．

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（2）假设当n=k（k≥1，k∈Z）时，猜想成立，即
则=，即当n=k+1时也成立．
结合（1）（2）可知，数列{a
n
}的递推公式是
（Ⅱ）假设，且，因为a
n
，a
k
＞0
则1+a
n
＞2a
n
，且1+a
k
＞2a
n
，两式相加得， （1+a
n
）+（1+a
k
）≥2a
n
+2a
k< br>，即a
n
+a
k
≤2
因为＞1，则：a
k
+a
n
＞2，矛盾．
所以假设不成立，即：与中至少有一个小于2．
点评： 本题主要考查了数学归纳法和反证法在数列题目中的应用，2015届高考经常涉及，
属中档题型．

19．（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进 行问卷调查，
将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．
（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下 2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提
下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计
男
女
总计 40
（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X
的分布列和数学期望．
参考公式：K=
临界值附表：
2
P（K≥k
0
） 0.5
k
0
0.455
2
．
0.4
0.708
0.25
1.323
0.15
2.072
0.1
2.706
0.01
6.635

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考点： 离散型随机变量及其分布列；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．
专题： 综合题；概率与统计．
分析： （Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表；根据 列联表所给的数据，代入求观
测值的公式，求出观测值，即可得出结论．
（Ⅱ）X的取值为0 ，1，2，求出相应的概率，即可求这2人中喜欢数学课程的人数X的分
布列和数学期望．
解答： 解：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表为
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计
男 15 10 25
女 5 10 15
总计 20 20 40
因为K=
2
≈2.667＞2.072，P（K≥2.072）=0.15
2
故在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”；
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，则
P（X=0）=
X的分布列
X
P
EX=0×+1×+2×
=，P（X=1）==，P（X=2）==，
0

=．
1

2

点评： 本题考查独立性检验的应用，考查分布列和数学期望，本题解题的关键是正确利用
观测值公式求出观测值 ，求概率．

20．（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，﹣ 2）和P（3，2），O为
坐标原点，设满足|+|=•+2的动点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（α为锐角）的直线l，交曲 线C于D、E两点，线
段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时，|FT|•（1﹣cos 2α）是否为定值？
若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （Ⅰ）利用向量由|+|=•+2得到点M的轨迹方程．
（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线A B的方程为y=tanα（x﹣1），直线和抛物线联立
求得方程，利用韦达定理列得条件，根据题目条 件列式求解．
解答： 解：（Ⅰ）设M（x，y）则，

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从而
则
由已知，

，所以||=，又，
，则（x﹣1）+y=（x+1），即y=4x．
2222
（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tanα（x﹣1）
联立y=4x，消去x，得y=tanα（
即ytanα﹣4y﹣4tanα=0，
设点D（x
1
，y
1
），E（x
2
，y
2
）
则y
1
+y
2
=，x
1
+x
2
=，
2
2
），
所以线段DE的垂直平分线方程为

令y=0，得x=，所以点T（）
故|FT|=（1﹣cos2α）=（
2
）（1﹣cos2α）=2（）
2sinα=4为定值．
点评： 本题考查了圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题， 属于中档题型，在2015
届高考中属常考题型．

21．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数．
（Ⅰ）当a=1时，计算 由曲线y=f（x）﹣lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取范围；
（Ⅲ）若f（x）有两个不同 的极值点x
1
，x
2
，当x＞0时，比较与
的大小．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）根据定积分的几何意义即可求出面积s，
（Ⅱ）先求导，再分离参数，利用基本不等式即可求出a的范围；
（Ⅲ）根据零点即是导数等 于0时的方程的根，根据根与系数的关系得到x
1
x
2
=1，化简整理
f（x
1
）+f（x
2
），再根据做差法比较大小，需要构造函数g（x） =x﹣lnx﹣1，利用导数求出
函数的最小值，问题得以证明．

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解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+
y=f（x）﹣lnx=
∴S=dx=
＞0，
（1﹣）dx=[x﹣ln（x+1）]|=2﹣ln3；
，
（Ⅱ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f′（x）=+≥0恒成立，
∴a≥﹣
∵x++2≥2
=﹣（x++2），
+2=4，当且仅当x=1时取等号，
∴a≥﹣4，
故a的取范围为[﹣4，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f′（x）=+，
令f′（x）=0，
2
得到x+（a+2）x+1=0，
由题意得x1
，x
2
是方程的两根，则x
1
x
2
=1，
∴f（x
1
）+f（x
2
）
=lnx
1
+ +lnx
2
+=lnx
1
x
2
++=a=a•=a，
于是
设g（x）=x﹣lnx﹣1，
则g′（x）=1﹣=
﹣=﹣=，

当g′（x）＜0时，即0＜x＜1，在g（x）在（0，1）上单调递减，
当g′（x）＞0时，即x＞1，在g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）
min
=g（1）=0，
∴当x∈（0，+∞）时，x﹣lnx﹣1＞0，
故≥，当且仅当x=1时取等号．
点评： 本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的最值的关系，以及函数恒成立，不等
式的 证明等问题，考查了转化能力，运算能力，属于难题．